CHAPITRE XII

nr DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES. DE LEURS FONCTIONS DÉRIVÉES. NOTATION DE CES FONCTIONS ET CONDITIONS AUXQUELLES ELLES DOIVENT SATISFAIRE. LOI GÉNÉRALE QUI RÈGNE ENTRE LES TERMES DU DÉVE- LOPPEMENT d'une FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES ET CEUX QUI RÉSULTENT DU DÉVELOPPEMENT DE CES TERMES EUX-MEMES.

73. Nous n'avons encore traité que des fonctions d'une seule variable; il n'est pas difficile d'étendre la théorie de ces fonctions aux fonctions de deux ou de plusieurs variables.

Soit/{x,y) une fonction quelconque de deux variables x et r, qu'on regarde comme indépendantes l'une de l'autre. Si, dans cette fonction, on met à la fois oc-hi a la place de x et y -ho à la place de r, i et o étant deux quantités indéterminées, qu'ensuite on développe la nouvelle fonction /(a: + /,j + o) suivant les puissances ascendantes de i et o, il est clair que le premier terme, sans i ni o, sera/(^, j), et que les autres seront de nouvelles fonctions de œ et de j, multipliées successivement par i, o, i-, io, o-, i^, ...; ces fonctions dérivent de la fonction primitive /(a;, j), et c'est la loi de cette dérivation qu'il s'agit de déterminer.

Pour y parvenir de la manière la plus simple, on commencera par supposer qu'il n'y ait que la variable x qui devienne x -t- /, la variable j demeurant la même. Dans ce cas, désignant, comme on l'a fait jusqu'ici, par/',/",/ ', . . . les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à X seul, on aura

fx + i, y) =f{x, y) -H if'[x, y) + '-f"[x, y) 4- ^/'"(■^. ï) +

Substituons maintenant partout 7 + o à la place de v; on aura

/• X + /, j + o] =f[x, r+o] + if'[x, X -h- o] 4- -f"[x, y-^o] + T—J"\^' ï + '^' "

Or, si Ton désigne pai'/. X./„. ••• les fonctions primes, secondes, tierces, etc. relativement à j, il est clair que la fonction/(.r, y+ o), considérée comme fonction de y-\-o et indépendamment de .r, deviendra

f[x, y] + of,[x, y) + ^f„[x, y] + ^f,À^, y) + • • ■ •

De même, en supposant toujours que les traits appliqués au bas de la lettre/indiquent les fonctions primes, secondes, etc. relativement l\ y des fonctions déjà désignées par/',/", ..., on aura

f'[x, y+o] =/' [x, y) + of;[x, y] + ^£{^, /)+•••,

f'.x, y-i-o] =f"{x, y) + of;\x, y) + ^fJi^, /)+••-.

et ainsi de suite.

Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de i et o, on aura

f[x-i-i,y-ho]=f[x,y) -+- if'[x,y] -\- of,[x, y)

+ ~/"(^>r) + iof;[x,y) + ~/,x^,r) + ^/"V-.r)

où la forme générale des termes est

(m Qii

74. Dans le procédé que nous venons de suivre pour avoir le développement de /{x-hi, y + o), nous avons commencé par substituer, dans/(ir, y), a: -+- i pour a;, et nous avons développé suivant i; nous

lU THÉORIE DES FONCTIONS.

avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement, j + o pour j, et nous avons développé suivant o. Or il est visible qu'on aurait identiquement le même résultat si l'on commençait par la substitution de j + o pour y et par le développement suivant o, et qu'on lit ensuite la substitution de rr+t pour^r et le développement suivant «. De celte manière, on aurait d'abord les fonctions primes, secondes, etc. relativement à y, savoir/(a.-, j),/^(a:-, j), ...; ensuite on aurait les fonctions primes, secondes, etc. de celles-ci relativement à x, qui, suivant la notation que nous venons d'établir, seraient représentées par/'(a7,j),/"(a7, j), .. ., f;[x, y), f^x, y), . . . , et l'on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être. Or, dans le premier procédé, la fonction /'(a^,j) s'obtient en prenant d'abord la fonction prime àef{x,y) relativement à x, ce qui donne /'(.r,j), et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y; et, dans le second procédé, la même fonction s'obtient en prenant d'abord la fonction prime dey'(^, y) relativement à j, ce qui donne /(a:,j), et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à x.

D'où il suit qu'il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive /(^,j) à la fonction dérivée/'(^, j) ; et, comme on doit dire la même cbose des autres fonctions marquées par des traits placés au baut ou au bas de la caractéristique/, on en peut conclure en général que les opérations indiquées par ces traits sont absolument indépendantes entre elles et qu'elles conduisent aux mêmes résultats, quelque ordre qu'on suive en prenant les fonctions primes relativement à ^ et à y, indiquées par chacun des traits supérieurs ou inférieurs. Ainsi, par exemple, on aura également la valeur iV)f^\x,y) en prenant la fonction seconde de f{x,y) relativement à x et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à j, ou en prenant d'abord la fonction prime de/(a7, j) relativement à jet ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à^, ou bien en prenant la fonction prime dc/(.r, y) relativement à x, ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y, et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à a?; et ainsi des autres.

Il est évidont (|ue cette oondusioii a lieu en général quelles (juc soient les variables .r, y, indépendantes ou non.