SOU

ds sfïi \/u

dy 0 )' =;i ds- ;

SOU, (juia hoc loco

dy = rt, or = m ot ds^r'S, rt x m = rî^ ;

nndc {'oiitiritur aii^uliim iiitcrsoctioiiis rN/i osso dchorc» reclum ; fa'lcruiii Icvi allcndoiic perspicitur nisi s'il ou =^ <' oy (({uod (juidcm evriiil nisi sit // functio dclcrininiila ipsoruni .r et }') liane [)ro[)rie(al('iu loeiiin aniplius liahcro non posse; unde sub liae liniitationo intciiigi (hdx'ir videtur prop. tua 'l 'i tomi 2''' a^gregii mcchaniccs operis. HaM^ poiid motliodus, (juomodo et ad alios magis compositos casus possit nullo ncgotio accommodari, tibi certe suporvacanoum foret ostcndere; sndlciat hœc ita Icviter attigisse.

Transibo igitur ad aliud, quod in iila analysi observavi et super (jin» judieiuni tuum doctissimum prœcipuc exopto; nempe quonîain ex iia- (ura niaximoruni, et niinmioruni, ut reetissiine in epistoia tua ais, esse tantum débet 0 f :■ = o (pono pro formula integrali indetinila, I z tantuni, loeo qnod tu posuisli / z-dx; quia enini milii non opus sinil substitutiones tuse pdx pro dy...; inutile foret velle omiies foi'inuhis ad banc f zdx rcduccro, quod aliquando nisi illaruni substitutioniim ope non efficitur) evidens est, si plures forma; valori ipsius 0 / o conciliari possint, plures etiam liaberi posso diversas œquationcs, ([uas tamen omncs datis sub conditionibus satisfaeoro necosso sit. Jani vero 0 y :^ exprimitur per

f(^~dV-^d'-q-...)oY + {\^- dn ■h...)oy + {Q-...)doy + ...;

sed [)osito, breviditis jrratia, .\ — dP -+- d-Q — . . .^ L, est

|:.0 COUUESPONDANCE

(M sic in iiitiiiitimi, uiiclo liabclur o f z =^

J'L ôj- + ( P - f/Q 4- . . . ) 0/ + ( Q - • • • V/ ov ;

/ c/L l'oy + Lj'df + ( l> - f/Q + . . . ) ôj- + • • • ;

fiP-L /■- oy — clLj'^ dy + L /'ôj + ( P - f/Q + . . . ) oj + . . . ;

cl sic ultei'ius procedendo. Undc, si ponaliii-, in loco ubi x^a, evanescoro oy, doy, ..., fiet, ex i" valore, 0 I z- = I Loy, ex quo anjuatio pro (Uii'va oritur L := o, qiur idi'o cam prsebot curvam, ul notuiii est, qua' maximorum minimorunique proprietate gaudeat inter omnes, quo pro puncto abscissse = a tum (la(ain babeant applicatam (11 m etiani (bitain tangentis ad axein incliiialioiieni, etc.; si vero etiani pi;elei'ea loliiin / ov j)oiialur boc co = o, tam ex 2" valorc baberetiir :

(x quo pro curva qusesita sit r/L = o, quae adeo maximorum, minimorunique data proprietate gauderel inter omnes, quae prteter supradiclas conditiones liabebunt etiam banc ul summa omnium incrementorum oy sil =: o; simili modo reperiretur ex3" valore, ponendo etiam f - oy = 0; bsec aequalio d-L = o pro curva in qua adessel praHerea conditio ista ut tota summa 2"^' gradus ipsorum oy ficret evanescens; et sic de ca^teris. .lam vero quum posito / oy =: o necessario curva difTerentiationis secare debeat prioreni in ali(|uo jiunrlo intermedio, et posito pia'ter f oy = o, etiani / -oy = o, lum duo existere debeant inlersectionis piincta, concludi niibi posse videlnr !e(|ualiones bas

(IL ^ o, d'^L = o, . . .,

locum liabere debere, in (juadam curva. (juie data proprietate sil pra'dita, ubi prœter exlrema, eliani aliqua data sunl inlermedia puncla, per qua^ ipsa transire debeat; ncmpe si babealur unum, tum satisfaciet r/L = o, si duo, r/-L = o,

m: LVC.UANGE AVEC ELLER. I.Jl

lliiic fuM'cl iil (|u;vM-(Miil() hrachistochronaii) por data (ria piiiuhi li'anscunlciii liahcriMiir non ciclois, sod alia oi'la ex liac a'(|nalion('

a- — -—^ = o ds s/x-

sou

d y dx

ds\!x J.

(|ua' in cvcloiJein mutakir facto co = oc.

Ha>c siint, vir clarissimo, qiilbus le gravissimis t'orsan dislonUini lunu' interpollaro aiidco; tiios nunc acutissimos sensusintelligtM-emihi maxime est in volis; si gratiam liane milii faeere non dedignaberis, hoc ccrte milii animos addet ad niterius in Iiac re inquirendum.

Oua' tnni circa superficies, tum alias eliam qugestiones mcdifalus sum in aliud reservabo tempus; tuum de scientia navali (') opus eximium perlegi, et re vera quidem insignia plura hujusmodi problemafa soluta animadvcrti.

