Considérons d'abord la formule

abc sint cos-t pour le volume. En substituant i— sin-^ à la place de cos-/ et ensuite

jsin/ — {sin3/ au lieu de siu-'/, elle devient

(ibc , . . „ ,

— ,- sin/ -H sin3r\

dont lu Ibnclion primitive, prise de manière qu'elle commence où

t — o, est

abc ( I — cos3 A

-r-('-cos^ + . 3— j.

Faisant /! = -, ce qui donne cos/=: — r et cos3/ — — i, elle se réduit

. ■?. abc a -^-.

Il faut prendre encore la fonction primitive de celle-ci par rapport à a depuis u ==o jusqu'à u = 2-; et comme la variable 11, dont la fonction prime est i , ne s'y trouve pas, il n'y aura qu'à multiplier simplement par 2-, ce qui donnera

\abc

pour la solidité ou le volume du sphéroïde entier dont a, b, c sont les trois demi-axes.

86. Venons à la formule relative à la surface et supposons d'abord, pour la simplifier, « = 6, ce qui donne un sphéroïde de révolution autour de l'axe 2c; elle deviendra

a sin t \b'- ces- / -1- c- sin- 1 ,

où l'on voit que l'angle u a disparu; je conserve la lettre h sous le signe, pour plus de généralité.

Faisons cos/ = . y, on aurasinz = — /; d'ailleurs on a sin-/— 1 — 5- : on aura ainsi la ti'ansformée

— as' sjc'^ -+- ( 6- — v- )s- , .

dont il faudra prendre la fonction primitive depuis s 1- 1 jusqu'à

Soit b- — r- = e'- ; on aura la fonction primitive par rapport à .v,

as ,— -— ac-

vc- -h e-s- H \[\c- + e-s- — es)\

■le

faisant s — i, elle se réduit à

ah ac- , , ,

2 le

et, faisant s = -~i, elle devient

ob ac-

Donc la fonction primitive complète, relativement à .v ou à /, sera

, ac- , b -h e

ab H 1 , •

xe b — e

Il faut de nouveau en prendre la fonction primitive relative à «; et comme la variable u ne s'y trouve pas, on se contentera de la multiplier par 2tc; et, faisant maintenant b^=a, on aura, pour la surface entière du sphéroïde formé par la révolution d'une ellipse dont les demi-axes sont « et c autour du petit axe 2c, la formule

T.ac- , a -\- e

ir.a-~\-

où e est l'excentricité = \ia- — c'\

Pour que la valeur de e soit réelle, il faut que a^^c, et, par conséquent, que le sphéroïde soit aplati et formé par la révolution de l'ellipse autour de son petit axe 2c.

Si l'on voulait avoir la surface d'un sphéroïde allongé formé par la révolution d'une ellipse autour de son grand axe, il faudrait prendre 2c pour son grand axe : alors la valeur de e deviendrait imaginaire. Soit pour ce cas, c- — a- = E- ; on aura

et, passant des logarithmes imaginaires aux arcs réels par les formules

(lu n° 22 (I'^ Partie), on aura, pour la surface cherchée, la formule

•a^H -^— angle (lang-j

87. Si l'on n'avait pas fait a — b, el qu'on eût supposé, en général,

.^„ «2 sifja u -+- b- CCS- M

on eût eu, pour la fonction primitive relative à t, la formule

ab H I7 ,

ie b — e

où

et il aurait été impossible, dans l'état actuel de l'Analyse, de trouver la fonction primitive de celle-ci relative à v. Mais on peut toujours avoir cette fonction par approximation lorsque la différence des demiaxes a el b est assez petite.

Soit — -:; — — i: cette quantité étant positive ou négative, la quantité V- deviendra i-\-icos-ii, et il n'y aura qu'à mettre, dans la formule précédente, c-(i -hicos^u) à la place dec-V-, ensuite développer par rapport à i. Donc, si l'on suppose

ar^- ,b+^b^-c^^^^^^^^

on aura, en développant par les fonctions dérivées relatives à c-, la série

ab -^f(c'^) +f'{c'-) e- .■ cos^ h ^- ^/"(c-) C' /^ ces'- "+^ f"'[c'-) c» i^' cose «+...,

dont il faudra prendre les fonctions primitives relatives à u depuis H — o jusqu'à u — 27:.

Désignons par ara, 2-fi, a-y, ... les fonctions primitives de cos^w, cos^«, cos";.', ... prises entre ces limites; on aura, pour la surface de

rollipsoide dont a, h, c sont les trois demi-axes, l'expression

ab+f[c-^)-r-xvUf\c-^] + l^c-''/^/"(c2)+ ^-y6-«/'/"'(c-^;

série qui sera d'autant plus convergente que la quantité i sera plus petite.

A l'égard des coefficients a, fl, y, . . ., il est facile de les déterminer en résolvant les puissances de cosm en cosinus d'angles multiples de // parle moyen de l'expression exponentielle imaginaire de cosï<(n" 22, I'"* Partie), et, comme les cosinus ont pour fonctions primitives les sinus correspondants, lesquels deviennent nuls aux deux extrémités où ;/— o et 11 = 2-, il s'ensuit qu'il ne restera que les termes indépendants de //, multipliés par 2::, où il est facile de voir que ces termes ne sont que les coefficients du terme moyen du binôme, élevé k la deuxième, à la quatrième, à la sixième, etc. puissance, divisé par la même puissance de 2. Ainsi l'on aura