CHAPITRE IX

DES VALEURS SINGULIÈRES OUI NE SONT PAS COMPRISES DANS LES ÉQUATIONS PRIMITIVES COMPLÈTES. DES ÉQUATIONS PRIMITIVES SINGULIÈRES.

58. La méthode que nous venons d'exposer pour trouver l'équation primitive par le moyen des séries est fondée sur la supposition que toute fonction Y{x, y) de deux variables x, y puisse toujours, par la substitution àç p -{- qi-\-ri- + . . . à la place de j, se développer en une série ascendante suivant les puissances entières de i; mais, comme cette série résulte du développement d'une fonction de j-+-o, en faisant o = gi-hri'- -h . . . et donnant à y une valeur particulière/?, il s'ensuit de la théorie que nous avons donnée dans le Chapitre V que ce développement pourrait contenir des puissances fractionnaires ou négatives de o, auquel cas la série dont il s'agit contiendrait nécessairement de pareilles puissances de i. Alors la série qui doit représenter la valeur de y pourra ne plus avoir la même forme; mais, comme y=f[a:, a), et qu'on suppose a — h -h i et p=f{sc, h), le premier terme sera toujours p et le second pourra encore être supposé de la

forme gi , car, s'il était de la forme <yj", n étant un exposant quel-

conque, il n'y aurait qu'à substituer i" à la place de i et supposer que a

devienne h -h i", ce qui est indifférent, puisqu'on regarde i comme une constante arbitraire; mais les termes suivants pourront être de la forme ri'" + si" 4- . . ., où m devra être >> i , n^m, . . ., par hypothèse. Substituant donc, dans Y{x,y), pourj, la série

p + qi-+- ri'"^ -h si" + . . . ,

et développant suivant les puissances ascendantes de /, on aura une série de celle forme

¥[x, p] + Pi>+Q/''-t-.. .,

[j. étant diflérent de l'unité, v > a, ..., et P, Q, ... étant des fonctions données de oc. Donc l'équation

deviendra, par ces subslilulions,

/(/'+ /"'r'+ i"s'-h. . .-= Pz>+ Qr-\-. . .,

laquelle devra se vérifier indépendamment de la valeur de /'.

Donc, si [x>i, on pourra faire </' = o, m = ij. et /'=?, ensuite

/?=v, ^' = Q, Ainsi, on aura d'abord q égal à une constante, ou

plus simplement q = \; ensuite, comme P ne dépend que de q et de ce, on trouvera la valeur de r en prenant la fonction primitive de P, et ainsi de suite.

59. Mais si [j- <i, alors il sera impossible de satisfaire à l'équation de manière que i demeure une constante arbitraire, et l'on devra en conclure que la valeur particulière /?, ne pouvant pas être complétée ainsi, ne saurait être contenue dans l'expression générale /(a;, a), qui représente la valeur complète de j.

Maintenant il est visible que, quel que puisse être le premier terme Vi^ du développement de F{-r,y) par la substitution dep-hqi-hri"'-i- ... à la place de j, il ne peut venir que des termes p-\-qi, de sorte qu'il sera le même (}ue si l'on substituait simplement/? + qi{\ la place dej'. Donc le développement de F(r, j) par la substitution de/> + o à la place

de r sera Y{x,p) h -f . . .; donc, puisque la série résultante de ce

développement contient un terme affecté de o'^, où [y. est >o et <[ i, il s'ensuit de la lliéorie donnée au n" 29 que la fonction prime F' (y) devra devenir infinie lorsque y=^p-

De là on tire cette conclusion que la valeur particulière p ne pourra

pas être contenue dans l'expression complète de y si cette valeur rend la fonction F'(j) infinie, c'est-à-dire la fonction p;;- — r nulle.

Réciproquement donc, l'équation . ,, , = o donnera toutes les valeurs de j qui, pouvant satisfaire à l'équation y' —V^a:, y) comnu; valeurs particulières, ne seront pas renfermées dans la valeur complète. On pourra appeler ces valeurs valeurs singulières, pour les distinguer des autres, et, en général, on pourra appeler équafion primitive singulière toute équation en or et y qui satisfera à une équation du premier ordre entre ce, y et y', ou à une équation d'un ordre supérieur, et qui ne sera pas comprise dans l'équation primitive complète, c'està-dire qui ne sera pas un cas particulier de cette équation.

