CHAPITRE X
DE L EMI'LOI DES FONCTIONS DERIVEES DANS L ANALYSE ET DE LA DETERMINATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. APPLICATION A LA SOMMATION DES SUITES ET A LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ.
64. Par les principes que nous venons d'établir à l'égard des constantes arbitraires, on voit que ces constantes forment la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées; celles-ci sont par elles-mêmes plus générales que les équations d'où elles dérivent, à raison des constantes qui ont disparu ou qui peuvent avoir disparu; elles équivalent proprement à toutes les équations primitives qui ne différeraient entre elles que par les valeurs de ces constantes.
On peut donc toujours passer d'une équation regardée comme primitive à une de ses dérivées d'un ordre quelconque, et réciproquement revenir de celle-ci à celle-là, pourvu que cette dernière opération introduise toujours des constantes arbitraires et qu'on ait soin de déteiminer ces constantes d'une manière conforme à l'équation primitive, comme nous en avons déjà donné des exemples (n"^ 49 et suivants). Avec cette attention, on pourra employer dans l'Analyse les opérations relatives aux fonctions, comme on y emploie les opérations ordinaires d'Algèbre.
Ainsi, ayant une équation en x et y, on pourra immédiatement en déduire des équations dérivées d'un ordre quclcon(|ue; mais, pour i-evenir de celles-ci à une équation en x et y, il faudra tenir compte des constantes arbitraires et les déterminer de manière que les valeurs de j et de ses dérivées j', j", ... soient les mêmes pour une valeur
«lonnée tic x, comme .r = o, que celles qui résultent de l'équation donnée.
Si l'équation proposée n'était que du premier ordre en .r, r, v', alors, cette équation ne pouvant fournir que les valeurs de^'.j", ... en ^ et j, ces valeurs, pour x=io, contiendraient la valeur indéterminée de j; par conséquent, les constantes arbitraires dépendraient alors de cette valeur, qui serait elle-même une constante arbitraire, de sorte que, dans ce cas, toutes les constantes arbitraires se réduiraient à une seule. Elles se réduiraient à deux, par la même raison, si l'équation proposée était du second ordre en x,y,y' et y", et ainsi de suite.
65. Pour faire mieux sentir l'esprit et l'usage de ces opérations, nous allons les appliquer encore à quelques exemples qui serviront en même temps d'exercice de calcul.
Soit proposée la série
m m{m -{- i] „ mlm -\- \] [m -h ■:>.] „
n nia -{- i) ni n -h i) In -\- -î]
dont on demande la somme.
Supposons-la égale a y, en sorte qu'on ait une équation en x et j; je multiplie cette équation par x"~\ ce qui donne
VJC'î-t — X"- • -) X"-{ •■ x"^' -+■
Je prends les fonctions primes de tous les termes; j'ai
y'x"-* -\- [n — i]yx"-'
— In — i]x"'---h mx't^^
OÙ l'on voit qu'il a disparu un facteur du dénominateur de chaque terme.
Je multiplie maintenant l'équation précédente par x"'~"', j'ai celle-ci
y>x"'- ' + ( n — I ) yx'"--
I , , . mini -^ i] m ( m + I U m -H a )
— in — I x'«-2 4- mx"'^^ -\ x"' + --^ r—- '-^ — r ■ x"'+' +
120 TnÉORIE DES FONCTIONS.
Je fais le premier membre égal à//, p' étant la fonction prime de/?, et je prends l'équation primitive; j'ai
Je n'ajoute point de constante arbitraire ici, parce qu'elle peut être censée renfermée dans p.
Maintenant, en comparant cette nouvelle série avec la proposée, qu'on a supposée égale à j, il est visible qu'on aura l'équation
prenant les fonctions primes, et substituant pour p' sa valeur y'x"'~^ -\- [n — i)yx"'^-, on aura cette équation du premier ordre linéaire en y
[n — i]x"^~--\-y'x"'--{- m x"^^ * y = y' X'" - * -+- {n — })yx"'--, laquelle se réduit à cette forme
:ri — X] j:'! — x
Cette équation étant susceptible de la méthode du n° 55, on pourra donc trouver la valeur j en x, qui sera, par conséquent, la somme de la série proposée; mais cette valeur devra contenir une constante arbitraire, qu'on déterminera de manière que j soit égal à i lorsque ,27 = 0, comme il résulte de la série donnée.
Si la série n'avait contenu que des facteurs simples, comme
on eût trouvé, par les mêmes opérations.
n — r ni — I
Or on sait que
I + x + ^f- + . . . =rr :
donc on aurait, dans ce cas,
prenant les fonctions primes et substituant la valeur de/?', on aurait
savoir,
équation également linéaire du premier ordre.
Cette méthode s'applique à des séries plus compliquées et peut conduire à des équations linéaires d'un ordre supérieur au premier. J'ai cru devoir au moins l'indiquer, étant presque la seule méthode générale pour la sommation des suites.
