L. Ellero

Privatam adhuc Societatem litterarum taurinensem mox publieaui fieri in augmentum Scientiarum magnopere opto.

Adresse :

A monsieur Durade, intendant des postes de S. M. le Roy de Sardaigne. pourla remettre à M. Louis de la Grange, à Tarin, par la voye de M. Caroli. directeur général des postes pour tous les états du Roy de Sardaigne, à Genève.

EULER A LAGMNGE.

Berlin, ce 23 octobre ijôg (').

Monsieur,

Ayant reçu l'excellent présent que vous avez eu la bonté de m'envoyer(^), je l'ai d'abord parcouru avec la plus grande avidité, et je n'ai

C ) Ms. t. IV, f" II. — Opcra postunin, t. II, p. SSg.

(* ; C'est le volume des Miscellanca dont il a été question plus haut et qui, entre autres, contient de Lagrangc : Recherches sur la nature et la propagation du son.

DE L\r,UANGE AVEC EULER.

IG-i

pu assiv. ;ulinir(M" votre adi'ossc. doiil vous luaiiicz les plus difficiles équatious, |)oui" détormiucM' le niouveinoiU des cordes et la |)i()pai^ation du son. Je vous suis infiniment obligé d'avoir mis ma solution à l'ahii de toutes chicanes et c'est après vos profonds calculs que tout le monde doit à présent reconnaître l'usage des fonctions irrégulières et discontinues dans la solution de ce genre de problèmes. En efi'el, la chose me parait à présent si claire, qu'il n'y saurait rester le moindre doute. Supposons (ju'il faille chercher une telle l'ondion z des deux

variables / et a-, qu'il soit -^ = -r^, et il est évident, nue toute foiulicMi de t -\- X tant irrégulière que régulière peut être mise pour z : par exemple, ayant tracé à plaisir une ligne quelconque AM {fig. •), si l'on

Fig.

priMid l'objectif AP = / -f- a*, rapj)li(juée PM fournira une valeur pour z, et il en est de même du problème des cordes. A cette occasion, j'ai observé que ma solution n'est pas assez générale : car qu'on puisse donner à la corde au commencement une figure quelconque AMB (fig. '!) ma solution exige que dans cet état il n'y ail point de mou-

Fiff. 2.

vement, mais à présent je puis résoudre le problème lorsqu'on adonné à la corde non seulement une figure quelconque AMH, mais qu'outre cela on ait imprimé à chaque point M une vitesse quelconque Mm. Je vois que vous avez traité ce cas lorsque la corde, au commencement, est tendue en ligne droite AB, mais je ne sais pas bien si votre solution

IGG CORRESPONDANCE

s'étend aussi au cas où roii suppose à la corde, outre le mouvement donné, une figure quelconque.

Je passe à la propagation du son, dont je n'ai jamais pu venir à bout, (|uelques efTorts que je me sois donnés, car ce que j'en avais donné dans ma jeunesse était fondé sur quelque idée illusoire, pour mettre d'accord la théorie avec l'expérience sur la vitesse du son. J'ai donc lu votre Mémoire sur cette matière avec la plus vive satisfaction, et je [ne] puis assez admirer votre sagacité en surmontant tous les obstacles. A présent, je vois bien qu'on pourrait tirer la même solution de la formule

en faisant usaae des fonctions discontinues; mais alors .M. d'AlemIx'rt me ferait les mêmes objections que contre le mouvement des cordes : ce n'est qu'après vos recherches que je pourrai faire valoir cette méthode. J'ai résolu })ar là le cas où l'on suppose au commencement non seulement un iléplacement quelconque à autant de molécules d'air (jii'on veut, mais en donnant, outre cela, à chacune un mouvemcnl quelconque, tout comme dans les cordes, mais en ne regardant qu'une ligne physique d'air, ou bien un tuyau mince et droit, rempli d'air, comme vous avez fait. Cette généralisation me parait d'autant jjIus utile qu'elle nous découvre plus clairement le mouvement dont toutes les particules d'air sont successivement ébranlées : on en peut aussi répondi'e à un doute bien important, qui m'a longtemps tourmenté, c'est qu'un ébranlement excité en A (Jig. ^)) se répand également des

