IX. i
z' a et b étant deux constantes arbitraires; donc, puisque r = jt,- et que
P' =pM, Q'— qM, on aura cette valeur complète de j,
ape^ + bqe^
c'est-à-dire, en faisant - =c,
p -4- cqe*^-^
y— I + re«-'' '
OÙ c est la constante arbitraire.
Par exemple, si N = — mU, m étant une constante, il est aisé de voir que l'on satisfera à la proposée en y en faisant y = \im, et, à cause de l'ambiguïté du radical, on aura
p = y/m, <7 == — v'" ; donc, nommant L la fonction primitive de M, on aura
P r:r L \^/r/i, Q = — L \in, et la valeur complète de / sera
ni
i + ce--'*''»
Au reste, dans ce cas, l'équation proposée peut se mettre sous la forme
où les variables op et r sont séparées, et dont on peut trouver l'équation primitive, comme nous l'avons montré plus haut.
57. Lorsque l'équation proposée n'est pas linéaire en v, y', y", . . . ou (ju'elle n'est pas comprise sous la forme précédente, je ne connais aucune méthode générale pour compléter les valeurs particulières de j qu'on aurait trouvées; mais on y peut toujours parvenir par le moyen des séries.
Supposons, en effet, que, pour une équation du premier ordre en oc, y et r', la valeur complète de y soit/(a^', a), a étant la constante arbitraire. En donnant à a une valeur particulière h, la (juantité /(:r, a) deviendra une valeur particulière de y, que nous nommerons/; et que nous supposerons connue d'une manière quelconque. Faisons maintenant a^=h-\-i, et développons la l'onction /(^r, h + i) en série ascendante suivant les puissances de i; le premier terme sera /(a;, h)—p, et les autres termes seront de la forme qi + ri'- -+-..., q, r, ... étant des fonctions de ce. Si l'on substitue cette expression de j" dans l'équation donnée du premier ordre, il faudra qu'elle se vérifie indépendamment de la constante /, qui doit demeurer arbitraire.
Soit donc
l'équation du premier ordre à laquelle satisfait la valeur particulière y^^p\ on aura, d'après cette condition,
Substituons pour y la série/; -h iq + r/M-. . ., et développons aussi la fonction F (a?, y) en série suivant les puissances de «'; si l'on dénote simplement par F'(j), F"(j), ... les fonctions primes, secondes, etc. de F(ar,j) prises relativement à j seul, et qu'on fasse, pour abréger, o=^ iq -\-i-r -\-.. ., on aura, par la tbéorie exposée plus haut sur le développement des fonctions,
V\x,y) =iF[x, p] -+-o¥'{p] H F"(jo) +
D'un autre côté, on aura, en prenant les fonctions primes,
donc, substituant ces valeurs dans l'équation 7' = F(^,j) et ordonnant les termes suivant les puissances de /, on aura, à cause de p' = ¥{x,p).
d'où l'on tire, par la comparaison des termes affectés des mêmes puissances de i, les équations suivantes :
qui serviront à déterminer successivement toutes les inconnues y, /•, — Comme les quantités F'(/)), F"(/>), ... sont des fonctions données de X, il est visible qu'on n'aura pour ces inconnues que des équations linéaires du premier ordre, susceptibles de la méthode du n° 55; il ne sera pas même nécessaire d'avoir les valeurs complètes de q, r, . . ., il suffira d'avoir des valeurs quelconques qui satisfassent à ces équations de condition.
Ayant ainsi déterminé les valeurs des quantités q, r, s, . . ., on aura cette valeur complète de r,
y :=^p + iq + i-r + . . .,
dans laquelle i sera la constante arbitraire qui manquait à la valeur particulière j=/?. Cette valeur sera à la vérité exprimée par une série, mais la convergence de cette série ne dépendra que de la valeur de la constante i.
Cette méthode est aussi applicable, avec l'extension convenable, aux équations des ordres supérieurs au premier; mais les équations qu'on trouvera pour la détermination des fonctions inconnues seront du même ordre, et par conséquent on ne pourra trouver, en sjénéral, les valeurs de ces fonctions que dans le cas où les coeftîcients seront constants.
Au reste, cette méthode est le fondement des solutions des principaux problèmes de la théorie des planètes. Comme les excentricités et les inclinaisons qu'on doit regarder comme des constantes arbitraires sont fort petites, et que l'effet des attractions est aussi très-petit, le cercle fournit d'abord des valeurs particulières, et l'on complète ensuite ces valeurs par des séries qui procèdent suivant les puissances de ces constantes très-petites.