Verum jam tempus est ut long;e liuic epistohe finem iuipouam ; quam-

obrem dum te enixe rogo ut lias tenues meas res non iniquo velis

animo accipere, favori lue atque benevolentiœ inestimabili me humil-

limc commendo. Vale et fave

Tihi deditissimo ac adstrictissimo

LUDOVICO DE LA GrAXGE TouriNIEl!.

P. S. Quod ad tuas ad me literas attinet, rectissime faciès si il las mercatori Duraudo inscribere, quo mihi remittantur, perges.

(') Voir plu» tuiiit. p. I (5, note.

ELLER A LÂGRANGE.

Bcrolini, die aî aprilis ijiG (').

Vm CLMilSSIMF. ATOUE ACITISSIMT.,

Hinas (luis opistolas ulleram circa finom anni clapsi, altorain voro iiuper ad me da(as ciim voluptatc porlegi, suiiiiiiainqiR' ingcnii tui pcrspicaciam maxime sum admiratus. Non soliim enim metliodum illam abstrusissimam maximorum et minimorum, cujus equidem prima quasi clementa exposueram, ex veris iisque subtilissimis principiis elicuisti, vei'um etiam eamdem ad ])eniliis peifeeisse videris, ut nilîil amplius, quod in hoc génère desiderari queat, sit r(di(luni. Quamobrem libi, vir clarissime, ex animo gratulor, ac te etiam alquo eliam rogo ut qua^ in hoc génère tam felici cum successu es meditatus, ea omni studio penitiiis perscrutari ac perficere pergas. Subtilissima* autem hic occurrunt quîestiones, quie non solum omnèm ingenii solertiam, sed etiam maximam circumspectionem in raliocinando postulant, quandoquidem haec methodus nobis objecta j)lurimis pkM'umque circumstanliis involuta exhibet, quas nisi calculum ad exemphi detcrminala appliceinus, vix distincte perspiccre valeamns. lia cum investigatio curwT maximi cujusdam minimive proprielale pr;edita' peiduxeril ad banc aquationem L = o, quœ scilicet indical, tractu curva paulluliim immulalo, variationem inde orlam evanescere, quemadmoduni natui'a maximi minimive postulai, diibilo, an ;vqualiones

dL = o, d- L ^ o scu

L = a vel L=za + hjc,

ad eumdcm scopum sub aliis circumstantiis perducere queanl. Neque etiam transfbi'mali») formuhe / I.cv in T. / Sy — r/[. f ' or . . ., uovas

(') jMriS. t. IV, f" G. — Opéra postUDKi, t. II. p. J56.

1)K L VC.U \\<'. i: VVEC EULEH. 153

ilclcnuiiialioncs mihi (|iiiiloni siippcdilarc vidolur, scd (anliiiu iiulicai'c. si sil L = o, tbro etiam r/L = o, ([iiod ii(i(|ii(' vcriiin csl, scd coii- I lusio invorsa lociiin non hal)ot. Xani, iiisi sit L = o, ralio inaxiini v(d iniiiiiiii non amplius vorsatiir : sod Cortasse liujusinodi positiones aliis pi'nhU'nialis solvcndis iiiservirc potoruiiL Qiiod aiilcm ad hrachisto- (lii'oiias [)(M' liia |)liii-av(' piiiu'(a data transeuntos attinct, crpdidoriin cas ntm esse ciirvas continuas, s(mI a (|ii()vis piinclo ad |)r()xiiniiin siMiuciis ai'ciim cycdoidis diici oporici'c, (jiK) Iciiipus (ranslalionis ab allcpo ad alteruni tiat iiiiiiiiniini. Si cniiu i;oi*pus ('(dcn-iiiu' singulas lias |M»r(ioii('s [)e'r('nrra(, totani ciirvam, sino diibio, (einporc hrovissinio conliciet.

Dfindo si non intor onincs cnrvas, sed cas lantum qiiae suh corto (jnodam gonero contincntiir, qu;eratiir oa, quae niaximi minimivo proprictate gaudeat, tua quidem methodus ad hujusmodi quœstionos a>qu() (•uni succossu adhiheri potcst, dum nioa nullius est usus, sod cvolntio calcul i sa'pc iiuincromaximisohnoxiaest difFicuItatibus. A'oluli si sii|)('i' semiaxe borizontali dalo A(] infinili dcscribanlur ({uadrantcs (dliptici

AL), AQ qiiH' ralionc semiaxis conjugati Ci), CQ diffcrunl inlcr cos((ue qusratur is AD, super quo corpus in vacuo dcsc(Misum ex A incipicns citissimead rectani verlicalemCQperveniat, «qualio intinita pro s|)ecie liujns ellipsis invenilnr, unde nonnisi appropin(|uando valor semiaxis conjugati CD definiri potest. Adhibilis autem appropinquationibus reperis esse debere <SCD'— 3AC^ seu CD = A(]v/ï- Scire erso velim, an liyec sit vera solutio, et si sit vera, an ea non directe ope methodicnjnsdani certa* ohtineri queat.

I,i((cras tuas tam prof'undis meditationibus refertas cum illustrissimo \1V.