X--\-XY

fA^'X) = -■=='•> sl'îxy+y

ensuite la fonction prime de/'(^,j') relativement à j sera

j.,, , x->ny x^-y

v/^^r + r- [.xy+y^-f

et la fonction prime dey^(^, j) relativement à x sera

ix+y [x'-^xy^y

^^xy + y^ (2;rj+j2)^

Quoique ces deux expressions de/'(^, j) paraissent différentes, elles sont cependant identiques, car elles se réduisent l'une et l'autre à

"ix-y -+- "ixy- + /* [ixy-\-y^Y

Ensuite, en prenant la fonction prime de/'(ir, y) relativement à x, c'est-à-dire la fonction seconde dc/(j", j) relativement à x, on aura

„,, , 2 r xy^ 3 xy- -+- 9, y^

^ixy+y- (2^.+^.2)î [-.xy + y^-f

et, prenant maintenant la fonction prime de celle-ci relativement h y,

on aura, après les réductions,

De même, en prenant la fonction prime de/'(a;, j) relativement à x, on trouvera

fA^'X)^ — '■ —'

(axy-i-x-yet ainsi de suite.

Il résulte de là que, afin que des fonctions données de j:- et j puissent être prises pour des fonctions dérivées d'une même fonction primitive, il faut qu'elles satisfassent à certaines conditions.

Ainsi, si Y{x,y) et <p(a7, j) représentent des fonctions données de 37, J, pour qu'on puisse supposer

F(^>r)=/'(^.r) el (f[x,f)=f,{x,x],

il faudra que l'on ait

Et, en général, pour qu'on puisse supposer

F(-^.j)=/«'(^0") el (^[x,f]=fP{x,x], il faudra que l'on ait

Par exemple, si

011 pourra supposer

car on trouve

mais on nv pourrait pas supposer

car alors il faudrait que

ce qui n'est pas.

76. En général, quel que soit le nombre des variables qui entrent dans une fonction, si l'on donne un accroissement à chacune de ces variables, et qu'on développe la fonction suivant les dimensions formées par ces différents accroissements, qu'on développe ensuite de la même manière les fonctions produites par le premier développement, et ainsi de suite, il règne entre ces différents développements une loi que nous allons exposer d'une manière générale, parce qu'elle peut être utile dans quelques occasions.

Soit/(j", r, :;, ...) une fonction de plusieurs variables indépendantes oc, y, z, ...; supposons que, par la substitution de x -h v-, r+ !i, ^ + y, ... à la place de ce, y, z, . . . et par le développement suivant les puissances et les produits de a, p, y, ..., cette fonction devienne

Je dénote par/(i) la somme de tous les termes où les quantités a, (i, V, ... seront à la première dimension, par/(2) la somme de tous les termes où ces mêmes quantités formeront deux dimensions, et ainsi de suite.

Supposons, de plus, qu'en faisant la même substitution et le même développement dans les fonctions/(i), f {2), /{?>), .. . elles deviennent

/iO+/li. •)+/(«, 2)+/(', 3)4-...,

où je dénote par/(i, i),/(i, 2), ... les rangs successifs des termes du développement de/(i), de manière que, puisque les quantités a, ?, y, ... sont à la première dimension dans/(i), elles formeront deux dimensions dans/(i, i), trois dimensions dans/(i, 2), et ainsi des autres. Par cette notation, on voit qu'en général la quantité désignée par/(/n, n) renfermera tous les termes du développement (\c/m), où les quantités a, p, y, . . . formeront m-h n dimensions.

