PREMIERE PARTIE. - CHAPITRE

dOù l'on tire

On fera done Q = q-\-iB., et ainsi de suite.

On peut, à la vériîé, trouver les valeurs de/?, q, r, ... d'une manière plus expéditive en faisant tout de suite l'équation

y \r + i = v'-^ -\- pi -i- qi- + ii'^-\-. . .,

l'élevant au carré pour dégager la quantité i de dessous le signe, et comparant ensuite les termes affectés des mêmes puissances de i pour que cette quantité puisse demeurer indéterminée, comme on le suppose; mais la méthode précédente a l'avantage de ne développer la série qu'autant qu'on veut et de donner la valeur exacte du reste. En effet, si l'on voulait, par exemple, s'arrêter au second terme/»/, on aurait Qr pour la valeur du reste, et l'on pourrait déterminer Q par la résolution de l'équation en Q. Dans l'exemple ci-dessus, cette équation est

six) 4-^"

et, pour la résoudre de manière que l'expression de Q ne présente pas

la quantité i au dénominateur, il n'y a qu'à faire Q == y^, ce qui réduira l'équation à cette forme.

d'où l'on tire

V =: — 4 -^ s/^ — ii\Jx±^x\/x-+i;

et, comme Q ne doit pas devenir infini lorsque / = o (n" 3), il faudra que V ne devienne pas nul dans le même cas; par conséquent, il faudra prendre le signe inférieur du radical; on aura ainsi

^' =: — 2)/x[-2X -\- i) — '^^Xljx -^- i.

et de là

comme plus haut. On en usera de même dans tous les cas semblables.

6. Mais le principal avantage de la méthode que nous avons exposée consiste en ce qu'elle fait voir comment les fonctions/), q, r, ... résultent de la fonction principale /(a;), et surtout en ce qu'elle prouve que les restes iV, iQ, îR, . . . sont des quantités qui doivent devenir nulles lorsque / = o, d'où l'on tire cette conséquence importante que,

dans la série

f{x) + pi -t- qi- -+- ri^ + . . . ,

qui nait du développement de/[x-hi), on peut toujours prendre i assez petit pour qu'un terme quelconque soit plus grand que la somme de tous les termes qui le suivent, et que cela doit avoir lieu aussi pour toutes les valeurs plus petites de /.

Car, puisque les restes «P, iQ, il\, ... sont des fonctions de «qui deviennent nulles, par la nature même du développement, lorsque i = o, il s'ensuit que, en considérant la courbe dont / serait l'abscisse et l'une de ces fonctions l'ordonnée, cette courbe coupera l'axe à l'origine des abscisses, et, à moins que ce point ne soit un point singulier, ce qui ne peut avoir lieu que pour des valeurs particulières de x, comme il est facile de s'en convaincre avec un peu de réflexion et par un raisonnement analogue à celui du n" 2, le cours de la courbe sera nécessairement continu depuis ce point; donc elle s'approchera peu à peu de l'axe avant de le couper et s'en approchera, par conséquent, d'une quantité moindre qu'aucune quantité donnée, de sorte qu'on pourra toujours trouver une abscisse / correspondant à une ordonnée moindre qu'une quantité donnée, et alors toute valeur plus petite de i répondra aussi à des ordonnées moindres que la quantité donnée.

On pourra donc prendre i assez petit, sans être nul, pour que îP soit moindre que/'.r), ou pour que iQ soit moindre que p, ou pour

quo iW soit moindre que q, et ainsi des autres, et par conséquent pour que i'-Q soit moindre que ip ou que r'R soit moindre que rq, etc.; donc, puisque (n° 3)

iV = ip -h i-q -h i^r + . . ., i- Q = / - q -{- i'^ r -■-... , i^ R ~ / ' ;• + ...,

il s'ensuit qu'on pourra toujours donner à i une valeur assez petite pour que chaque terme de la série

f[x)-r-ijj-^i-q + i^r+...

devienne plus grand que la somme de tous les termes suivants, et alors toute valeur de i plus petite que celle-là satisfera toujours à la même condition.

On doit regarder ce théorème comme un des principes fondamentaux de la théorie que nous nous proposons de développer; on le suppose tacitement dans le Calcul différentiel et dans celui des fluxions, et c'est par cet endroit qu'on peut dire que ces calculs donnent le plus de prise sur eux, surtout dans leur application aux problèmes géométriques et mécaniques. Los doutes qui pourraient rester sur la démonstration de ce théorème, parce que le procédé que nous avons employé pour trouver les restes «P, iQ, ïR, ... n'est applicable qu'aux fonctions algébriques, seront levés dans le Chapitre V, où nous donnerons l'expression générale de ces restes et la manière d'en déterminer les limites.

7. 11 faut remarquer, au reste, que la méthode que nous venons de donner pour trouver successivement les termes de la série qui représente une fonction de x-hi, développée suivant les puissances de i, ne peut s'appliquer, en général, au développement d'une fonction de aet de i qu'autant que cette fonction est susceptible d'être réduite en une série qui procède suivant les puissances positives et entières de i. car le raisonnement du n° 2, par lequel nous avons prouvé que toute fonction de oc -^i est, généralement parlant, susceptible de cette forme ne pourrait pas s'appliquer à une fonction quelconque de ^ et i. Mais,

dans les cas où cette réduction est possible, on pourra toujours appliquer à la série résultante du développement suivant les puissances ascendantes de / la conséquence que nous en avons tirée dans le numéro précédent, savoii', que la quantité i pourra être prise assez petite pour qu'un terme quelconque de la série soit plus grand que tous ceux qui le suivent, pris ensemble.