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OÙ les signes supérieurs donnent/? = i23 et </ = S'i, mais ([ucllc raison nous conduit à supposer ^, — 47 et/?, = i3?

J'ai aussi fort admiré votre méthode d'employer les nombres irrationnels et même les imaginaires dans cette espèce d'analyse, qui est uniquement attachée aux nombres rationnels. Il y a déjà ({uelques années que j'ai eu de semblables idées; mais je n'en ai encore rien donné là-dessus ni dans nos Commentaires, ni dans les Mémoires de Berlin; cependant, ayant publié ici une rVlgèbre complète en langue russe, j'y ai développé cette matière fort au long, où j'ai fait voir que, pour résoudre l'équation x- -+- ny^ = (p^ -+- nq-f, on n'a qu'à résoudre

celle-ci : x -\-y y/— n = {p + q \] — n) . Cet Ouvrage s'imprime actuellement aussi en allemand, en 2 vol. in-8" ('*), et, quand je vous expédierai le Volume III du Calcul iniégjat, j'y ajouterai un exemplaire de celte Algèbre ou en russe ou en allemand.

Mais je n'y ai pas poussé mes recherches au delà des racines carrées; et l'application aux racines cubiques et ultérieures vous a été réservée uniquement. C'est de là que j'ai tiré cette formule très remarquable

x^ + ny^ -\- n-z^ — 3 « xyz,

dont les trois facteurs sont x -h j y/^ + z \jn- ; d'où l'on voit qu'on peut toujours aisément déterminer les lettres x, y et z pour que cette formule devienne un carré, ou un cube, ou un carré-carré, ou quelque plus haute puissance. Au reste, pour juger si l'équation A =/;'±B^^ est possible ou non, j'ai trouvé cette règle pour les cas où A est un nombre premier : ôtez du nombre A un multiple quelconque de 4B, et, toutes les fois que le reste est un nombre premier a, l'équation proposée sera possible si celle-ci a =/?-± B^^ l'est, et de plus si le reste A — \n\\ devient un tel nombre ab', de sorte que a soit un nombre premier, ou même l'unité; alors la possibilité ou impossibililé de l'équation a =p^ — Bq^ déclare la nature de l'équation proposée. Ainsi, ayant

(') Auleitun^ zuv Al'^cbra, Pctersbourg, 1770, 2 vol. in-8°.

ilonnoroz. ^fonsiiMir, {\uv j'aie (liflTéré si longtemps de répondre à l'obligeante Lettre don! vons m'avez honoré. D'aillenrs, depuis environ un an. la (liéorie de la Lune m'a tellement occupé que je n'ai presque pu penser à d'autres choses ('). Trois habiles calculateurs m'ont bien voulu assister pendant tout ce temps, et, quoique nous y ayons rencontré mille obstacles, nous les avons surmontés presque tous assez heureusement, de sorte que nos travaux sur cette matière se trouvent actuellement sous presse. Jamais une recherche n'a demandé tant de pénibles calculs et tant d'adresse dans l'exécution; cependant, il s'en faut de beaucoup que cette matière soit entièrement épuisée; nous devons nous contenter, si les Tables que nous en avons tirées s'accordent encore mieux avec le ciel que celles de MM. Mayer et Clairaut C*), et que leur usage soit beaucoup plus aisé.

Malgré ces pénibles recherches, je n'ai point manqué de profiter de quelques moments pour étudier vos excellents Mémoires, qui m'ont été communiqués par M. Formey; et d'abord, ce qui m'a frappé le plus et que je ne puis pas assez admirer, c'est la beauté et l'étendue infinie de votre théorème général, lorsque

et marquant par 'l(^) une fonction quelconque de ce et prenant '|(/) une semblable fonction de /, on aura toujours

+ iff-93(f)-y(^)^i.^»cpMO<]''(0+--.,

en omettant les divisions par les puissances de dt. Ce théorème me parait déjà de la dernière importance sans même avoir égard à l'équation i = x — o(x), dont il fournit la résolution et dont vous vous servez avec'le plus heureux succès pour résoudre toutes sortes d'équa-

(•) I.e sujet proposé par l'Académie dos Sciences de Paris avait été, en ijfiB, remis une seconde fois au concours pour 1770. La moitié du prix fut alors adjugée à Euler, et la question remise au concours pour i-yi; cette fois, le prix fut partagé entre Euler et Lagrange; voir t. XIII, lettres 4j, 48, oO, 53 et suiv., 61 et suiv., 71 et suiv., 80 et suiv., 102.

