X- — nay — a-— b-= o

en prenant les fonctions primes, on aura l'équation prime

X — ay = o ;

éliminant a par le moyen de l'équation primitive, on aura l'équation du premier ordre

dont celle-là sera l'équation primitive complète, a étant la constante arbitraire.

Maintenant, si l'on prend la fonction prime de la même équation

x- — 1 ay — a- — b'-=^ o

relativement à la quantité a regardée comme une fonction de x, on

aura

ce qui donne

r4-rt = o, « = — j,

et, substituant cette valeur dans la même équation primitive, on aura

Cette équation satisfera par conséquent aussi à la même équation du

premier ordre, ce qui est aisé à vérifier, car elle donne

y^=b'^ — x-^ cl fy — — x, valeurs qui, étant substituées dans la quantité

la rendent identiquement nulle. Ce sera donc l'équation primitive sini^ulière.

En effet, suivant la théorie du n° 61, on aura, dans le cas présent,

¥{x,x)=: =p et pr=^'b^~x-^;

donc, en prenant les fonctions primes relativement à y seul, on trouvera

{— y -i- sijx- -\- y'^ — b-) \jx- + y'^— bquantité qui devient infinie, comme l'on voit, par la supposition dé

63. Supposons maintenant que l'on ait l'équation du premier ordre v' = F(j') et que la fonction F(j') de j soit telle qu'elle devienne nulle lorsque j est égal à une constante donnée b; il est visible que cette valeur de j satisfera à l'équation, car j = 6 donne aussi j' — o. On demande si cette valeur de y est une valeur particulière comprise dans la valeur complète ou bien si ce n'est qu'une valeur singulière. On prendra la fonction prime de F(j), et, si F'(j) devient infini lorsque j= 6, la valeur è ne sera qu'une valeur singulière; sinon, elle sera une valeur particulière.

Soit

m étant >o et K une constante; on aura

F'(j) = mK(j-^)"'-',

quantité (jui devicMit infinie lorsque m<i; donc la valeur j—/^ sera une valeur singulière si m>o et <i, cl une simple valeur parliculière si m—- ou > i. En effet, l'équation

étant divisée par (j — ^)'" et mise sous la forme

(j i)-my K = o, a pour équation primitive

1 — ni

a étant la constante arbitraire, d'où l'on tire

Donc, pour que l'on ait j= h, il faudra que la quantité (a + Ka?)' devienne nulle. Or, si /n> o et < i, l'exposant -— — • sera positif; par conséquent, il sera impossible de donner a a une valeur qui fasse évanouir la quantité dont il s'agit. Mais si m>> i, alors, l'exposant -— —

devenant négatif, la quantité (a + K:c)'~"' deviendra nulle lorsque a sera infini; car, faisant a= -? cette quantité deviendra

;i + Kcx)'"-*

laquelle devient zéro lorsque c = o.

La même chose a lieu lorsque /n= i; alors l'équation primitive contient des logarithmes ou des exponentielles, car on a

y' — Yi.[y—h) et, divisant par j— Z»,

dont l'équation primitive est

Hy — ^) — ^^ = '«»

d'où l'on tire

e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité et a la constante arbitraire. Ici il est évident qu'en faisant a égal à zéro on aura y= b.

Supposons encore

F(j) = vY,

Y étant une fonction de j qui devienne nulle lorsque y — b; on aura

donc, puisque Y devient nul lorsque j=è, si Y' ne devient pas nul en même temps, F'(j) deviendra alors infini et la valeur j= b ne sera qu'une valeur singulière. Donc, pour que cette valeur soit une simple valeur particulière, il faudra que Y' devienne nul en même temps (jue Y, en faisant y = b.

Cette théorie des équations primitives singulières est présentée d'une manière plus générale et avec de nouveaux détails dans les Leçons XIV, XV, XVI et XVII sur le Calcul des fonctions (*), auxquelles nous renvoyons les lecteurs qui désireraient approfondir davantage ce point d'Analyse.

(*) OEm'res de Lagrange, t. X.