Cela posé, si l'on substitue d'abord jc -\- a, r + % - + T' • • • ^^^^ '^ fonction /(a;, j)', :;, ...), elle deviendra

et, si l'on substitue ensuite, dans cette quantité, ^ + ma, j'-f-m^, r -4- my, ... à la place de jc,y, z, il est clair qu'elle deviendra

+ m/(.) -l-/»'^/(2) +/n'/(3) +..., + mf( 1, i)-h in^fl 1 , 2 ) H- m^f[ i , 3 ) + . . , , -\-mf[i, 1) + m^-f[-}.,i) + m^f[-î,3] +..., + /»/(3, i) + m2/(3, ?,) -i- /«^/(3, 3) +. . .,

D'un autre côté, il est visible que ces deux substitutions successives équivalent à une substitution unique qu'on ferait dans la fonction/(a:, j, z, . . .), en mettant

a: -h [i -h m) X, j + (i -I- /») (3, z -h [i -h in)y, à la place de .r,y, z, ..., et qui donnerait, par le développement,

f[x,y; 2, . . .) + (i 4- m)/(0 + (' + mY-f[i] -4- (i + m)-'/(3) H- . . . .

Ainsi, il faudra que ces deux développements soient identiques et que, par conséquent, les termes qui renferment les mêmes dimensions a, p, y, . . . soient égaux de part et d'autre, quelle que soit d'ailleurs la

quantité m. On aura tlonc les comparaisons suivantes :

f[i] + m^-f[i] + ,„/,,,) = ;, + my-f [■>.],

/(4) + m^/Ci) + /»V(i, ■•>} + m^/;2, 2) 4- mfyZ, .) = (i + m)>/, 4),

Et, comparant encore les termes affectés des mêmes puissances de m, on tirera ces valeurs :

Donc, par les termes du premier développement général, on pourra avoir immédiatement ceux de tous les développements partiels suivants.

77. A l'imitation de ce que nous avons pratiqué pour les fonctions d'une seule variable, si l'on regarde z comme une fonction de x et j', on pourra dénoter par :;', s,, z", z,, z^^, ... ces différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre z les mêmes traits qu'on appliquerait à la caractéristique / de la fonction /{x, y) qu'on suppose représenter la valeur de z, et l'on nommera ces fonctions de la même manière.

Ainsi, x devenant a; + i et j devenant 7 + 0, la quantité z, fonction de ir,y, deviendra (n° 73)

'- „ . , o- /•■' ,„ i'-o „ io- , o^ z -h iz -h oz,-\ z + lOZ, -) r H -s"'H 2 H -^ h :zZ,,, + . . .,

le terme général de cette série étant, comme dans l'endroit cité, (1.2.3. . .m) (1.2.3. . ./t) " '

A l'égard de la manière de trouver ces difTérentes fonctions, il est clair qu'il n'y a qu'à suivre les mêmes règles que pour les fonctions d'une seule variable, les traits supérieurs de la caractéristique indi- (juant l'ordre de la fonction dérivée relativement à x seul et les traits inférieurs indiquant l'ordre de la fonction dérivée relativement à v seul.

Ainsi, en prenant les fonctions primes de :; selon x et j, on aura les valeurs de z' et -,, et de là, en prenant encore les fonctions primes relativement à ^ et à y, on aura les fonctions dérivées du second ordre z", z',, z^^, et ainsi de suite.

Il est bon de remarquer ici que, pour les fonctions de deux variables, il y a deux fonctions dérivées du premier ordre z' et z^, trois du second ordre :;", z',, z^^, ..., de sorte que, pour l'ordre w'*''"^, il y aura un nombre m -+- 1 de fonctions dérivées.

Comme nous distinguons ces fonctions dérivées par des traits supérieurs qui se rapportent à l'une des variables x et par des traits inférieurs qui se rapportent à l'autre variable/, nous nommerons fonctions primes, secondes, etc., selon x ou y, les fonctions marquées par de seuls traits supérieurs ou inférieurs, et nous nommerons simplement fonctions primo -primes , secundo-primes, primo-secondes les fonctions marquées à la fois par des traits supérieurs et inférieurs, en énonçant le trait supérieur le premier et l'inférieur le second.

On trouvera plus de détails sur ce sujet dans la Leçon XIX du Calcul des fondions { * ) .

(*) OEwrcs de Lngrnngf, t. X.