FiK. 3.

deux côtés du point A, mais étant parvenu en X, il ne se répand que vers 1% on demande donc quelle différence il y a entre un ébranlement primitif en A et un dérivatif en X, pour que celui-là se répande vers D et E et celui-ci uniquement vers E. Ce doute est levé par la susdite solution générale, par laquelle on veria (jue le déplacement primitif des parti-

culos on A, avec le inoiivciiiciil iin|)iMiii(' ;i cliaciiiic, ])()iin'al( être (cl, (]i)(' la |)i'0[)aii"ati()ii ne se ("il (jiic dans le sons K, (>( on s'aporcevi'a iMisnitc (|uo (•('(((' cii'oonstarico a (oujours Hou dans les ébranlonionts dorivos. Il ost bien romarquahlo qno la propagadon du son se fait ao(nollomont plus vite que le calcul maixjue, et je rononcc à présent à la pensée (}ue j'eus autrefois, que les ébranlements suivants pourraient aoroloror la |)r(ij)aiia(i()n dos précédents, de sorte ([U(»phis un son serait aigu, plus serait grande sa vitesse, coniniovons aurez peut-être vu dans nos derniers .Mémoires. Il m'est aussi venu dans res|)rit, si la grandeur des ébranlements n'y pourrait causer quelque accélération, puisijuo dans le calcul on les a supposés infiniment petits, et il est évident (jue la grandeur changerait le calcul et le rendrait intraitable. Mais autant que j'y puis entrevoir, il me semble que cette circonstance diminuerait plutôt la vitesse.

C'est dommage que ce même problème no |)ou( pas être résolu (mi donnant à l'air trois dimensions, ou seulomonl doux, car on a lieu de douter si la propagation serait alors la même. x\u moins est-il certain (juo les ébranlements seraient alors d'autant [)lus faibles, plus ils s'écarteraienl i\r leur origine. J'ai bien trouvé les formules fondamentales pour lo cas où l'étendue tU' l'air n'a que deux dimensions, ou est contonuo entre deux plans. Soit Y (fig-. 4) une particule d'air dans l'état d'équilibre, qui après quelque agitation ait été transportée en y.

Fig. 4.

Posons AX = X, XY — Y; \jr ^ Y« =x et iiy = y. (lida pose, tant X que y seront certaines fonctions do XY et du temps i, et partant de trois vaiiables, et je trouve poui" leurs déterminations les doux écjua-

lions suivantes :

-~ a -tîtt: -I- a —

et

df ' dX^ d\dY

^^•2 '^ jY* (^XfiV

De là, si je suppose que l'ébranlement primitif soit t'ait en A (fîg. 5) et qu'il se répande de là, en forme des ondes circulaires, de sorte qu'un

Fiff. 5.

arc ZV (dans l'état d'équilibre) ait été après l'agitation transporté en zv, posant AZ r= Z et Zs = s, la quantité z sera une certaine fonction des denx variables t et Z pour la détermination de laquelle je trouve cette équation

d'^z â-z a dz acz

En rejetant ces deux derniers termes, il reste la même équation, ([ni convient au cas où l'air est étendu uniquement en ligne droite AE. Or de cette équation, il no paraît pas que la propagation se fasse avec la même vitesse dans les deux cas. 11 serait donc fort à souhailiM- que l'analyse fût portée au poinl de pouvoir résoudre ces sortes d'équations, et j'espère (|ue cette gloire vous est réservée. Ce que vous dites des échos est aussi important dans l'Analyse que dans la IMiysi(|ii(', (M loul le monde doit convenir que ce premier Volume de vos travaux est un vrai chef-d'œuvre, et renferme bien plus de profondeur que tant d'autres Volumes des Académies établies et jamais société f)articulière n'a plus mérité d'être soutenue par son souverain.

