P' = MV, Q'=NV, R' = LV

M, N, L étant des fonctions de ce, y, y' et y" sansj'", de sorte qu'en prenant les fonctions primes de l'équation

on aura

P'cp'(P) + Q'cp'(Q) + R'(p'(R)=^o,

savoir

équation qui se partage naturellement dans ces deux-ci,

V=o et M9'(P)-+-N(p'(Q) +Lç'(R) = o,

dont la première est du troisième ordre et dont la seconde n'est que du second.

L'équation Y= o a, comme nous l'avons déjà vu, pour équation primitive complète l'équation même

de la courbe du contact, dans laquelle a, b, c sont les trois constantes arbitraires; mais, comme l'équation du problème

n'est que du second ordre, il doit y avoir une relation entre ces trois constantes qui les réduise à deux arbitraires, et cette relation est

donnée par l'équation

qui résulte de la précédente, en substituant les valeurs de P, Q, R tirées des équations a = P, è = Q, c = R.

L'autre équation étant du second ordre, on pourra, par son moyen, éliminer la fonction y de l'équation

et la résultante sera une équation primitive de celle-ci du premier ordre, mais qui ne contiendra point de constante arbitraire. Cette équation sera donc le résultat de l'élimination des quantités a, b, c et y, au moyen des équations

'F[x,r,a,b,c] = o, Y[x,y,a,b,c)' = o, V[x,y,a,b,c]" =o, (f[a, b,c) :r=o el Mç'(«) 4-Ncp'(6) + L(p'(c) = o.

Or, en regardant a, h, c comme des fonctions de ce, y, la fonction prime de Y[x,y, a, h, c) sera

en dénotant simplement par F'(a), F'(6), F'(c) les fonctions primes de Y[x,y,a,b,c) prises relativement à a, b, c, regardées comme seules variables; donc les deux équations

Y[x,y,ayb, c] =io et V[x,y,a,b,c)' :=.o

emporteront celle-ci :

De plus, la fonction prime de Y[x,y, a, b,c)' sera, par la même raison,

en dénotant de même par F'(a)', F'(è)', F'(c)' les fonctions primes de Y{x,y, a,b,c)' prises relativement à a, b, c, regardées comme seules variables; et, comme dans la formation de ces fonctions dérivées on regarde les quantités a, b, c comme indépendantes de x et j, il est aisé de prouver, par les principes établis dans la I"^ Partie (n° 74), que les fonctions F'(a)', F'(6)', F'(c)' seront la même chose que les fonctions

primes des fonctions ¥\a), ¥\b), F'(c), prises relativement à ce et v. Donc les deux équations

F(;r,;^', «, ^, 6''i' = o el F[x,)', a, b,c)"=^ o emporteront encore nécessairement cette autre-ci : a' F'(rt)' -+- b' Y'[by + c F'[cy ^ o. Si donc on combine les deux équations

F'(ar+-^F'(6)'+^F'(c)'=o

avec l'équation

qui résulte de <p(a, b, c) = o, en prenant les fonctions primes, on aura,

. b' c' par l'élimination des quantités — et — > une équation en a, b, c et jc,

y, y, sans y, laquelle sera équivalente à celle qu'on aurait déduite des deux équations

¥[x,y,a,b,c]"—o el M ©'(a) + N tp'(6) + L ç'(c') = o

par l'élimination de /'. Ainsi, il n'y aura plus qu'à éliminer a, b, c au moyen des équations

¥{x,y,a, b, c)=:o, ¥ [x,)-, a, b, 0)'^=^ o et o[«,6,c)=:o,

et le résultat final sera la même équation primitive du premier ordre de l'équation

Cp(P,Q,R)r=0,

laquelle, ne contenant point, par sa nature, de constantes arbitraires,

ne pourra être qu'une équation primitive singulière.

En effet, si, pour simplifier la solution, on commence par tirer la

valeur c de l'équation

22k THÉORIE DES FONCTIONS.

et qu'on la représente par (]^(rt, b), alors la solution se réduira à élimi-

b' ner a, b et — entre les deux équations

et les deux équations primes de celles-ci, prises relativement à a et b seuls, et divisées par a', procédé analogue à celui du n° 18.

21. En général, si l'on a une équation en iv,y et deux constantes arbitraires a et b, que nous représenterons par

en éliminant ces deux constantes par le moyen des deux équations dérivées

f[x,y,a,b)' = o et f[x, x,a,b)" = o,

on aura une équation du second ordre

V=o, qui appartiendra à toutes les courbes représentées par l'équation

en donnant a a et b des valeurs quelconques, et dont, par conséquent, celle-ci sera l'équation primitive complète.

