I -t- my' -+- nz'= o

my" -T- nz"= o,

dont les quatre premières renfermeront les conditions nécessaires pour

que le cercle dont il s'agit ait un contact du premier ordre avec toute courbe à double courbure dont x, y, s seront les coordonnées, y et z étant données en fonction de x, et, si l'on y joint les deux dernières, on aura les conditions nécessaires pour un contact du second ordre, c'est-à-dire pour que le cercle devienne osculateur de la courbe.

Comme il y a dans ces équations six quantités indéterminées a, h, c, d, m et n, on pourra satisfaire à toutes ces conditions, et le cercle osculateur sera déterminé de grandeur et de position. Mais, si l'on ne demande qu'un cercle tangent, il restera deux indéterminées pour lesquelles on pourra prendre le rayon d et une des deux quantités m et n. Dans ce cas donc, l'équation

déterminera le plan dans lequel se trouveront les centres de tous les cercles qui peuvent être tangents, et, comme le rayon du cercle tangent est nécessairement perpendiculaire à la courbe, cette équation sera celle d'un plan perpendiculaire à la courbe, en prenant a, h, c pour les coordonnées du plan.

Considérons maintenant le contact du second ordre. Les trois premières équations donneront

inr' — mz']d , {?i — z']'f [m — y']d x-a=—^ . r-h = ^—-, z-c = ^~,

en faisant, pour abréger.

R =r \/[ny — mz'y--i- [n— -'j--l- [m - y')-.

Ces valeurs étant substituées dans la cinquième équation, on en tirera

[n-z')r"-{m-r']z"' Enfin, la quatrième et la sixième équation donneront

mr=

z'f-y'z'" zy-fz'"

valeurs (ju'on substituera dans les expressions précédentes.

On trouvera d'abord, après (luelqucs réductions,

et de là

vO-"^+ 2"^+ (=>•"-/■

{\^r'--+-z-^]{yx"-^z'z"]

La quantité d sera le rayon osculateur de la courbe proposée et les quantités a, h, c seront les coordonnées de la courbe des centres de tous les cercles osculateurs; mais cette courbe ne sera pas pour cela une développée, comme dans les courbes à simple courbure.

35. Pour s'en assurer et trouver en même temps les conditions nécessaires pour qu'elle devienne une développée de la courbe à double courbure, il n'y a qu'à employer des considérations semblables à celles du n° 23.

Reprenons les valeurs de a, h, c tirées des trois premières équations; nous aurons

iny' — mz')il

Ces expressions, en regardant les quantités x, y, -, j', s', ainsi que m et n, comme constantes, et la quantité d comme seule variable, donnent les coordonnées de la droite dans laquelle est placé le rayon osculateur; mais, en regardant toutes ces quantités comme variables

2oi THÉORIE DES FONCTIONS.

ci m, n, (l comme données en x, puisque y et z sont censées données en x, ces mêmes expressions représentent alors les coordonnées de la

courbe des centres. Or, pour que la même droite devienne tangente

b' c' de cette courbe, il faut que les valeurs de — et —i en regardant h et

c comme fonctions de a, ou, en général, a, h, c comme fonctions d'une autre variable quelconque, soient les mêmes dans les deux cas. Donc

les valeurs de -^;» -j,-> y devront être aussi les mêmes, soit que les

quantités a, b, c, d soient seules variables, soit que les quantités x, y, z, m et n varient aussi en même temps; par conséquent, il faudra que les équations qui déterminent ces valeurs aient lieu également dans les deux hypothèses.

Or, si l'on considère les équations qui ont servi à déterminer les quantités «, b, c, d, m et n en x, y, y', y", et qu'on regarde toutes ces quantités comme variables à la fois, il est clair que les deux équations

a: - a -h y'ix - b) -h z' [z — c) = o emporteront encore celle-ci,

-a'{x-a) ~b'[y-b) - c'[z -c] = dd',

qui n'est que l'équation prime de la première, en supposant a, b, c, d seules variables. De même les deux équations

emporteront celle-ci,

a' -hy'b' -\- z'c'=^ o,

qui est également l'équation prime de la première, en ne prenant que a, h, c pour variables. Ces deux équations ont donc la condition demandée; mais, comme elles ne suffisent pas pour la détermination des

a' b' c' trois quantités -j-) ^» -y,» il faudra trouver, de la même manière, une

SECONDE PARTIE. - CHAPITRE VII. 2o;i

troisième équation qui contienne les fonctions primes a', h' , c'; oi-, les doux précédentes ayant été déduites de l'équation de la sphère, il faudra tirer la troisième de l'équation du plan

X — a -{■■ m [y — b] + n[z — t-) = o, laquelle, en faisant tout varier et ayant égard à l'équation

I + my' -4- «;:' = o, donnera celle-ci,

— a — nib' — tic' -+■ ni'[)' — b) -\- n'[z — c) = o,

(jui est, comme l'on voit, l'équation prime de la précédente, en supposant a, b, c, m, n variables à la fois; par conséquent, cette équation n'aura pas la condition demandée, à moins que la partie dépendante de la variation des quantités m et n ne disparaisse, c'est-à-dire à moins

qu'on n'ait

ni'[y ~b] -\- n'[z — c) = o.

Si cette condition a lieu, alors l'équation restante

a'-t- mb' -{- ne' =: o,

combinée avec les deux équations qu'on vient de trouver, donnera les valeurs de -77? -r-» -77? qui seront les mêmes soit que les quantités a. h,

c, (-/soient seules variables, soit que oc^, y, z, m et n varient aussi à la fois. Par conséquent, la droite dans laquelle est placé le rayon osculateur deviendra tangente à la courbe des centres; donc aussi ce rayon sera tangent de la même courbe, puisqu'il est terminé à cette courbe. Dans ce même cas, les expressions précédentes de a, b, c donneront sur-le-champ ces fonctions primes,

d'où l'on tire

et de là

2oG THEORIE DES FONCTIONS.

Or nous verrons ci-après (n° 37) que cette équation montre que d est l'arc de la courbe dont a, h, c sont les coordonnées. Donc le rayon osculateur sera non-seulement tangent à la courbe des centres, mais encore égal à l'arc de cette courbe. Il ne sera donc autre chose que le développement de cette même courbe, laquelle sera, par conséquent, la développée de la courbe proposée, dont x, y, z sont les coordonnées.