Pour les sons de Musique, je suis parfaitenu'ul de voli'e avis. Monsieur, que les sons consonnants que M. Rameau prétend entendre d'une

DE L\r. RANGE AVEC EULER. lO!»

môiiu^ c'ortlc (') viriiiKMil des autres corps ébranlés : ol je ne vois pas pourquoi co phénouiruc doit être l'Ciïardé coniinc le principe de la Musi(|ue plutôt que les proportions véritahles qui en sont le fondement. Je crois encore avoir bien tléterniiné le degré tragrément avec lequel on entend deux sons donnés, et de lii deux sons en raison 8:9 s'aperçoivent (-) plus aisément que s'ils étaient en raison 7:8. Mais je crois qu'ici il tant avoir égard à un préjugé, par le(juel on suppose d'avance la proportion des sons, et alors une aberration est insu[>p()rtal)le. (lomme celui (jui accorde un violon, si deux coi'des se trouvent dans l'intervalle d'une sixte, il les juge fausses, puisqu'il prétend (|U(î leur intervalle soit une quinte. Ainsi, pour l'intervalle 7:8, il sera fort difficile de prendre cet intervalle tel qu'il est; on s'imaginera toujours qu'il devrait être celui de 8 à 9, étant mal accordé. Il ne s'agit que de prévenir ce préjugé pour mettre en usage l'intervalle 7:8, mais il faudrait aussi pour cela des règles particulières de composition.

Je viens d'acliever le III*^ Volume de ma Mécanique, (jui rouie sur le mouveincut îles corps solides inflexibles. J'y ai découvert des principes tout à fait nouveaux et de la dernière importance. Pour(iu'un tel corps tourne librement autour d'un axe, il ne suffit pas que cet axe passe par le centre de gravité (ou plutôt par le centre d'inertie du corps); mais il faut outre cela que toutes les forces centrifuges se détruisent. Il est bien évident que, dans tous les corps, toutes les lignes qui passent par son centre d'inertie n'ont })as cette propriété. Or j'ai démontré que dans tous les corps, quelque irréguliers qu'ils soient, il va toujours trois telles lignes perpendiculaires entre elles, que je nomme les trois axes principaux du corps, par raj)port auxquels je détermine ensuite les moments d'inertie, et celte considération m'a mis eu étal de résoudre (juantité de problèmes, qui m'avaient paru insolubles auparavant; comme, ayant imprimé à un corps (juelcon(|ue un mouvement quelconque, de déterminer la continuation de ce mouvement, faisant

(') Voir Rameau, Génération liarnionifjite ou Traité de Musique théorique et pratique, Paris, 1-37, in-8% Chap. VIII, p. io5.

{-) s'aperçoivent, il aurait dû écrire : se perçoivent.

abstraction de toiitos forces qui pourraieiil agir sur le corps. J'espère (|ue vous aurez hicn reçu ma dernière lettre; pour celle-ci je la fais passer par la main d'un ami à Genève, M. Bertrand ('), qui s'est aj»pli(|ué aux iMathématiques avec un très grand succî's. J'ai l'honneur d'être, jMonsieur,

Votre très luimhle et très obéissant serviteur, L. Eller.

A Monsieur de La Grange Tournier, Professeur en Mathématiques et membre de l A cadém ie roya le des Sciences et Belles-Lettres, de ['russe à Turin .

De Turin, 24 novembre 17J9 (-).

Monsieur,

Rien ne pouvait m'arriver de plus agréable que l'honneur de vos lettres, qui m'assurent de la continuation de votre précieuse amitié; j'ai été charmé surtout d'apprendre que vous ayez cnïïn r(>çu le Livre (|ue j'avais pris la lil)erté de vous envoyer comme un témoignage du respectueux attachement que je conserve sans cesse pour votre illustre personne. Notre Société vous est infiniment redevable de la bonté que vous avez eue d'examiner ses travaux, et du jugement honorable que vous en portez; vos suffrages, monsieur, sont poui* nous les plus flatteurs, et ce n'est que sur eux <jue nous croyons pouvoir jusieuient apprécier notre Ouvrage. Le succès de cette première entreprise nous encourage à ne pas l'abanibniner, el nous espérons de donner au public un semblable A^olume au milieu de l'année [U'ochaiue. Nous avons d'ailleurs loni lieu de croire qiu' le (louvernemeni ne man(|uera pas de

(') Louis Bertrand, géomèlre, inenijjre de l'Académie de Berlin, né à Genève le j octobre 1731, mort le i5 mai iH\2.