Donc elle appartiendra aussi à la courbe ou aux courbes formées par toutes ces courbes, et qui les envelopperont de manière qu'elles aient avec chacune d'elles un contact du second ordre, c'est-à-dire dans lequel les j, j' et y soient les mêmes. Mais, les quantités a et b étant constantes dans chaque courbe enveloppée et variables dans les courbes enveloppantes, pour que les j, y ety soient les mêmes dans les deux hypothèses, il faudra que les équations d'où elles dépendent soient aussi les mêmes. Or, dans la supposition de a etb variables, l'équation

donne l'équation prime

donc, pour que cette équation se réduise à

f[x,y,a,b)' — o, comme dans le cas de a et i constantes, il faudra que l'on ait

De la même manière, l'équation

f[x,x,a,b]' —o donne, dans le cas de a et è variables, cette équation dérivée

f[x, r, a, b]" + a' /'(a)' + b'f'{b]'= o, laquelle ne peut se réduire à

{x,y;a,b)" = o, comme dans le cas de a et 6 constantes, qu'en supposant

Ayant ainsi les quatre équations

f[x,x,a,b)=zo, f[x,f,a,by = o, /'(«) + ^/'(^)=o et /'(«)'+ ^/'(6)' = o, .

il n'y aura qu'à éliminera, b et — » et l'on aura une équation du premier ordre entre a',j'ety, qui sera celle des courbes enveloppantes et qui sera en même temps l'équation primitive singulière do la même équation V= o.

On voit par là comment la théorie des équations primitives singu- IX. 39

lières peut s'étendre au second ordre et aux ordres supérieurs. On voit en même temps que ces équations représentent toujours des courbes enveloppantes et qui ont des contacts d'un ordre donné avec les courbes enveloppées, représentées par les équations primitives complètes, dans lesquelles les constantes arbitraires varient d'une courbe à l'autre. Ceci peut servir de supplément et de complément à la tbéorie des équations primitives exposée dans la première Partie (n" 60). Au reste, de même que les quatre équations ci-dessus

h' donnent, par l'élimination de a, h et —•, une équation du premier

ordre en ^, jet y', ces équations donneront également, par l'élimination de ces trois dernières quantités, une équation en a, è et — qui

renfermera les relations que doivent avoir entre elles les deux variables a Qib, d'où l'on voit que ces quantités, qui sont indépendantes (mtre elles dans chacune des courbes enveloppées, ne le sont plus lorsqu'elles se rapportent à la courbe enveloppante. On trouvera des résultats semblables pour les équations et les courbes des ordres supérieurs.

22. Supposons qu'on demande la courbe qui aura dans chacun de ses points un contact du second ordre avec un cercle représenté par l'équation

et dont les éléments du contact a, h, c aient entre eux la relation déterminée par l'équation

La marche naturelle pour résoudre ce problème serait de substituer dans cette équation les valeurs des éléments a, b, c trouvées plus haut

(n° 11), ce qui donnerait une équation du second ordre, d'où il faudrait remonter à ré([uation primitive.

Mais, sans chercher cette équation du second ordre, on peut d'abord conclure, de ce que nous venons de démontrer, que l'on aura son équation primitive complète en supposant les quantités a, h, c constantes, ce qui redonnera la même équation au cercle. On en conclura ensuite que la même équation admettra aussi une équation primitive singulière du premier ordre, qu'on obtiendra en faisant varier les quantités a, b, c de manière que les équations primes et secondes de l'équation au cercle soient les mêmes que si ces quantités étaient regardées comme constantes, et que cette équation primitive représentera alors la courbe ou les courbes formées par la réunion de tous les cercles représentés par la même équation, c'est-à-dire qui envelopperont ou embrasseront tous ces cercles.

Cette équation sera donc, par les principes établis ci-dessus, le ré-

b' c' sultat de l'élimination des quantités a, h, cet —,•< - entre les trois

équations

[x — a)- -^- [y — b)- ^= C' , x — a -\- y[x — b] ^ o, cp[a, b, c) = o,

et les équations primes de celles-ci, prises relativement aux seules variables a, b, c, savoir

Mais, comme cette équation en a? et y pourrait se présenter sous une forme assez compliquée, il sera plus simple de chercher à déterminer les valeurs mêmes de x et y par une troisième variable.

Pour cela, on éliminera d'abord / au moyen des deux équations

X — ct+y'[y — è) = o ei i -\ ;r'=o;

on aura celle-ci,

„ .. a'iy-b]

(jui, étant combinée avec la première,

donnera sur-le-champ

ca' , ch'

De plus, si l'on substitue ces mêmes valeurs de a; et j dans l'équation

b' . , . ce'

on aura celle-ci,

laquelle, étant combinée avec l'équation

donnée par le problème, servira à déterminer deux des trois variables a, b, c par la troisième, moyennant quoi les valeurs de a? et j seront aussi exprimées par cette seule variable.

