TROISIÈME PARTIE.- CHAPITRE IV. 3lJ

l'on vitMit de trouvor ne serait plus exacte, car, en prenant les fonctions primes de l'équation

on aurait

et la substitution de cette valeur donnerait

Cette manière d'éliminer le temps dans les équations du mouvement, pour avoir l'équation de la courbe décrite, est analogue à celle qu'on emploie dans le Calcul différentiel; mais l'analyse du n" 16, fondée sur le développement des fonctions, est, à certains égards, plus directe; elle nous sera d'ailleurs utile pour découvrir, comme nous l'avons annoncé au commencement de cet écrit, la véritable source de la méprise où Newton est tombé dans la première édition des Principes, en résolvant le problème dont nous venons de nous occuper.

Quoiqu'il puisse paraître peu important de découvrir en quoi et comment Newton a pu se tromper dans une solution qu'il a ensuite lui-même abandonnée, néanmoins, comme tout ce qui a rapport à l'invention et aux premiers développements de l'Analyse infinitésimale mérite l'attention de ceux qui s'intéressent à l'histoire des sciences, j'ai cru que l'on me saurait gré de discuter de nouveau ce sujet, comme un point qui n'a pas été assez éclairci, parce qu'il tient à une distinction subtile entre la méthode difterentielle et la méthode des séries, que Newton a employée dans sa première solution (liv. II, prop. X),

19. Voici la construction qui sert de fondement à cette solution. Le mobile étant parvenu à un point quelconque de la courbe, sans la résistance et la gravité il décrirait, dans un temps donné très-petit, une partie très-petite de la tangente que nous désignerons par a; soient y le petit espace que la gravité lui ferait décrire dans le même temps per-

pendiculairement à l'horizon, et p le petit espace dont la résistance diminue l'espace a parcouru sur la tangente; il est clair que le rapport de p à Y sera celui de la résistance à la gravité. Ainsi le corps, dans le temps qu'il aurait parcouru sur la tangente l'espace a— p, serait descendu verticalement de la quantité y; par conséquent, y sera la flèche de l'arc a— p. Maintenant, si l'on considère le corps comme partant du même point et rebroussant chemin pour décrire en sens contraire le même arc de courbe qu'il a parcouru, il faudra regarder la résistance comme négative, et par conséquent comme une force qui accélère le mouvement au lieu de le retarder. Le mobile décrira ainsi, dans le môme temps très-petit, l'espace a+p sur la même tangente dans une direction contraire, et descendra verticalement par le même espace y, en vertu de la gravité. Par conséquent, y sera la flèche de l'arc a + p, pris de l'autre côté du point de la courbe dont il s'agit. Or les flèches étant, pour les arcs infiniment petits, comme les carrés des arcs ou des tangentes, la flèche de la portion a — p de l'arc a -h p sera

y(- — -] -, donc la différence des flèches pour les arcs égaux a— p,

pris de part et d'autre du point donné de la courbe, sera

Nommons cette diff'érence f5; on aura

4«yp __ . ^, p ^(« + p)' oa:

à cause que la petite ligne p, parcourue d'un mouvement uniformément accéléré, est infiniment plus petite que la ligne a, parcourue dans le même temps d'un mouvement uniforme.

Tel est le raisonnement de Newton, présenté de la manière la plus claire, et le résultat que nous venons de trouver s'accorde avec celui du corollaire II du problème cité, où il est visible que les lignes CF et FG sont ce que nous avons nommé a et y, et que la dillerence FG — K/ est ce que nous avons nommé B.