(2) Lettres iiie'dites, p. 29.

soutoiiir une Société naissaiilc. (lui. sans un ('(ablissoment convcnablo, ne saiirail pas subsister b)ngteinps; mais ce (|iii pourrait l'engager b' plus ce serait de voir que ceux mêmes qui tiennent les [)remiers rangs tlans les Sciences daignassent y concourir, et ra])puyer par leurs noms et leur crédit. M. Haller vient de nous faire cet lionneur en nous promettant deux Dissertations pour le Tome suivant ('). Oserais-je vous supplier aussi, monsieur, d'une faveur semblable, au nom de loule la Société? Les Lettrés de noire Pays seront sans doute fidèles à conserver une vive reconnaissance de ceux (|ui les auront les [)remiers lionorés et protégés. En cas que vous vouliez vous daigner nous envoyer quebjue pièce, vous pouvez, s'il n'y a pas d'autre voie plus commode et plus sûre, nous la faire tenir directement j)ar la poste en l'adressant à Genève, sans craindre nullement la grosseur du paquet.

.h' me crois extrêmement heureux d'avoir pu contribuer h met Ire votre solution de chordis rihrantibus à l'abri de toutes les objections de MM. Bernoulli et d'Alembert. 11 est vrai ([ue les calculs en sont assez longs et compliqués; mais je ne sais pas si, en envisageant les choses comme j'ai cru devoir faire, on pourrait les abréger ou simplifier. J'ai cependant imaginé depuis peu une autre solution analytique, par la- (iiudle je parviens directement de la formule dift'érentielle -—: = c ^

à la même construction générale que j'ai donnée dans l'article 1.5, sans que la nature du calcul puisse porter la moindre atteinte à sa généralité; car cette nouvelle méthode est fondée sur les mêmes principes que celle que j'ai expliquée pour le cas d'un nombre indéterminé de corps mobiles, avec cette différence que les opérations, ici roulant toujours sur des termes infiniment petits, ne sont composées que des intégrations et diirérentiations convenables. Cette solution, étant d'nn genre tout à fait nouveau, ne sera peut-être pas aussi indigne de votre attention, et (die servira encore plus à établir l'usage des fonctions irré-

{ ') .-Viberl (le HalIcr, analomisLc, Ijotanisle cl poclc, ne à Berne en 1708, morl en 1777. Il tint parole à Lagrange, car dans le IP Volume, qui comprit les années 1 760-1 761, le premier .Mémoire est de lui. Il est intitulé : Eme/ulatioucs et aiulnria ad stirpiuin liclvcticariim liistoriani.

giiliôrcs ot ilisconlinuos dans une iiifinilé (rautros problèmes. Je la réserve pour le second Tome de nos Mémoires ( ' ). A propos de la solution générale, lorstjuc la corde a au commencement une ligure quelfonque avec des vitesses données à tous ses points, vous verrez que je l'ai donnée dans l'article cité, et je ne doute pas qu'elle ne soit entièrement conforme à celle que vous avez inventée; mais il faut avoir égard à l'errala qui se trouve à la tin de tout le Livre. Si l'on suppose (jue, ilans le premier élal de la corde, on ait

y=zo{x) el u ^= Ajt,

on aura généralement

(o{x -h et) -\- (^{û:; — et) -\- f A{.r ~\- et) dt -h f A{x — et) dl

d'où l'on tire par la différentiation la valeur tle //.

