CHAPITRE IL

rONCTIONS dérivées; leur notation et I.EIR ALGORITHME.

8. Nous avons vu que le développement de/(^ + f) donne naissance à différentes autres fonctions/?, q, r, . . . , toutes dérivées de la fonction principale /(a;), et nous avons donné la manière de trouver ces fonctions dans des cas particuliers. Mais, pour établir une théorie sur ces sortes de fonctions, il faut rechercher la loi générale de leur dérivation.

Pour cela, reprenons la formule générale

/( X + i) =f( x]-\- pi-h qi- + r/-' -4- . .' . ,

et supposons que l'indéterminée x devienne x + 0, o étant une quantité quelconque indéterminée et indépendante de i; il est visible que /[x -{- i) deviendray'(^4- i -f-o), et l'on voit en même temps que l'on aurait le même résultat en mettant simplement i + o à la place de i dans/(,r + r). Donc aussi, le résultat doit être le même, soit qu'on mette, dans la sévïe /{x) -h pi-i-qi- -h rv' -h. . ., i-\-o -àla. place de i, soit qu'on y mette a; -h o au lieu de x. La première substitution donnera

f{x] -h p{i -ho] -h q{i -h o]-^ r{i + o)^ -h. . .,

savoir, en développant les puissances de i^o, et n'écrivant, pour plus de simplicité, que les deux premiers termes de chaque puissance, parce que la comparaison de ces termes suffira pour les déterminations dont nous avons besoin,

f[x]+ pi -\- qi--\- ri'^ -h si^ -h . . .+ po + 7.qio -h 3 ri- o -i- ^si^o ■+ . . . .

Pour faire l'autre substitution, soient /(a:) +f[x)o -;- ...,/>> -i-p'o -h . . . , q -\- q'o -i- . . . , /• -h r'o -h . . . ce que deviennent les fonctions f{x) , p, q, r, ... en y mettant cc-\-o pour x et ne considérant dans le développement que les termes qui contiennent la première puissance de o; il est clair que la môme formule deviendra

/(x-) + /;/ -\- qi' + ri^ -+- si' -h . . . -\-f'{x]o -h p' io -+- q'i-o + ;■'/■' o + . . . .

Comme ces deux résultats doivent être identiques quelles que soient les valeurs de i et de o, on aura, en comparant les termes affectés de o, de ia, de i'o, etc.,

P=f'{^)' ■^q=p', '^r=zq', 45 = r',

Maintenant, de même que/'(a:) est la première fonction dérivée de /{x), il est clair que// est la première fonction dérivée de p, que g' est la première fonction dérivée de q, /' la première fonction dérivée de /■, et ainsi de suite. Donc, si, pour plus de simplicité et d'uniformité, on dénote par/'(x) la première fonction dérivée ûe/[x), par/"(j:) la première fonction dérivée de/'{x), par/'"(a?) la première fonction dérivée (\e/"{x), et ainsi de suite, on aura

P^f'[^)> et de !à p' =f"{x);

donc

donc

donc

et de là

el de là

r'zz

r' /--(.ri

et ainsi de suite.

Donc, substituant ces valeurs dans le développement de la fonction f{x-\-i], on aura

Otte nouvelle expression a l'avantage de faire voir comment les termes (le la série dépendent les uns des autres, et surtout comment, lorsqu'on sait former la première fonction dérivée d'une fonction primitive quelconque, on peut former toutes les fonctions dérivées que la série renferme.

9. Nous appellerons la fonction /{x) fonction primitàe par rapport aux fonctions /'(a:), /"(a?), ... qui en dérivent, et nous appellerons ceWes-c'i fondions dérivées par rapport à celle-là. Nous nommerons de plus la première fonction àcv'wQC f'[x) fonction prime, la seconde l'onction dévi\éef"{x) fonction seconde, la troisième fonction dérivée f" [x) fonction tierce, et ainsi de suite.

De la même manière, si /est supposée une fonction de x, nous dénoterons ses fonctions dérivées par y', y", y'", . . ., de sorte que, y étant une fonction primitive,/' sera sa fonction /;n'me, y" en sera la fonction seconde, y'" la fonction tierce, et ainsi de suite.

De sorte que, x devenant x-\-i, y deviendra

Ainsi, pourvu qu'on ait un moyen d'avoir la fonction prime d'une fonction primitive quelconque, on aura, par la simple répétition des mêmes opérations, toutes les fonctions dérivées, et par conséquent tous les termes de la série qui résulte du développement de la fonction primitive.

Au reste, pour peu qu'on connaisse le Calcul différentiel, on doit voir que les fonctions dérivées j', /",/", . . ., relatives à x, coïncident

, . dr d-r d^r

avec les expressions -f--, -r— ;> -r-^? — ' ax ax- ax'

2h THÉORIE DES FONCTIONS.