IX

H est clair que la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins que pour une valeur quelconque de i, aussi petite qu'on voudra, la valeur de D ne surpasse celle de A, abstraction faite des signes.

Développons les fonctions/(.r + j), F(.r + i), 9(j: + î) partiellement, suivant la formule du n° 40 de la première Partie, et arrêtons-nous d'abord aux deux premiers termes. Nommant/ une quantité indéterminée, mais renfermée entre les limites o et i , on aura, par celte formule,

f[x + /) =/(x-] + if'ix) + ^/'V +./),

et de même

OÙ la quantité/ pourra n'être pas la même dans les trois fonctions, pourvu qu'elle soit renfermée entre les mêmes limites.

Faisant ces substitutions dans les expressions de D et A, on aura, à cause de /{x) = ¥{x)=^'!^{x), en vertu du point commun aux trois courbes,

Supposons maintenant que les deux premières courbes soient telles (jue l'on i\\[/'{x) — F'{x); la valeur D se réduira à

et il est aisé de se convaincre que, tant que le terme alfccté de i dans l'expression de A ne sera pas nul, on poui'ra toujours prendre i assez petit pour que la quantité A devienne plus grande que la quantité D, abstraction faite des signes. En elTet, en divisant ces deux quan-

tités par /, il suffira que la quantité f'{oc) — o'{x) soit plus grande que; - [o'Xx -hj) — ¥"{x +y )], ce qui est évidemment toujours possible, en

prenant /aussi petit qu'on voudra, et il est visible aussi que, aussitôt que cette condition aura lieu pour une valeur déterminée de i, elle aura lieu, à plus forte raison, pour toutes les valeurs plus petites de i. Donc la troisième courbe ne pourra, dans ce cas, passer entre les deux premières, à moins que la quantité /'(a-) — 'p'(^) ne devienne nulle, c'est-à-dire qu'on n'ait

auquel cas la conclusion précédente cessera d'avoir lieu.

4. Supposons ensuite que l'on ait à la fois F'(^) =f'[oc) et F"(x)=/"(a7); en prenant trois lerjnes dans le développement des fonctions, nous aurons, par la même formule du n° 40 (P^ Partie),

F(:c + i) = F(x) + / F'(;i;) + ^ ¥"{x] + ^F"'(.r -hj],

Ces valeurs étant substituées dans les expressions générales de D et A, à cause de /{.x)^-Y{x] = ^^{x) et/'{x) = F'{x),/"{œ) = ¥"{x), donneront

Ici, il est aisé de voir que, tant que les termes affectés de i et de /dans l'expression de A ne seront pas nuls, on pourra prendre i assez petit pour que la quantité A devienne plus grande que D, abstraction faite des signes. Car, divisant ces deux quantités par i, il suffira

que la quantité f{x) — ç'(a^) -+- ^ [/"(» — ?"("^)] soit plus grande que

— ^ [©"'(a7+y) — F"'(a^4-y)], ce qui est évidemment possible lorsque

f'[x) — (ù'{x) n'est pas nulle, et, ?,\ f'[x) — c^\x) est nulle, alors, en divisant encore par i, il suffira que/"(a;) — o"[x) soit une quantité plus

grande que ^['/'(.r+y) —F'"(,z' 4-y)J, ce qui est encore visiblement

possible, en diminuant la valeur de i tant qu'on voudra, pourvu que /"{x) — o"{x) ne soit pas nulle.

Donc, dans ce cas, la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins qu'on n'ait à la fois

c^'[x]=f'[x) ei 9'»=/"(^).

On prouvera de la même manière que, si l'on a pour les deux premières courbes

f'[x) = ¥'[a:), f"[x) = r'[x) el f"\x] = Y"\x\,

la troisième courbe ne pourra passer entre les deux premières, à moins que l'on n'ait aussi

et ainsi de suite.

5. On peut conclure de là, en général, que, si l'on a une courbe quelconque et qu'une autre courbe donnée ait un point commun avec celle-là, ce qui exige que leurs ordonnées pour la même abscisse soient égales, que de plus les fonctions primes de ces ordonnées pour la même abscisse commune soient aussi égales, alors il sera impossible ([u'aucune autre courbe qu'on mènerait par le même point commun passe entre les deux courbes, à moins que la fonction prime de son ordonnée pour la même abscisse ne soit aussi égale à la fonction prime de l'ordonnée commune aux deux courbes.

Et si, outre les fonctions primes de ces ordonnées, leurs fonctions secondes pour la même abscisse étaient aussi égales, alors il serait im-

possible qu'aucune autre courbe qui passerait par le point commun passât entre les deux courbes, à moins que les fonctions prime et seconde de son ordonnée ne fussent respectivement égales aux fonctions prime et seconde de l'ordonnée commune aux deux courbes, et ainsi du reste.

A proprement parler, ces courbes ne coïncident que dans le point où les ordonnées sont égales, et l'égalité des fonctions primes, secondes, etc. de ces ordonnées ne les rend pas plus coïncidentes dans d'autres points, mais elle les fait approcher de manière (ju'aiicune autre courbe pour laquelle la même égalité n'aurait pas lieu ne puisse passer entre elles.

C'est là l'idée nette qu'on doit se faire de ces différents degrés de rapprochement des courbes que l'on appelle communément contact, oscillation, etc., et que la manière ordinaire de concevoir le Calcul différentiel fait regarder comme des coïncidences plus ou moins rigoureuses ou plus ou moins étendues.