CHAPITRE IV
DE LA QUESTION OU IL S AGIT DE TROUVER LA RÉSISTANCE QUE LE MILIEU DOIT OPPOSER POUR QUE LE PROJECTILE DÉCRIVE UNE COURBE DONNÉE. ANALYSE DE LA SOLUTION QUE NEWTON A DONNÉE DE CE PROBLÈME DANS LA PREMIÈRE ÉDITION DE SES « PRINCIPES ». SOURCE DE l'eRREUR DE CETTE SOLUTION. DISTIN ENTRE LA MÉTHODE DES SÉRIES ET CELLE DES FONCTIONS DÉRIVÉES, OU DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.
CT.ON|p]
17. Pour montrer l'usage des formules que nous venons de donner, supposons qu'on demande la résistance du milieu en vertu de laquelle un corps pesant lancé dans ce milieu décrirait une courbe donnée. On regardera la résistance comme une force retardatrice qui agit dans la direction même du corps, c'est-à-dire dans celle de la tangente de la courbe; ainsi, en nommant /• la résistance, c'est-à-dire l'action du milieu résistant sur la surface du corps, divisée par la masse même du corps, on aura — rcosa, — /-cosfi, — rcosy pour les forces accélératrices qui en résultent suivant les directions des axes des ,r, r, z, les angles a, p, y étant ceux de la tangente avec ces axes. De {)lus, si l'on nomme g la force accélératrice de la gravité, et qu'on prenne les coordonnées/verticales et dirigées de bas en liant, on aura —g pour la force accélératrice provenant de la gravité suivant les coordonnées y.
Donc les équations du mouvement seront
x" =z~ rcosoc, f"'— — g — rcos^, z"=^—rcosy. Substituant pour cosa, cosfi, cosy leurs valeui's '--■> - » — (n° 11), où
//, vitesse du corps, est =s'= \Ja;'^-\-y"^-h- z''\ on aura celle-ci
rx ,^
rr
rz
La première et la dernière donnent
d'où l'on tire, en prenant les fonctions primitives ,
în et n étant des constantes arbitraires. Cette équation, étant celle d'un plan vertical, l'ait voir que la courbe est nécessairement toute dans ce plan : ainsi, en prenant l'axe des x dans ce même plan, on aura s = o et :;'= o, et les équations de la courbe se réduiront aux deux premières. Mais, comme dans ces équations les variables x, y sont supposées fonctions du temps, et que pour avoir l'équation de la courbe on doit regarder y comme fonction de x, il faudra chercber ses fonctions dérivées dans cette bypothèse par les formules du numéro précédent. Supposons, pour abréger, - = </; on aura
x"= — qx, f—-'S~(ir'y
substituant ces valeurs dans l'expression de [y") du n° 16, on aura
ainsi la valeur de q dépend de [y'"). Or on a, par le même numéro,
mais, connaissant les valeurs de x" et y, il n'y aura qu'à prendre leurs fonctions primes pour avoir celles de x" et y'", et l'on trouvera, en désignant par q' la fonction prime de q.
x"' = — qx" — qx' = [q"^— q)x',
r"'=- qr" - q'r' -qg + W- «/')/ • IX. 46
Par ces substitutions, les deux premiers termes de la valeur de {y'")
donneront -4^ et le terme -^^ — donnera fr; de sorte (lue
l'on aura (y"') = — ^.if. Or, q étant = > on fera cette sub-
•*■ \ix --^ y -
y' stitution, et l'on en chassera x' et y' au moyen des équations (/) = —
ot [y") = ^> lesquelles donneront
on aura ainsi
iy
Comme les fonctions dérivées {y'), {y"), {y'") se rapportent maintenant à la variable x, nous pouvons les représenter simplement par y, y". y'"; on aura donc
Or, la courbe étant donnée, on ay en fonction de œ : de là on tirera les fonctions dérivées y', y", y'", et la formule précédente donnera, pour chaque point de la courbe, le rapport de la résistance à la gravité.
La vitesse u sera
c'est-à-dire, en changeant (r) en y',
Pour traduire ces formules en Calcul différentiel, il faudra changer y cn-T^5 et y" en -~, en prenant dx constant, parce que ces fonctions dérivées sont ici relatives à la variable x.
Si l'on suppose la résistance proportionnelle au carré de la vitesse et
à la densité du milieu, alors, nommant A cette densité dans un lieu quelconque, on aura
m étant un coefficient constant; donc, substituant la valeur de /^
mg(i+/^)A
et, mettant cette valeur dans l'équation ci-dessus, elle deviendra
mA= ^
par où l'on déterminera la densité du milieu nécessaire pour faire décrire la courbe donnée. Réciproquement, cette équation servira à déterminer la courbe lorsque la densité du milieu sera donnée.
Pour les projectiles lancés dans l'air, on peut supposer la densité du
milieu constante; ainsi, faisant, pour plus de simplicité, 27;zA= t' l'équation de la courbe sera
s étant l'arc de la courbe, d'où l'on tire, en prenant les fonctions primitives,
J=z=Ae*^
A étant une constante arbitraire : c'est la forme la plus simple sous laquelle puisse être mise l'équation de cette courbe. On peut tirer deces équations les différentes approximations qui ont été données jusqu'ici pour la détermination de la courbe décrite par les boulets et les bombes; mais les bornes de cet écrit nous empêchent d'entrer dans aucun détail sur ce sujet.
18. Nous remarquerons encore qu'on aurait pu déduire tout de suite l'équation de la courbe des équations du mouvement,
par l'élimination immédiate du temps /. En effet, x et j étant fonctions de t, on peut réciproquement regarder y et t comme fonctions de x, et, par la règle donnée dans le n° 50 de la première Partie, si l'on regarde, en général, x,y, t comme fonctions d'une autre variable (luolconquc z,
il faudra substituer -7 et — à la place de x',y', et -^A ' — — ; — îi l^i place de x",y"; mais, en prenant x pour variable principale à la place
de /, on fera.x'=:i, et l'on aura à substituer -7 et y à la place de x'
t" r" r' i" et y', et ,- et ^ — — à la place de x" et y".
Les deux équations deviendront donc, à cause de /= \x'- -i-y'-, f r l^ fJl— . '•/
d'où il faudra éliminer la fonction /'. Substituant, dans la seconde équa-
i" , lion, la valeur de -7^ tirée de la première, elle deviendra
divisant par y", et prenant de part et d'autre les fonctions primes, on aura
valeur qui, étant substituée dans la première équation, donnera, comme plus haut.
A l'égard de la vitesse u = s' ==. \Jx"^-\-y''-, elle deviendra - — j^^
et, comme on vient de trouver t'= u — ~;-^ la vitesse deviendra
i/fi' v'i -f- r'^ • 1
^^ ^ •' > comme ci-dessus.
Si la force de la gravité g était variable, alors la valeur de - (juc
