CHAPITRE VIII

or L ON EXAMINE LES CAS SIMPLES DANS LESQUELS ON PEUT PASSER DES FONCTIONS OU DES ÉQUATIONS DÉRIVÉES DU PREMIER ORDRE AUX FONCTIONS OU AUX ÉQUA- TIONS PRIMITIVES. DES ÉQUATIONS LINÉAIRES DES DIFFÉRENTS ORDRES, ET DE CELLES qu'on PEUT RENDRE LINÉAIRES.

49. Une équation du premier ordre en or, y et y' étant donnée, si Ton peut, par des opérations quelconques, la ramener à la forme

oi\/{x,y)' désigne la fonction prime d'une fonction de ^, y marquée par/(a7, j), on aura sur-le-champ l'équation primitive

dans laquelle a sera la constante arbitraire.

Par exemple, l'équation j' = o donne sur-le-champ y = a; l'équation

a:y'— v = o, étant divisée par x-, se réduit à ( — | ==o; j'entends par

( — j la fonction prime de la quantité — renfermée entre les deux pa-

renthèses; d'où l'on tire — =a, ou bien, en divisant la même équation par xy, elle devient

dans laquelle les variables x, y ne sont plus mêlées. Prenant donc la fonction primitive de chaque terme, on aura

\y—lx=z \n, IX. i3

la caractéristique 1 indiquant les logarithmes hyperboliques, d'où l'on

tire — =a, comme plus haut.

En général, si l'on peut réduire l'équation à la forme

où les variables sont séparées, il n'y aura qu'à prendre les fonctions primitives de/(x) et de j''F(j), et faire la somme égale à une constante arbitraire a, et la même chose aura lieu si l'on peut ramener la proposée à cette forme par une substitution quelconque. Soit, par exemple, une équation de la forme

Je fais — = u; donc y = xu, y' = xii' -h u, et l'équation devient, par

ces substitutions,

xu' + u =f[u],

laquelle peut se mettre sous la forme

qui est comprise dans la précédente.

Si l'on avait l'équation

y=xf[x'),

au lieu de la réduire à la forme précédente, j'en prendrais les fonctions primes, ce qui me donnerait

y = xff'{y)+f[r'),

équation réductible à la forme

' , ffir') „

et qui, en faisant jk' —m, rentre encore dans le cas précédent. Ayant trouvé ainsi une équation primitive entre a? et a avec une constante arbitraire, c'est-à-dire entre x et j', on chassera j' par le moyen de la

proposée, et l'on aura une équation entre x et y avec la constante arbitraire, laquelle sera, par conséquent, l'équation primitive complète (le la proposée. Cette dernière méthode est, comme l'on voit, une application de la théorie du Chapitre précédent.

50. De cette manière, on ramène, comme l'on voit, la recherche des fonctions primitives de deux variables à celle des fonctions primitives d'une seule variable; mais, comme on n'y parvient ordinairement qu'en employant pour x et y d'autres variables, comme / et u, c'est-à-dire en substituant pour x ^i y des fonctions données de t et u, il faut observer, à l'égard de ces substitutions, que, u devenant fonction de t en vertu de l'équation qui a lieu entre x et y, ces deux variables devront être aussi regardées comme fonctions de t. Donc, ayant supposé y=zf[x), on aura, en regardant maintenant x Qi y comme fonctions de t, y' = x'/'[x) (n° 16); mais, lorsqu'on regarde j simplement comme fonction de x, on a. y' =^f'[x), comme nous l'avons fait jusqu'ici; donc, pour passer de cette hypothèse à celle où x ei y sont

fonctions de t, il faut mettre à la place de j' la quantité ^•

Ainsi, ayant à transformer l'équation

on commencera par la changer en

ensuite on y substituera pour x, y, x', y' leurs valeurs en /, u et u' , où u' sera la fonction prime de m, regardé comme fonction de t.

De même, puisque j" est la fonction prime de y', regardé comme

ii) ,

fonction de x, il faudra substituer pour j" la quantité ^^ — A» c'est-

à-dire ^ — ~:r'> et ainsi de suite.

Donc, si dans une équation, au lieu de regarder j comme fonction de X, on voulait réciproquement regarder x comme fonction de j,

alors la fonction prime de j deviendrait l'unité, et l'on y substituerait

simplement — pour j', -^ pour j", et ainsi de suite.

51. Il y a, au reste, une manière générale de trouver l'équation primitive d'une équation dérivée d'un ordre quelconque : elle consiste à rendre le premier membre de l'équation, dont le second est zéro, une fonction dérivée exacte par le moyen d'un multiplicateur. On trouvera dans la Leçon XIII du Calcul des fonctions une démonstration de l'existence de ce multiplicateur dans toutes les équations dérivées (*); mais la recherche en est le plus souvent très -difficile, ce qui rend cette méthode plus curieuse qu'utile.

