CHAPITRE PREMIER

DES DIFFERENTES M.^NIERES DONT ON A CONSIDERE LES TANGENTES. THEORIE DES TANGENTES ET DES CONTACTS DE DIFFÉRENTS ORDRES, d'aPRÈS LES PRINCIPES DE LA GÉO.MÉTRIE ANCIENNE.

I. Les opérations ordinaires de l'Algèbre suffisent pour résoudre les problèmes de la théorie des courbes, qui ne consistent que dans des rapports de lignes tirées d'une certaine manière et terminées aux courbes; mais la détermination des tangentes, des rayons de courbure, des aires, etc., dépend essentiellement des opérations relatives aux fonctions.

Suivant les anciens géomètres, une ligne droite est tangente d'une courbe lorsque, ayant un point commun avec la courbe, on ne peut mener par ce point aucune droite entre elle et la courbe: c'est par ce principe qu'ils ont déterminé les tangentes dans le petit nombre des courbes qu'ils ont considérées. Mais depuis que, par l'application de l'Algèbre à la Géométrie, les courbes ont été soumises à l'analyse, on a envisagé les tangentes sous d'autres points de vue: on les a regardées comme des sécantes dont les deux points d'intersection sont réunis, ou comme le prolongement des côtés infiniment petits de la courbe, considérée comme un polygone d'une infinité de côtés, ou comme la

direction du mouvement composé par lequel la courbe peut être décrite, et ces difTérentes manières de considérer les tangentes ont donné lieu aux méthodes algébriques fondées sur l'égalité des racines des équations et aux méthodes différentielles fondées sur le rapport des différences infiniment petites ou des fluxions des coordonnées. Ces méthodes ne laissent rien à désirer pour la généralité et la simplicité; mais ceux qui admirent avec raison l'évidence et la rigueur des anciennes démonstrations regrettent de ne pas trouver ces avantages dans les principes de ces nouvelles méthodes. La théorie des fonctions que nous avons développée dans la première Partie nous met en état de traiter le problème des tangentes et les autres problèmes du même genre d'après les notions et les principes des anciens, et de donner ainsi aux résultats de l'Analyse le caractère qui distingue leurs solutions.

2. Pour considérer ces questions d'une manière générale, soient

l'équation d'une courbe quelconque proposée et

l'équation d'une ligne droite ou d'une autre courbe qu'on veut comparer à celle-là; ce et y sont l'abscisse et l'ordonnée de la première courbe;/? et g sont aussi l'abscisse et l'ordonnée de l'autre courbe, rapportées aux mêmes axes que ce et y.

Pour que ces deux courbes aient un point commun relatif à l'abscisse oc, il faut que, en faisant/? = ce, on ait ^ — r; donc j~ F(^). et, par conséquent,

Pour comparer maintenant le cours de ces courbes au delà de ce point, on mettra dans leurs équations x-\-i 'à la place de cr et de/j, et l'on aura /{ce ■+- i) et F{x-hi) pour les ordonnées répondant au même point de l'axe des x et éloignées de la quantité i de l'ordonnée qui passe par le point commun. Donc la différence de ces ordonnées sera

SECONDE PAUTIE. - CHAPITRE I. 185

/{x -\- i) — ¥[cc -h i), savoir, en développant les fonctions et observant que l'on a déjà /(a-) — F(^) = o,

et cette différence exprimera la distance des points des deux courbes qui répondent à la même abscisse x-hi.

On voit d'abord, en général, que cette distance sera d'autant plus petite et que, par conséquent, les courbes se rapproclieront d'autant plus qu'il y aura plus de termes qui disparaîtront au commencement de cette série.

Ainsi le rapprocbement sera plus grand si l'on •d/'{x) = ¥'{x), c'està-dire si les fonctions primes des ordonnées des deux courbes deviennent égales pour la même abscisse x; il sera plus grand encore si, de plus, les fonctions secondes/"(^) et T'{x) des mêmes ordonnées deviennent aussi égales, et ainsi de suite.

3. Mais, pour voir de plus près en quoi consistent ces différents degrés de rapprochement, nous considérerons une troisième courbe quelconque, rapportée aux mêmes axes par les coordonnées r et s, et

dont l'équation soit

et nous supposerons d'abord qu'elle ait aussi avec les deux autres un point commun pour la même abscisse x, ce qui exige que les ordonnées à cette abscisse soient égales, et, par conséquent, que l'on ait

aussi

Soient D la différence des ordonnées des deux premières courbes pouila même abscisse x -+- i, et A la différence des ordonnées de la première courbe et de la troisième pour cette même abscisse .r + i; on aura

et de même