CHAPITRE XIV

DES ÉQUATIONS DliRIVÉES D UNE ÉQUATION ENTRE TPxOIS VARIABLES. DES FONCTIONS ARBITRAIRES QUI ENTRENT DANS LES ÉQUATIONS PRIMITIVES COMPLÈTES ENTRE TROIS VARIABLES.

81. Lorsqu'une fonction z n'est donnée que par une équation entre .r, >', z, on considérera que, comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de x et y, il s'ensuit qu'elle aura lieu aussi en y mettant ir + « et y-\~o à la place de x et )-, quelles que soient les quantités «' et o, de sorte que, en développant, après cette substitution, l'équation suivant les puissances et les produits de /et o, il faudra que les termes multipliés par une même puissance ou produits de i et o forment des équations séparées. Mais nous venons de voir que, dans le développement d'une fonction de .r et j, les termes multipliés par i donnent la fonction prime selon x, ceux multipliés par u

donnent la fonction prime selon y, ceux multipliés par — donnent la

fonction seconde selon x, etc. Donc, ayant une équation quelconque entre x, y, z, et regardant z comme une fonction de x et y donnée par cette équation, on pourra, en prenant les différentes fonctions dérivées de tous ses termes, en déduire autant d'équations dérivées de différents ordres, qu'on appellera de même équations primes, secondes, etc. selon x ou y, équations primo-princes, secundo-primes, etc.. et en général, équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc.

Ces équations serviront à trouver les valeurs de z', z^, z", z',, z^^

Si donc on représente par

lo8 THÉORIE DES FONCTIONS.

l'équation proposée pour la détermination de z, et qu'on désigne simplement par y {oc), F(r), F'(s) les fonctions primes de F(a7,y, s) prises relativement à' x^ y, z, considérées séparément et comme des variables indépendantes, il est aisé de voir, par les principes établis pour les fonctions d'une seule variable, que i[¥'{x) -hz' ¥'{z)] sera le terme affecté de /, et o\¥'{y)-h z^F'{z)] le terme affecté de o dans le développement de V{x,y, z), après la substitution de x-{-iety-\-o pour ce et y, z étant regardé comme fonction de x et y.

Ainsi, ¥' [ce) -h z' ¥' [z) sera la fonction prime relative à x, et ¥'{y) -i- z^¥'{z) la fonction prime relative à y de ¥{x, y, z), de sorte qu'on aura ces deux équations primes

d'où l'on tire

Ayant ainsi les valeurs de z' et z^, on en déduira celles de z", z',, z^^, ... en prenant de nouveau les fonctions primes de celles-ci relatives à X et y, et ainsi de suite.

82. On peut aussi rapporter immédiatement cette tbéorie à celle des fonctions d'une variable en regardant z comme donné en x et y, et y comme une fonction indéterminée de x. Ainsi, en regardant d'abord y et z comme fondions de x, la fonction prime de F(.r, y, ::) sera

mais, z étant considéré comme fonction de x ety, et y comme fonction de X, la fonction prime de z sera représentée par z' -\-y'z/, mettant cette valeur à la place de z', on aura

F'(x) + s'F'(.)+r'[F'(j) + .,F'(zl]

pour la fonction prime de ¥[x,y, z).

Donc, ayant l'équation

on aura l'équation prime

F'ix] + z' Fiz) ^ r'l¥\r) + ^,'P'[~-)] = o.

Mais, V étant regardé comme une fonction indéterminée de ce, l'équation précédente doit avoir lieu quelle que soit la fonction r'; elle se décomposera donc en ces deux-ci,

comme plus haut.

On pourrait trouver de la mémo manière les équations dérivées des ordres supérieurs.