52. Quant à la manière de trouver les fonctions primitives des fonctions d'une seule variable, comme de Y[x) ou de j'F(j), on sait que, si Y[x) est une fonction rationnelle de x, on peut toujours la décomposer en différents termes de la forme x"' ou -. ; — —■> m étant un

» [a + bx]"'

nombre entier positif et a-\-hx un facteur du dénominateur de la fonction, s'il en a un. Ainsi la fonction primitive de F(a;) sera composée d'autant de termes de la forme et ^—r, ^-^-> ou lo" si

m = — I, et - — -. si m = I, et il en sera de même de la fonction

primitive dej'F(j) (n° 32).

Si F(j7) contient des quantités irrationnelles, on les fera disparaître par des substitutions, ce qui n'est possible en général, par les méthodes

connues, que pour les radicaux de la forme \Ja-{- bx + cx'-. Quand il y a dans F (a;) des radicaux plus compliqués, ou même quand il y a plus d'un radical de cette forme, la recherche de la fonction primitive devient impossible en général par les méthodes connues, et l'on ne peut l'obtenir que par le moyen des séries, soit en faisant disparaître les radicaux par leur résolution en série, soit en employant la méthode générale pour le développement en série de toute fonction de x (n° 33).

(') OEwrcs de Lagrangc, t. X.

Pour cela, on supposera /'(.r) = ¥{cc); de là on aura

f"ix)=--F{x), f"'[x]r^F"[x), ....

Donc la valeur de /{oc), fonction primitive de F{a-), sera représentée ainsi,

/(^)=/+a:F+ÇF'+£^F" + ...,

les quantités/, F, F', ... étant les valeurs de /{x), V{x), F'(a;), ... lorsque ar = o, oi!i l'on voit que/sera une constante indéterminée.

53. Si, pour une équation proposée d'un ordre quelconque, on parvient à trouver une équation d'un ordre inférieur qui ne renferme point de constantes arbitraires ou qui n'en renferme pas autant qu'il peut y en avoir, alors cette équation ne pourra pas être regardée comme une équation primitive complète, mais elle ne sera qu'un cas particulier de cette équation, dans lequel on aurait donné aux constantes arbitraires des valeurs particulières.

Mais il y a un cas très-étendu, dans lequel il suffit d'avoir plusieurs valeurs particulières de j en^ pour pouvoir en obtenir la valeur complète : c'est celui où l'équation d'un ordre quelconque ne renferme les y, y', y", .•• que sous la forme linéaire.

Soit, en effet, proposée l'équation

Af -+- Bf + C/' + D^-'" + . . . = o,

dans laquelle A, B, C, . . . soient des fonctions données de x seul. Soient

/;, q, r, ... des fonctions différentes de ce qui, étant substituées pour j,

satisfassent cliacune en particulier à cette équation. Je dis que l'on

aura, en général,

y z= up -{- bq -^ cr -h . . , ,

a, b, c, ... étant des constantes arbitraires, ce qui est évident, caicette expression de r, étant substituée dans la môme équation, y satisfera indépendamment des constantes. D'où il suit que, si le nombre des valeurs particulières/?, g, r, ... est égal à celui de l'ordre de l'équa-

tion proposée, c'est-à-dire à l'indice de la fonction dérivée j'" la plus élevée, on aura l'expression complète dey. L'analyse du n° 44 fournit un exemple de cette méthode.

Mais il y a plus : on peut alors trouver aussi la valeur complète de j, qui satisfera à l'équation

Aj + B/+C/'+...= X,

X étant aussi une fonction quelconque de x.

Comme cette méthode est une des plus utiles dans ce genre d'analyse, je crois devoir l'exposer ici en peu de mots.

54. Supposons que l'équation proposée soit du troisième ordre; on verra aisément que la méthode est générale pour un ordre quelconque. Soit donc l'équation

et soient/), q, r trois valeurs différentes et particulières de j et a? qui satisfassent à l'équation

A j + B j' + Cf" + /" = o,

en sorte que l'on ait

Ap-hBp' + Cp"-i-p"'=o,

Aq + Bq'+Cq"+q"'=^o,

Ar +Br' + €/•"+/■'"== o.

Supposons j= a/j 4- /^^ + cr, et regardons a, b, c comme trois fonctions inconnues de a; qu'il s'agira de déterminer; en prenant les fonctions primes, secondes et tierces de j, on aura d'abord

y =zap' + bq' H- cr' + pa' + qh' + rc'.