J'ai reconnu avec une grande satisfaction ce que vous dites de la différence entre les ébranlements primitifs et dérivatifs; c'est assurément une remarque bien importante tant pour le calcul que pour la Physique, et digne de votre profond génie. Après avoir presque achevé ma théorie sur la propagation du son, je me suis bien aperçu que j'aurais pu également la tirer de la construction des cordes; cependant, comme il s'agissait de fonctions tout à fait discontinues, j'ai aimé mieux la déduire directement de mes formules générales. Viwq chose (|ui, en y pensant de nouveau, m'a paru peu exacte, c'est la supposition (jue je fais qu'une seule particule d'air soit ébranlée à chaque vibration du corps sonore, d'où il n'en résulte dans les particules suivantes qu'un mouvement tout à fait instantané. Je crois donc que, pour se conformer de plus il la nature, il sera mieux d'imaginer que plusieurs particules d'air soient remuées à la fois par le corps sonore, et on trouvera dans ce cas que chacune des pai'ticules suivantes n^cevra un mouvement qui ne sera plus instantané, mais qui s'éteindra loul à fait après un cei'lain

( ' ) Foyez dans ce second Tome, p. i de la II" Partie : Nottvelles recherches sur la nature et la propagation du son, el le l. I do la présente édition.

t('m[)s; (>l ce temps sci'a le inrmc (juc celui (itic le son iiiclli'ail à parcourir la loniiiKMir de l'cspaco par lequel on suppose (|ue les |)ai'lifules soient agitées dans le pi-eniier éhranlemeul. Or, le son parcourant à peu près 1200 pieds par seconde, et le son le i>lus aigu ne faisant qu'environ 1800 vil)rations dans le même temps, il s'ensuit (ju'à moins que l'étendue de la pr(Mïiière onde d'air, ])our ainsi dire, ne surpasse la longuinir de deux tiers d'un pied, ce (|ui n'est nullement probable, cha({ue parlicnle sera réduite au repos avant ([u'elle puisse recevoir une seconde secousse. Ainsi, tout se passera de même comme dans l'hypothèse des ébranlements instantanés, et les lois de la propagation et de la réflexion du son demeureront aussi les mêmes. Je suis parfaitement d'accord avec vous, monsieur, que les vraies lois de la propagation du son dépendent de la considération d'une triple dimension dans l'air, et c'est de là qu'on doit aussi tirer la théorie de la diminution du son; car, en ne regardant qu'une ligne physique, il est tout naturel, et le calcul le montre aussi, que la force du son ne doit soufTrir d'(dlemêirie aucune diminution. Je doute ({ue la proportion connue de la diminution en raison inverse des carrés des distances soit assez exacte, mais-ce n'est (jue par un calcul tout h fait rigoureux (|u'on pourra s'en assurer.

J'aurai l'honneur de vous parler une autre fois de ce que j'ai trouvé de nouveau touchant les isopérimètres, et l'application du principe de la moindre quantité d'action. Je suis ravi que vous continuiez à enrichir la république des Lettres par de nouveaux Ouvrages très importants, tels ([uc le Calcul différentiel et inlégral, et le li'oisième Tome de la Mécanique. Je tâcherai de les acquérir j)ar la voie de Genève ou de Paris, s'il m'est possible. J'ai aussi composé moi-même des éléments de Mécanique et de Calcul différentiel et intégral à l'usage de mes écoliers, et je (;roisavolr développé la vraie métapliysi(jue de leurs principes, autant qu'il est possible. Je vous supplie de faire agréer mes compliments et mes services h votre savant fils Albert (') que je

Cj Jcan-Albcrt, fils aîné d'Euier, né le 27 novemi)rc 1784 à Pélcrsbourg, où il est mon, le G septembre 1800.

vois marcher sur vos illustres traces, et je suis avec la plus parfaite

considération

Votre très humble et très obéissant serviteur,

Louis DE LA Grange.

A monsieur Eulei\ Directeur de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin.

Turin, ■?(> décemlire 1-59 (').

Monsieur,

Dans hi dernière Lettre que vous m'avez fait Thonneur de m'écrire vous m'avez proposé à résoudre l'équation

ou bien

âf ~^ dz' ^^ dzyi

qui renferme les lois de la propagation du son dans le cas ([ue les ébranlemenis se répandent en forme d'ondes circulaires. Comme je n'avais pas alors fout le loisir nécessaire pour entreprendre un(> telle recherche, j'ai été obligé de la remettre à un autre temps; c'est pour- (|uoi je n'en ai point du tout parlé dans la réponse que je vous fis alors, et ({ue je me flatte que vous aurez bien reçue. JMaintenanl, voici les principaux résultats de mes réflexions sur ce sujci.

