i — I ) ( 'w — 2 ) dV

OÙ la fonction '^ dépend de o par un nombre d'intégrations relatif au

I)K LM.nVNC.K AVKC EULER. 177

iKiiuhi'c ///. On voit par ces roniuilcs qin' z n'aura jamais imc valriir oxaoto (jiit> dans les cas de m paii" cl posilil"; dans Ions les autres, la série ira à Tintini, et, si m esl inij)air positif, il y ani'a toujours (|uel(jues lennos qui s'évanouiront au eoinmencemonl d'elle. Les cas de /// pair néiratif adniellent néanmoins une solution exacte lors(jue m. . . .

On trouvera la formule, pour ce cas, en posant dans la sup

y^ au lieu de z, et puis — w — 2 an lieu de nr, car on peut voir (|U(>

par ces transformations ré(|uati()n dillérentielle demeuicra la même.

Au reste, j'ai reconnu (|ne, dans tontes les é(jualions d'une seml»lal)le nature, on peut souvent abréger le calcul en suj)posanl d'abord

z =z A '^(Z + /et) + B A ,i,(z + /,-o + C ^^ <h{Z + /,0 + ■ • • ,

où A, B, C, ... étant des fonctions de Z qu'on déterminera après la substitution par la simple comparaison des termes; mais, si l'équation renfermait quidqne terme qui ne contint point le z, ou quelqu'une de ses (Hlférences, il serait peut-être alors indispensable d'avoir recours à une méthode directe; la mienne serait encore utile, quelle que fût la nature de ce terme. Je compte d'expliquer cette matière dans une dissertation particulière que je prépare pour le Volume de nos ^Mélanges de l'année prochaine. En attendant, je commence par soumettre ce petit essai il votre jugement que je regarde comme le premier dans le |)etit nombre de ceux qui peuvent véritablement me llatler ou me donner de la peine.

Daignez, monsieur, d'accepter les vœux que j'ose joindre avec ceux de tonte la Républi([ue des Lettres pour la conservation de votre précieuse vie.

Je suis avec le plus respertu(Hix attachement, monsieur.

Votre très humble et Irc's obéissant serviteur,

Louis I)K LA GhAXGE.

A monsieur Eiilcf, Direclcnr de l'Académie royale des Sciences et Beiies- Lettres, à Berlin.

EULER A LAGRANGE

Berlin, i"' juin 1760 (').

Monsieur,

Depuis ma (Icniirre lettre, j'ai réussi à ramener au calcul la propagation (lu son, en supposant ii Fair toutes les trois dimensions, et, quoique je ne doute i)as que vous n'y soyez parvenu \)\ui heureusement, je ne crois pouvoir mieux témoigner mon attachement envers votre illustre Société qu'en lui présentant mes recherches sur ce même sujet :

Recherches sur l<i propagation des ébranlements dans un milieu élastique.

En considérant le milieu dans l'état d'équilihre, soit sa densité égale ;i I, et son élasticité halancée par le poids d'une colonne du même iluide dont lahautcur est égaleà A, je commence par considérer un élément quelcon(jue du fluide, qui, dans l'état d'équilihre, se trouve au point Z {fig- i) déterminé par les trois coordonnées perpendiculaires

Fis. 1.

entre elles, AX = X, XY = Y et YZ = Z; et que, par l'agitation, ce même élément ail été franspoi'lé en z, dont les cooi'données soient

(') Celle leUrc, ([ui se trouve au f' i3 du ms., a clé publiée comme inédile daus le t. 1. p. 56 1, des Opci'd postuma; elle avail été insérée dans le Tome II des Miscelkiitca Taurinensia (1760-17G1), page i de la II" Partie.

DE L Vf. Il ANGE AVEC EULER.

lin

Aa-^o', 'ï'Y^^y Qt y:==z qui seront certaines fonelions des picniii'i-es X. Y. Z |)oui' nn inslani donné. Soient donc

(fx = L d\ -h M d\ + N dZ, dy rz: P rfX + Q r/Y + R dTL, d: =SdX-r-T d\ -4- \ d'L

l^iisuile, je considère un volume intininieni petit de fluide, (|ui, dans l'état d'équilibre, ait la figure pyramidale Z\r^ {f'g- -) rectangulaire.

Fis. 2.

(jui, par l'agitation, soit transportée en z\u.v, dont la ligure sera aussi pyramidale, et posant, pour l'état d'équilibre,

des points z. . . .

les coordonnées

on aura, poui' l'étal d'agitation,

des points

les trois coordonnées

s Xx = X

> AL = .r

[j. AM = X

V AN = j:

La L/ =j-+-Pa l\ =3-)- Sa

M 3 M/«=j-i-03 w.;i=s-i-Tp

Ny Nrt =j + Ry iri = 3 -f- V-,'

Le volume de la pyramide Z;t,0 égale [ v!(j^i.

Il s'agit de trouver le volume de la pyramide z'Ijvi, qu'on voit être

composée de ces prismes

y 1)1 n z /J.V + V /// c /.v + lin n / /jlv — >■ hn z }.'j.,

o(, [)rciian( la solidité de ciiafjiu' [)art, on trouvera cette solidité

\(vz-h II -i- nv )lyl/i j [ +i(3; + Sa+ \ y ) A >7// 1

U -IT^lvln,

I — .', Sa A yitiii, {yz-h /niJ.-h fi'j )lj'nin [ ) +i(3;-t-T|3+ \ / )\y/ii/i

^ ( / À + /» p. -\- ri'j ) A Im n iiyz+n. -i-mix)ljlm

Ensuite, ou trouve les aires de ces triangles, à cause d(> j\. = La, ^M = ]VIj5, a'S = Ny, comme il suit :

A7/«« = A^-M(2,v + Qi3) + |MN(2v+Q,3 + Ry)-i^N(2j + Ry) = .[Q,3xa^N-|Ry x^M=J,3-/(NQ- A7/« = ia,-N(2j+R7) + iLN(2j + Pa + Ry) — |j7L(2v + Pa) = -^Ry xxL— iPaxxN =|ay(LR - A.v///* -:TixM(2,r + Q|3) + iLM(2y+Pa + Q(3) — i^L(2r4-Pa) = ^Q;3xxL-^Pax^M = ia3(LO-

I)e là, nous tirons la solidité de notre pyramide zVjxv dans l'élal d'agitation

- ia(3y S(NQ - MR) - la^y Ï{LU - NP) + J a,3-/ V( LQ - MP),

et, parlani, la densité du milieu agité en z sera