Je suppose />a' H- ^/Z*' H- rc' = o ; j'aurai simplement

y = ap' -h hq' -+- cr'.

De là, en prenant de nouveau les fonctions primes, j'aurai

/' = ap" + bq" + cr" + a'p' + b'q' -h c'r'.

Je suppose derechef ay;'-f- h'q' + c'r' = o; j'aurai simplement

y" = ap"-hhq"-\-cr", d'où je tire, en prenant encore les Ibnclions primes,

/"= ap"' + bq'" -(- cv" -f- a' p" -+- b'q" + c'r".

Je substitue maintenant les valeurs de y, r', j" et y' dans l'équation

proposée; il est visible que, par la nature des quantités/;, q, r, les

termes qui contiendront a, b, c se détruiront, et il ne restera que

l'équation

qui, étant combinée avec les deux équations supposées

servira à déterminer les trois quantités a', b', c', les quantités p, q, r et leurs fonctions primes et secondes étant connues, ainsi que la quantité X.

Supposons donc qu'on ait trouvé a' = P, Z»' = Q, c' = R ; ces quantités P, Q, R étant des fonctions connues de x, il n'y aura qu'à les regarder comme des fonctions primes et en chercher les fonctions primitives, qui contiendront chacune une constante arbitraire qui pourra lui être ajoutée. On aura ainsi les valeurs des inconnues a, b, c, qu'on substituera ensuite dans l'expression de y.

55. Lorsque l'équation n'est que du premier ordre, on n'a besoin

que d'une valeur p, et l'on peut toujours la trouver, car on a alors

l'équation

à laquelle satisfait cette valeur /? = e~"", M étant la fonction primitive

de A, de manière que M'= A, et e dénotant toujours le nombre dont

le logarithme hyperbolique est l'unité; en effet, on aura, en prenant

les fonctions primes,

p' = -We-^^=z-Ap.

lOV THEORIE DES FONCTIONS.

Pour les équations d'un ordre supérieur au premier, il n'y a pas de méthode générale pour trouver les valeurs de ^, ^, .... à moins que les coefiîcients A, B, C, ... ne soient constants. Mais, dans ce cas, il est aisé de les trouver, car il n'y a qu'à supposer /j = e'"'", m étant une constanle indéterminée; on aura

p' = me"'^, p" = m- e'"*", ... ;

donc l'équation

Ap + ïip' -h Cp" + D//'+ . . . = o

deviendra

A + B W + C m- 4- D m!" + . . . rr: o,

la(|uclle sera, généralement parlant, d'un degré égal à l'ordre de l'équation proposée. Elle aura donc autant de racines qu'il y a d'unités dans ce degré, et, si l'on désigne ces racines par m, n, .. ., on aura

de sorte que, dans ce cas, la difficulté est réduite à la résolution des équations.

56. On peut souvent rendre linéaires des équations qui ne le sont pas, par le moyen des substitutions, et, comme cette transformation est toujours avantageuse, voici deux cas très-étendus où elle réussit.

Le premier est celui de l'équation

qui est plus générale que celle que nous avons traitée ci-dessus (n" 54). J'en prends d'abord les fonctions primes; j'ai

r = xff'[r')+f[y')+y"V'[f); je fais j' = ^, et par conséquent 7"= z' ; j'ai

z = xz'f'[z]+f[z)-,-z'r[z), équation du premier ordre en x et :;, où z est censé fonction de x.

Maintenant je regarde a; comme une fonction de z; il faudra mettre — à la place de z' (n" 50), et il viendra l'équation

qui est, comme l'on voit, du premier ordre et linéaire en x. On pourra donc, par la métiiode précédente, en trouver l'équation primitive en x et z; mais la proposée, par la substitution de z au lieu de y', devient

r = xf{z] + F{z);

éliminant donc z de ces deux équations, on aura une équation en x et j, qui sera l'équation primitive de l'équation proposée. Le second cas est celui de l'équation

X'-\- Mf- + l>i = o, M et N étant des fonctions de x. Ici je fais j= ^î ce qui donne

zr z""- z'i\

substituant ces valeurs et multipliant par M-, l'équation devient

M'2' ,.^, z" j^ + MNz = o,

(jui est, comme l'on voit, du second ordre, mais linéaire par rapport à z.

Supposons qu'on ait trouvé d'une manière quelconque deux valeurs particulières de yen x, c'est-à-dire sans constante arbitraire, que nous

z' dénoterons par/? et q. Pour la valeur/?, on aura jrp =y», d'où l'on tire

z^=^^, en dénotant par P la fonction primitive de /?M; on aura de même, pour la valeur q, z — e^, Q étant la fonction primitive de (/M. Ayant ainsi deux valeurs particulières de z, on aura la valeur complète (n° 53)