CHAPITRE VIT

THÉORIE DU CONTACT DES COURBES A DOUBLE COURBURE. DU RAYON OSCULATEUR, DES CENTRES DE COURBURE ET DU LIEU DE CES CENTRES. DES DÉVELOPPÉES DES COURBES A DOUBLE COURBURE. QUADRATURE ET RECTIFICATION DE CES COURBES.

32. Les courbes planes appartiennent à la Géométrie de deux dimensions et dépendent, par conséquent, que de deux coordonnées. Les courbes à double courbure doivent appartenir à la Géométrie de trois dimensions, puisqu'elles ne peuvent être tracées que sur la surface des corps solides; aussi dépendent-elles de trois coordonnées perpendiculaires entre elles, dont deux sont fonctions de la troisième, de sorte qu'elles ne peuvent être représentées que par deux équations (Mitre trois indéterminées.

Soient donc, pour une courbe quelconque à double courbure,

.V, y, z étant les trois coordonnées rectangulaires. Soient de même, pour une autre courbe donnée,

p, q, r étant pareillement ses trois coordonnées rapportées aux mêmes

axes que les précédentes. Si l'on veut que ces deux courbes aient un

point commun pour l'abscisse a?, il faudra qu'en faisant /? = .r on ait

aussi

q=r ei r—z;

donc

r — 'Pix) el z = ^[x].

Pour un autre point quelconque répondant à l'abscisse x + /, les ordonnées j et :; seront /( a: + i), o[x-\-i), et les ordonnées q, r seront Y{x + i), ^{x + i); et, faisant, pour abréger,

il est facile de concevoir que la distance D entre les points des deux courbes qui répondent à la même abscisse a? -i- î sera exprimée par

D=: \jd- + o-.

De là, par une analyse semblable à celle qui a été développée au com-, mencement de cette deuxième Partie, on prouvera que, &\f{x)=^Y'{x), o'[x)^<^'{x), il sera impossible qu'aucune autre courbe donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions puisse passer entre les deux courbes dont il s'agit.

Si l'on avait de plus

f"[x) = r"\x] el 9"(^) := (I>"(^),

on prouverait de la même manière qu'aucune autre courbe pour laquelle ces équations n'auraient pas lieu ne pourrait passer entre les mêmes courbes; et ainsi de suite.

Ainsi, en appliquant aux courbes à double courbure les mêmes notions des différents ordres de contact des courbe's ordinaires, on en conclura que les deux premières conditions détermineront un contact du premier ordre, que les deux suivantes détermineront un contact du second ordre; et ainsi de suite.

En général, en nommant x, y, z les coordonnées d'une courbe proposée et p, q, r les coordonnées de la courbe donnée, pour laquelle on demande les conditions du contact d'un ordre donné avec la courbe

proposée, si

Ffp, q, r)=o et iV{p, q, r]=zo

sont les deux équations de la courbe donnée, on aura, pour un contact IX. 32

2o0 THÉORIE DES FONCTIONS,

du premier ordre, les quatre équations

¥[x,f,z) = o. T[x,y; :■)' =zo,

pour un contact du second ordre, on aura de plus les deux équations

et ainsi de suite, en regardant, dans ces fonctions dérivées, j et ^ comme fonctions de iv. On satisfera à ces équations par le moyen des constantes arbitraires a, b, c, , . . , qui entreront dans les fonctions données F(/?, q, /■) et 9(7?, q, r), et qu'on pourra appeler, comme cidessus (n" 10), éléments du contact, lorsqu'elles seront déterminées en fonction de oc, y, z, y', z' ,

33. Prenons pour la courbe donnée une ligne droite déterminée par

les deux équations

q = a-^ bp, r= c -]~ dp ;

pour qu'elle ait un contact du premier ordre, c'est-à-dire pour qu'elle soit tangente d'une courbe quelconque proposée et rapportée aux coordonnées x, y, z, on aura ces quatre équations

f^=a-\-bx, z := c -+- tJx, y^z=h, z'^d,

d'où l'on tire

de sorte que les équations de la tangente rapportée aux coordonnées/?, g, r seront

q=r—r'^+r'p> r=zz — z'x-i-z'p.

Il est facile de voir que ces deux équations représentent les deux tangentes des courbes planes qui forment les projections de la courbe proposée sur les deux plans des oc et j et des x et z (n° 6), de sorte que, pour mener une tangente à une courbe à double courbure, il suffira toujours de mener les tangentes à ses deux projections, et la

droite dont ces deux tangentes seront les projections sera la tangente cherchée.

34. Supposons qu'on demande le cercle osculateur d'une courbe à double courbure.

Pour avoir, de la manière la plus simple, les équations générales d'un cercle tracé sur un plan quelconque, nous considérerons le cercle comme formé par l'intersectiou d'un plan qui passe par le centre d'une sphère; le rayon et le centre de la sphère deviendront alors ceux du cercle, et le plan sera le plan même du cercle.

L'équation générale d'une sphère rapportée aux trois coordonnées/;, q, r est

OÙ a, b, c sont les coordonnées du centre et d est le demi-diamètre ou rayon. L'équation d'un plan rapporté aux mêmes coordonnées et passant par le point qui répond aux coordonnées a, b, c est, en général,

p — a + m[q — b) + ii[r — t ) = o ,

m t\ n étant deux constantes arbitraires qui déterminent l'inclinaison du plan à l'égard des plans fixes des coordonnées. Le système de ces deux équations représentera donc un cercle dont le rayon sera d, dont le centre sera déterminé par les coordonnées a, b, c, et dont le plan dépendra des quantités m et n.

Si donc on change dans ces équations les quantités p, q, r en x, y, z, et qu'on en prenne les équations primes et secondes, on aura ces six équations,

X — a + ni[y -- b) -\-n[z~-c) = o,