IX

Cette équation, où la caractéristique 9 désigne une fonction arbitraire, satisfera dans toute son étendue à l'équation du premier ordre en u, dans laquelle u est regardée comme fonction de x,y, z; mais u a été supposée égale à s , et z doit être, d'après l'équation proposée, une fonction de x et j; donc l'équation

est trop générale, et il f^iudra encore chercher les limitations qu'on doit donner à la fonction arbitraire relativement aux deux quantités P et Q, pour que cette équation réponde exactement à l'équation proposée.

Mais, sans entrer dans cette recherche, j'observe que, quelle que puisse être la vraie forme de la fonction arbitraire, on peut la supposer égale à une constante, de sorte que ?:=«, c'est-à-dire une des équations primitives des trois équations ci-dessus, avec une constante arbitraire, donnera une valeur de u qui satisfera à l'équation en u.

Maintenant, en remettant s, pour u dans cette équation, on aura une équation du premier ordre entre x, y, z et 5,, dans laquelle z devra être regardée comme fonction de x et j; mais, puisque cette équation ne contient que la fonction prime s relative àj, on pourra regarderacomme constante et s comme une simple fonction de y, on trouvera donc son équation primitive par l'analyse des fonctions d'une seule variable, et, puisque x est regardée comme constante, la constante arbitraire qui entrera dans cette équation primitive pourra être aussi une fonction quelconque de x, que nous nommerons/).

On aura ainsi une valeur de z en x et j, avec les deux quantités a dp, qui satisfera à l'équation proposée. La constante a demeurera arbitraire; mais la fonction p devra être déterminée conformément à cette équation. Pour cela, il n'y aura qu'à y substituer l'expression de z dont il s'agit; tous les termes qui renfermeront y se détruiront, et il ne restera que des termes qui contiendront x, p et // , de sorte que l'on aura de nouveau une équation du premier ordre entre les va-

riables x ot p, dont l'équation primitive donnera la valeur do p en x, avec une nouvelle constante arbitraire b.

De cette manière, on aura enfin une valeur de s en a- et y, avec deux constantes arbitraires a et b, qui satisfera à la proposée indépendamment des constantes. Cette valeur ne sera que particulière; mais on pourra, par la méthode du n° 83, trouver la valeur générale de s, qui contiendra une fonction arbitraire.

En effet, si

est l'équation trouvée pour la détermination de z, on fera ^ = cp(rt), et l'on égalera à zéro la fonction prime de/[a:-, j, s, «, o(a)] prise relativement à la quantité a, regardée comme seule variable; on aura une équation qui servira à déterminer a, et l'équation

sera l'équation primitive cherchée de la proposée du premier ordre, la fonction marquée par la caractéristique o demeurant arbitraire.

J'ai cru devoir exposer cette méthode avec tout le détail nécessaire pour la faire bien entendre, parce qu'elle est nouvelle et qu'elle réduit toute l'analyse inverse des fonctions de deux variables qui ne passent pas le premier ordre à l'analyse des fonctions d'une seule variable.

94. Pour éclaircir cette méthode par un exemple dont le calcul soit assez simple, supposons que l'équation proposée soit de cette forme

A et B étant des constantes, et/(^, z) une fonction quelconque donnée de X et de z,. En rapportant cette équation à la formule générale du numéro précédent, on aura

Y[x,y,z,-,] = Ky-\-Yiz -hf{x,z,);

donc

F[x,r, z, u] = \y -h Bz -+-f[x, u),

et (le là, en prenant les fonctions primes relativement à y et s,

(le sorte que, en (\iisant ces substitutions dans les trois é({uations du premier ordre entre x, y, z, u, la première d'entre elles deviendra

la(]uene ne contenant que la variable u, qu'on suppose fonction de a;, aura une (équation primitive ind(îpendamment des deux autres. En effet, si l'on multiplie cette équation par e~"^', e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, son premier membre deviendra la

fonction prime de

nx Ae-B"^

comme il est aisé de s'en assurer en cherchant la fonction prime de cette quantité par les formules du Chapitre III.

Ainsi, comme le second membre est nul, on aura, en passant aux fonctions primitives,

a étant une constante arbitraire. Cette équation donnera donc

et, substituant pour u sa valeur z^, on aura l'équation prime

dans laquelle, z, étant la fonction prime de z relativement à j seul, on pourra regarder .r comme constante et s comme fonction de y. Ainsi, comme le second membre ne contient ni y ni z, sa fonction primitive dans cette supposition sera simplement

donc, passant des fonctions primes relatives h y seul aux fonctions primitives, on aura l'équation primitive

p étant une fonction quelconque de ce qui peut être ajoutée comme constante, puisque sa fonction prime relativement à y est nulle.

De cette expression de z on tirera celles des deux fonctions primes z' et z^ relatives à ce et >-, et l'on aura

z' = aBc^^")--'.- p' ,

- — — — ■4-rte"'"- -/ — B '

ces valeurs étant substituées dans l'équation proposée, elle deviendra

aBe" ■>• + p' = A j + B (- I + «e'^'^ + B/; -\f{x, ~~ + «e"' ) , laquelle se réduit à

p'='&p+f(x,-^+ué'^y

où l'on voit que les j ont disparu, de manière qu'on pourra déterminer/? en fonction de x seul.

Qu'on multiplie cette équation par e"^"" et qu'on suppose

elle deviendra

(/7e-iî^-)'=F'(x)»

et, passant aux fonctions primitives, on aura

pe-B- — F(.r) + 6, b étant une constante arbitraire. De là on tire

/, = eB-[F{:c) + />]; donc, substituant cette valeur dans l'expression de z trouvée ci-dessus,

on aura

z=(- ^ -\- ae''Ay-i-[F[x) + b]e''\

Cette valeur de z n'est que particulière; mais, comme elle contient les deux constantes arbitraires a et b, elle donnera la valeur générale si l'on fait b=if[a) et que l'on détermine a par l'équation