GO. Nous venons de voir qu'il y a une espèce d'équations qui peuveni satisfaire à des équations d'un ordre supérieur et qui ne satisfont pas aux équations d'où celles-ci peuvent être dérivées, parce qu'elles ne sont pas renfermées dans les équations complètes d'un ordre inférieur à celles-ci. Ces équations ne forment pas une exception à la théorie générale exposée plus haut (n° 46), mais elles résultent d'une considération particulière dans la manière dont les équations d'un ordre supérieur sont dérivées par l'élimination des constantes. En effet, on y a vu que les deux équations F (a?, j) = o et ¥{oc,y)' = o donnent, par l'élimination d'une constante a, une équation dérivée du premier ordre entre x,y et y', dont Y{x, y)=zo sera l'équation primitive.

Or il est évident que le résultat de cette élimination serait le même si la quantité a, au lieu d'être constante, était une fonction quelconque de oc; mais, dans ce cas, la fonction prime de ¥{x, y) ne serait plus simplement ¥{cc,y]' : elle contiendrait de plus une partie provenant de la variation de a, et, si l'on désigne par F' (a) la fonction prime de V[x, y) prise relativement à la variable a, on aura a'F'(a) pour la partie dont il s'agit, a' étant la fonction prime de a regardé comme fonction de x.

Ainsi, dans le cas où a serait fonction de .r, l'équation prime de

Y{x, y) =o serait

donc, pour qu'elle se réduise à F(a7, j)'=o, comme dans le cas de a constante, il faudra que l'on ait F'(a) — o, équation qui servira à déterminer la valeur de a, et qui n'est autre chose, comme l'on voit, que l'équation prime de l'équation primitive, prise relativement à a, d'où il s'ensuit que, si l'on substitue cette valeur de a dans l'équation primitive ¥{x,y) = o, on aura une équation en x et y, qui satisfera également à l'équation du premier ordre et qui ne sera pas renfermée dans l'équation primitive, où a est la constante arbitraire.

On pourra appliquer la même théorie aux équations des ordres supérieurs et en déduire des conclusions semblables.

61. Pour voir maintenant si l'équation qui résulte de cette considération est la même que l'équation primitive singulière, déduite de l'analyse précédente, supposons, comme plus haut (n° 58), que l'équation du premier ordre soit réduite à la tonne y' = ¥{œ, y) et que son équation primitive complète soit j=/(.r, a), a étant la constante arbitraire. Pour en déduire l'équation primitive où a est variable, on prendra l'équation prime relativement à a seul, et, si l'on désigne par (p(a?, a) la fonction prime de/{x, a) prise relativement à a, on aura (f{x, a) — o, d'où l'on tirera a, qu'on substituera dans /(a;, a), et l'on aura une valeur particulière de y qui satisfera aussi à la proposée du premier ordre. Nous appellerons/? cette valeur particulière, comme dans le numéro cité.

Maintenant, puisque la valeur complète /(^, a) dey doit satisfaire à Véqnaûon y' = Y{x, y) quelle que soit la constante a, il s'ensuit que, en faisant la substitution, l'équation résultante

devra avoir lieu quelle que soit la valeur de a. Par conséquent, son équation prime, prise relativement à a regardée comme seule variable, devra avoir lieu aussi quelle que soit la valeur de a (n" 17).

Puisque /'(a-, a) est la fonction prime ([ef[x, a) prise relativement à X, la fonction prime de celle-ci prise relativement à a sera donc la fonction seconde do/io;, a), prise d'abord relativement à o^ et ensuite relativement à a, laquelle est la même chose, comme nous le démontrerons plus bas, que la fonction seconde de f{x, a) prise d'abor<l relativement à a et ensuite relativement à x. Ainsi, ayant désigné par ç(a;, a) la fonction prime àQf[x, a) par rapport à a, on aura ^'(.r, a) pour la fonction prime de/'(ir, a) prise également par rapport à a, les traits appliqués aux caractéristiques/et cp ne se rapportant qu'à la variable x,

A l'égard de la fonction Y[x,f[x, a)\, comme elle résulte de la substitution de/(;r, a) à la place de y dans Y[x,y), sa fonction prime relativement à a sera exprimée par Y'{y).<:^[x, a) (n° 16), puisque nous avons désigné par F'(j) la fonction prime de Y[x, y) relativement à j, et par ç(^, a) la fonction prime de/(^, a) ou y relativement à a.

Donc l'équation prime de l'équalion

prise relativement à a sera

o'[x', a] = F'(r).ç(^, a], d'où l'on tire

cp'fr, fi)

F'fr)

Or nous venons de trouver que, pour avoir la valeur particulière/), il faut substituer dans /(r, a) la valeur de a tirée de l'équation o(a7, «) = o. Dénotons par X cette valeur de a, qui sera une fonction àc x; la fonction o[x, a) aura cette forme

cf[x, a] = \[\~ a]"',

m étant >o, et V étant une fonction de x qui ne deviendra ni nulle ni intinie lorsque a = X; on tirera de là

9'(;r, a) = V'(X— a)™+/rtVX'(X— a)"'-'.