I.e résultat de cette élimination est

d'où résulte cette équation du premier ordre

qui ne contient que ce, y, z avec les fonctions primes z' et z^. Cette équation pourra donc être mise sous cette forme

en faisant

[^)f'ir)~

d'où l'on peut conclure :

1° Que toutes les équations du premier ordre entre ^, y, z' et :;, (]ui ne seront pas réductibles à la forme précédente ne pourront pas être dérivées d'une équation primitive entre ce, y, z et <^{p), p étant une fonction de ce, y, z;

2° Que toutes les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente pourront toujours avoir pour équation primitive une équation de la forme supposée Y{x, y, z)=^'f[p), p étant égal à

Car les valeurs des coefficients M et N étant données en fonction de X, y, on aura deux équations par lesquelles on pourra déterminer les deux fonctions marquées par les caractéristiques F et/, et la fonction marquée pour o demeurera arbitraire.

Ce problème étant l'un des plus intéressants de la théorie des fonctions, je vais en donner ici une solution directe.

90. Regardons, ce qui est permis, JK et ^ comme des fonctions de .r dont les fonctions primes soient y et z', et considérons les deux quan-

tités c'+ N et M:;'+ Nj'; ces quantités deviendront, par la substitution des expressions précédentes de M et de N,

F'(^)/'(r)-F'ir)/'(^)

F'(:g)[/'(z).-+/'(r).r'1-.r(^UF(z).' + F'(j)r'] F'(~^)/'(r)-*"(r)/'(^)

Si l'on ajoute, et qu'on retranche en même temps du numérateur de la première la quantité F'(j)/'(j)y et du numérateur de la seconde la quantité F'{x)/'[x), et qu'on fasse attention que F'(a:) + ¥'{y)y-hY'{z)z' est la fonction prime de Y{a^,y,z), que nous dénoterons simplement par F{x,Y,z)'; que de même /'(a:)+/'(7)y'4-/'(s):;' est la fonction prime de /{x,y, z), que nous dénoterons pareillement par /[x,y, z)', on aura

M;' + Nj'=

FV^)/'(j)-F'(j)/'(z) ¥'{x]f(x,r,z)'-f'ix]F(x,r,

Donc, si l'on fait les deux équations

2' + Nr=o, M;'+Nj' = o,

ces équations seront équivalentes à ces deux-ci,

F[x,x,z]'=o el f[x, y,z)'=o,

dont les équations primitives sont évidemment

A et B étant des constantes arbitraires, de sorte que ces équations primitives seront complètes à cause des deux constantes arbitraires A et B. Mais il est possible qu'en cherchant les équations primitives des équations

où M et N sont des fonctions données de x, y, z, on ne les trouve pas sous la forme précédente. Cependant, sous quelque forme qu'elles

puissent se présenter, si elles renferment deux constantes arbitraires a cl h, elles doivent être comprises dans les précédentes, et les constantes A et B ne pourront qu'être fonctions des constantes a et h. Si donc on tire de ces équations primitives les valeurs des constantes a et ^ en x,y, z, et que ces valeurs soient P et Q, en sorte que les équations dont il s'agit soient réduites à la forme P = a, Q = i, il s'ensuit que les fonctions Y{x,y,z) ei f[x,y,z) ne pourront être aussi que des fonctions de P et Q.

Donc, puisque l'équation primitive d'où l'équation du premier ordre 3' -hM5, + N = o est dérivée, est de la forme

cette équation primitive deviendra

fond. ( P,Q)r.iç [fond. (P,Q)],

la fonction marquée par 9 demeurant arbitraire : d'où il résulte que P sera une fonction quelconque de Q, de sorte que l'équation primitive de l'équation du premier ordre

2' + Mz, + N = o pourra être réduite, en général, à cette forme très-simple,

la fonction marquée par la caractéristique (p étant arbitraire. Cette méthode réduit, comme l'on voit, la détermination de la fonction de deux variables à celle de deux fonctions d'une seule variable, et elle est surtout remarquable par la simplicité et la généralité du résultat.

91. La méthode précédente peut s'étendre aussi aux fonctions de plus de deux variables. Ainsi, si u est une fonction de trois variables ce, y, z, déterminée par l'équation

l'(-^. jr, z,u]z=o{p,q),

p ti q étant des fonctions données de x, y, z, u, et <i^{p, q) étant une

tonction quelconque de p, q, on frouvcra, par une analyse semblable à celle du n" 89, et regardant r et z comme des fonctions de x dont on déterminera les fonctions primes y et z' par la supposition quc/> et q demeurent constantes, on trouvera, dis-je, une équation du premier ordre, dérivée de la fonction o, de la forme suivante,

L, M, N étant des fonctions données de x, y, z, u, et a', ;/,, u étant les fonctions primes de u relativement à x, y et z, de sorte que toute équation entre x, y, z, u et les fonctions primes de u qui ne serait pas de cette forme ne pourra pas être dérivée d'une équation primitive de la forme ci-dessus.

