Cela posé, considérons en général l'équation

elle donne les deux équations primes

F'(^l + z'F'[z) = o, F'ir) + z,¥'[z) = o,

qui auront par conséquent lieu en même temps que la proposée. Donc une combinaison quelconque de ces trois équations aura lieu aussi et pourra, par conséquent, tenir lieu de l'équation primitive.

Soient a el b deux constantes quelconques contenues dans la fonction Y{iv,Y, z); ces constantes seront les mêmes dans les fonctions dérivées F'(a7), F' (y), F'(:;); ainsi l'on pourra, au moyen des trois équations dont il s'agit, éliminer ces deux constantes, et l'équation résultante sera une équation du premier ordre entre ce, y, ~-, z' et z^ qui renfermera deux constantes de moins que l'équation primitive. Donc, réciproquement, si l'on n'a pour la détermination de :; en .v et y qu'une équation du premier ordre entre ce, y, z, z' et z^, l'équation primitive entre x,y et z devra contenir deux constantes arbitraires.

Ceci est analogue à ce que nous avons vu relativement aux fonctions

160 TUÉOUIE DES FONCTIONS.

d'une seule variable (n" 46); mais nous avons vu aussi [n° 60) que la quantité arbitraire qui doit se trouver dans l'équation primitive peut n'être pas constante et donner cependant, par l'élimination, la même équation du premier ordre. La même cbose peut donc avoir lieu ici; et il est aisé de concevoir qu'on aura encore la même équation du premier ordre par l'élimination des deux arbitraires a et b, quoiqu'elles ne soient pas constantes, pourvu que les deux équations primes soient encore de la môme forme.

Désignons simplement par Y' [a] et F'(^) les fonctions primes de ¥{x, y, z) prises relativement aux quantités a et b contenues dans cette dernière fonction; il est aisé de voir, par les principes établis, que. si a et ^ sont regardés comme des fonctions de x et y, la fonction prime de F{oc,y, z) relative à ce devra être augmentée, à raison des deux nouvelles variables a et b, de la quantité a' F'{a) + b'¥'{b), et que la fonction prime relative h y devra être augmentée pareillement de a,¥'{a)-\-bY'{b).

Supposons b=/[a); on aura, en prenant les fonctions primes relativement à oc et y,

b'=a'f'[a], b,=za,f'[a);

donc les quantités à ajouter aux deux fonctions primes seront

par conséquent, elles disparaîtront à la fois en prenant a telle (ju'elle

satisfasse à l'équation

la fonction /(a) de a, qu'on a prise pour b, demeurant absolument arbitraire.

De là résultent donc ces conclusions importantes :

i" Que l'équation primitive qui satisfait, en général, à une équation du premier ordre doit renfermer une fonction arbitraire;

2" Que, si pour une équation donnée du premiei' ordre on trouve une équation primitive

(lui renferme deux constantes arbitraires a et h, il n'y aura qu'à faire h T^f[a) et prendre a de manière qu'elle satisfasse à l'équation

F'(a) +/'(«) F'(ft) = o;

la fonction désignée par/(a) sera la fonction arbitraire;

3° Qu'ayant une équation quelconque entre x, y, z qui renferme une fonction donnée, on en peut déduire une équation du premier ordre où cette fonction ne se trouve plus. En elfet, si f^{p) est la fonction qu'on veut faire disparaître,/? étant une fonction donnée de x,y, z, il n'y aura qu'à prendre les deux équations primes suivant x et suivant V de l'équation proposée; on aura trois équations qui renfermeront o{p) et o'{p), en désignant par o'{p) la fonction prime de <^{p) prise relativement n p, d'où, éliminant ces deux fonctions, il résultera une équation du premier ordre où la fonction cp(/j) ne se trouvera plus.