Ayant trouvé, quelque temps avant, le moyen de simplifier ma méthode De c/iordis rihranlibus, dans le cas de la corde uniformément épaisse, et de parvenir directement de l'équation dilfcrcnlielle ii la construction géométrique par deux intégrations diverses. Tune (mi a-, etl'aiili'e en /, je crus devoir essayer si les mêmes procédés auraient

(1) heures inédites, p. 87.

I)K LVr.RANGE AVEC EULER. Mo

aussi étt' ;ip|ili(';il)l('s à l'équation proposée; mais, coiniiic If caU'iil dcvt'iiait assez conipli(]ué et incertain, à cause de quehjue équation (|ui louihail dans le cas de Riceati (' \ j'ai aimé mieux de considérer d'ai)()r(l la question ilans l'état qui ])eul avoir lieu dans la nature, savoir en supposant (jue les ébranlements se répandent en forme d'ondes spliéri([ues.

Pour cela, a[)ri's avoir trouvé l'équation

et l'avoir maniée par un grand nombre d'opérations que ma méthode exigeait, je suis enfin parvenu à une construction géométrique assez simple par laquelle, étant donnés les ébranlements primitifs de l'air dans un (uyan conique infiniment prolongé, il était aisé d'en déterminer tous les suivants.

J'ai trouvé (|ue l'air n'étant ébranlé d'abord ([ue par un très petit es{)ace au sommet du cône, cet ébranlement, qui peut être regardé comme une onde sonore, se communique d'une partie de l'air à l'autre et avance toujours avec une vitesse constante, et la même que celle ((ui convient au cas d'une simple ligne physique; mais, en même temps, la force de l'ébranlement ira en décroissant dans la raison inverse des carrés des distances, ce qui semble s'accorder avec les expériences ordinaires sur la diminution du son. En examinant ensuite plus intimement la même construction, je me suis aperçu que je pouvais aussi assigner l'intégrale de l'équation proposée en termes algébriques. La voici :

d'oi^i l'on tire

fZo(Z±t^c)dZ z = ■ ^, ,

où la l'onction '^ |)eut être continue ou discontinue, comme l'on voudra.

(') Voir, sur lui, la Note de la p. i38 iln t. XIII.

Cette équation, si on la Irailo (riinc manière convenable, suffira pour nous découvrir tous les mouvements de l'air dans un tuyau conique d'une longueur quelconque, pour quelque agitation primitive qu'on veuille imaginer; mais aussi, il ne sera pas fort dillicile de voir (jue \v système dans ce cas ne pourra jamais plus reprendre sa première position, si ce n'est par hasard ou par le moyen de certaines conditions dans les ébranlements primitifs, puisque les branches de la courbe génératrice, qui doivent être tracées de part et d'autre à l'infini, ne se trouvent pas semblables entre elles comme celles des cordes vibrantes.

Vous pouvez, monsieur, avec peu d'attention, découvrir toutes les conséquences qui résultent de cette formule, cl qui pourraient se dérober à mes efforts. Après avoir ainsi rempli mon objet, je suis revenu au cas des ondes circulaires, mais j'ai été tout étonné de trouver que le problème dans cette hypothèse, en apparence plus simple que l'autre, se refusait néanmoins à une exacte solution. Je pris donc à considérer la question dans le sens le plus général, en supposant la figure conoïdale du tuyau rempli d'air telle que chaque section perpendiculaire à l'axe soit proportionnelle à Z'", Z étant la distance du sommet du conoïde donné.

En ce cas, j'ai trouvé l'équation différentielle

et, de là, par ma méthode, j'ai tiré la formule

dzZ m — 2 d-7}z (m — oO(m-4) Ù^Z^ z ^'^ iïL "^2(m — I) iW' ^2.3(/« — i)(/n — 2) (W + • • •= ?(Z ± ^ V^ ).

J'ai aussi trouvé, en même temps, une autre formule pour la valeur de z, savoir :