Pour les équations du premier ordre réductibles à la forme précédente, on trouvera aussi, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, que, si l'on regarde r, z, u comme des fonctions de x déterminées par ces trois équations du premier ordre,

ii'4-N — o, Lm'+N/' = o, MH'^-N^' = o,

et qu'on en cherche les équations primitives qui devront renfermer trois constantes arbitraires a, b, c, qu'ensuite on tire de ces équations les valeurs de ces constantes, de manière que l'on ait

P, Q, R étant des fonctions données de x, y, z, u, on aura sur-lechamp

pour l'équation primitive de l'équation proposée, dans laquelle o(P, Q) sera une fonction arbitraire de P et Q.

Cette méthode est présentée d'une manière plus simple et plus directe dans la Leçon XX du Calcul des fonctions {*), à laquelle nous nous contentons de renvoyer.

(*) OEuvres de Lagrange, t. X.

92. Mais, si l'on avait, pour la détermination de z en fonction de x etj, une équation quelconque du premier ordre entre x, y, z, z et ^, non réductible à la forme du n° 89, la même méthode ne servirait plus. Cependant on peut toujours, quelle que soit la forme de l'équation proposée, la ramener à la forme du n° 91 en y introduisant une variable de plus.

Soit donc proposée l'équation

la fonction indiquée par la caractéristique F étant donnée; je suppose z^=^u, et, comme z est fonction de x, y, il est clair que u sera aussi fonction Aex, y; donc, prenant les fonctions primes relativement à x seul, on aura z, = u' . Maintenant, l'équation proposée deviendra

prenant les fonctions primes relativement à j seul, et observant que z et u sont fonctions de x, y, on aura

où les quantités F'(j), F'(:;), F'(a) dénotent les fonctions primes de Y[x,y, z, u) prises relativement aux variables isolées y, z, u, ainsi que nous l'avons pratiqué jusqu'ici; donc, substituant w et u' pour z^ et :;', on aura l'équation

u'=F'{y)-^uF[z) + u,r[n),

dans laquelle les quantités F'(7), F'(s), F'(m) seront des fonctions données de x, j, z et u.

Cette équation serait donc susceptible de la méthode précédente si u était une fonction des variables x, y, z, regardées comme indépendantes entre elles; mais rien n'empêche de les regarder comme telles et de regarder en même temps u comme une simple fonction de x, y, z, pourvu qu'on exprime, d'une manière conforme à cette supposition, les fonctions primes u' et u qui se rapportent aux seules variables x et y.

Qu'on dénote par «', ?/, et u les fonctions primes de u relativement à .r, y, z, il est facile de voir, par les principes établis pour la formation des fondions primes, que, puisque z est essentiellement une fonction de a; et y dont z' et z^ sont les fonctions primes relativement à chacune de ces variables isolées, la valeur complète de la fonction prime de u relativement à x sera u'-{-^uz', et que la valeur complète de la fonction prime de u relativement à y sera ii^+uz^; ces valeurs sont celles qui, dans l'équation ci-dessus, sont représentées simplement par u et u;, mais on a supposé z^z= u, et, par l'équation proposée, on a r'=F(a7, j, 5, u)-, donc les valeurs à substituer à u' et u^ seront u-{-uY{x,y,z,u) et i/^-huu. Faisant donc ces substitutions dans la dernière équation en u, u, ii^ et ordonnant les termes suivant les quantités u , « et u, on aura

u'—ii,Y'[u)-^,u[y[x,r,z,u) — uY'[u]'] — V'[x] — u¥[z] = o, équation qui, étant comparée à la formule générale du n" 91, donne

de sorte que les trois équations par lesquelles il faudra déterminer v, z, M en fonction de x seront

u — F'( j) — uW[z)=r. O,

M'F'(«)+/[F'(r) + «F'(z)]=.o, u'[Y[x,x,z,u)-uV[u)']~z'lT[y] + uY[z)'\z=o.

Ainsi la difficulté est réduite à trouver les équations primitives d'où celles-ci peuvent être déduites; mais il suffira d'en trouver une, et il serait même inutile de trouver les deux autres.

93. En effet, supposons qu'on ait trouvé les trois équations primitives avec les trois constantes arbitraires a, h, c, et soient P, Q, R les valeurs de ces constantes qui en résultent ; on aura

pour la forme générale de l'équation primitive en u (n" 91 ).