23. Comme les quantités a et 6 sont les coordonnées de la courbe qui est le lieu de tous les centres des cercles osculateurs (n° 9), si l'on suppose cette courbe donnée, on aura une équation entre a et ^ par laquelle on pourra déterminer b en a. Soit donc

è = 9(a); on aura

6' = a'9'(a), el de là c' — a' \/ 1 -+- [cf' [a]}- .

Ainsi, en désignant par A la fonction primitive de a'\/ n- |9'i«)J^ on

aura

h étant une constante arbitraire; ces valeurs de b et c étant substituées dans les expressions de x, y, on aura la courbe cherchée.

Nous remarquerons maintenant que, quelle que soit la courbe des

centres, l'équation

lait voir que le rayon c est égal à l'arc de cette courbe [voir ci-après le n" 29), de sorte que, si l'on nomme s cet arc, on aura

Nous remarquerons, de plus, que le rayon c sera nécessairement tangent à la même courbe, car l'angle que la tangente de cette courbe

fait avec l'axe a pour tangente la quantité — (n" T), et, comme le rayon

du cercle osculateur est perpendiculaire à la courbe dont les coordonnées sontojet j(n° 8), la tangente de l'angle qu'il fait avec l'axe

sera (n° 7) ^ = — , en vertu de l'équation i -\ — ~- = o, et par conséquent la même que celle de la tangente à la courbe.

Mais, quoique cette propriété soit démontrée de cette manière, il est bon de faire voir qu'elle est une conséquence nécessaire de l'analyse employée dans la solution de la question. Pour cela, nous reprendrons les deux premières équations

{x — a)- + [f — b]- = c- cl X — a-^-y'[y — b] = o,

lesquelles donnent

a = x —- ■ et b^f-h

et nous observerons que ces expressions de a et 6 peuvent représenter à la fois les coordonnées de la perpendiculaire à la courbe dont a? et y sont les coordonnées, en regardant a; ety comme constantes et c comm<' une variable, ainsi qu'on l'a vu dans le n° 8, et les coordonnées de la courbe des centres, en regardant xety comme variables et c comme donnée en x et y (n° 9).

Donc la perpendiculaire dont il s'agit sera tangente de cette dernière courbe si la fonction prime de b, regardée comme fonction de a, est

230 THÉOUIE DES FONCTIONS.

la inéme pour la droite et pour la courbe (n*' 10), ou, en général, si les valeurs de a' et do b' , regardées comme fonctions d'une troisième

variable, sont les mêmes, et par conséquent aussi, si les valeurs de et — sont les mêmes, soit que les quantités x et y soient traitées

comme variables ou non, c'est-à-dire si dans ces valeurs les parties dépendantes des variations de x etj sont nulles; or c'est ce qui a lien en effet, comme on le voit par les équations de l'article précédent,

a' [X — a) + b' [y — h)=zcc' et a' -\- b' y' =z o,

qui servent à la détermination de — et de —î et qui sont les équations primes de

[x — a]-+ [y— b)- = c- el x + a — y'[y — b) = o,

en y traitant x ei y comme constantes, et a, h comme seules variables.

Donc, puisque le rayon osculateur d'une courbe est partout tangent à la courbe des centres et est en même temps égal à l'arc de cette courbe, il s'ensuit qu'il peut être pris pour ce même arc étendu en ligne droite, et qu'ainsi toute courbe peut être regardée comme formée par le développement de celle qui est le lieu des centres des cercles osculateurs. C'est en quoi consiste la théorie des développées d'Huygens, qui n'avait été démontrée que par des considérations géométriques. L'analyse précédente fournit en même temps l'explication d'un paradoxe qui se présente lorsqu'on cherche, parles formules connues, la courbe formée par le développement d'une courbe donnée.

Si l'on substitue dans l'équation de cette courbe les expressions de ses coordonnées a et è en x,y,y' etj", on a évidemment une équation du second ordre, d'où il paraît s'ensuivre que l'équation en a; et j de la courbe cherchée devrait contenir deux constantes aibitraires, tandis que la génération de cette courbe par le développement de la courbe donnée n'admet qu'une seule constante arbitraire dépendant du point où commence le développement.

La raison do cette différence consiste, comme nous venons de le démontrer, en ce que l'équation de la courbe engendrée par le développement est proprement l'équation primitive complète d'une équation du premier ordre qui n'est elle-même que l'équation primitive singulière de l'équation du second ordre, donnée par les conditions du problème et qui, par sa nature, ne peut point avoir de constante arbitraire, de sorte qu'il ne peut y avoir qu'une constante arbitraire, à raison de la première équation primitive.