( -i) Fuir tome XIII, lettres 27, 49, 02, 84.

lions. J'avais déjà composé, avant mon départ de Berlin, un Mémoire sur le même sujet à l'occasion d'une excellente pièce de M. Lambert, insérée dans les Actes hérétiques (*). Cette idée me parut d'abord susceptible d'une beaucoup plus grande étendue, que j'ai tàcbé de développer dans ledit Mémoire, qui, actuellement, se trouve imprimé dans le W^ Volume de nos Mémoires ou Commentaires. Mais vous avez poussé. Monsieur, cette recherche beaucoup plus loin à l'aide de votre admirable théorème. Après y avoir réfléchi tant soit peu, j'ai d'abord reconnu que sa vérité est indépendante de la résolution des équations et des rapports qui régnent entre les racines. J'avais d'abord formé le . dessein d'en rechercher une démonstration directe, tirée des premiers principes généraux de l'Analyse, mais j'y ai d'abord rencontré de trop grands obstacles. Or notre habile académicien M. I^exell y a bientôt parfaitement réussi, et en a trouvé une telle démonstration qui répondait parfaitement à mes souhaits. C'est dommage que ce beau théorème soit tellement caché entre vos nombreuses recherches, Monsieur, que peu de monde l'y observera et en remarquera toute l'importance. Pour moi, je le crois bien loin préférable à mon théorème général sur l'intégrabilité, que j'avais tiré de la théorie des isopérimètres, et que vous avez jugé digne. Monsieur, d'insérer dans les Mémoires de Berlin, avec une Note touchant M. le marquis de Condorcet.

A cette occasion, j'ai aussi l'honneur de vous marquer que M. Lexell a pareillement donné une très belle démonstration de ce même théorème, que vous lirez dans le XV Volume de nos Commentaires. Vous avez bien voulu dire à M. Formey que les extraits des lettres de M. d'Alembert, insérés dans les Mémoires de Berlin (-), ne sont rien moins que ce que porte le titre, mais que ce grand homme vous les avait. Monsieur, adressés exprès pour les publier dans cette forme, quoique, à mon avis, elles ne renferment que des observations assez légères. Or, comme les dernières lettres que j'ai eu l'honneur de vous adresser. Monsieur, contiennent quelques articles qui ont mérité votre

(') Observationes variœ in Mathesim puram, clans le t. III des Acta hcU'etica, p. 128. (*) Voir année 1769, p. 254 et 265,

DE LAGRANTiE AVEC EULER. 227

approl)ation, il me seniMo que vous los jjouri'ioz ('lialoiucut fairo insérer clans vos Mémoires sous le li(r(> d'Extraits, sans que j'aie hesoin (le l'y mettre moi-même à la tète.

Ne doutant pas que vous n'ayez, ^^onsieur, poussé encore plus loin vos premières recherches sur le prohlème de deux nomhres dont laiil la somme que la dilTérence, étaut ou ajoutée ou retranchée du produit (le ces mêmes nomhres, produise des nomhres carrés, je suis l'or! curieux d'apprendre si vous en avez découvert une solution plus générale que la mienne, (jue j'avais trouvée par bien des détours.

On expédiera d'ici, avec les premiers vaisseaux, le 111'^^ Volume de mon Calcul intégral avec le IIP Volume de ma Dioptrique, qui enseigne la plus parfaite construction des microscopes ('). Vous verrez alors aussi le Volume XIV de nos Commentaires divisé en deux Parties, dont la dernière est presque uniquement remplie des recherches sur la parallaxe du Soleil, tirées des observations du dernier passage de Vénus sur le disque du Soleil, que M. Lexell a bien voulu exécuter sur les idées que je lui avais communiquées (^). Ce même académicien a aussi composé un Traité à part sur la comète de l'année 1769, qui vient de paraître il y a quelques mois (^).

Vous voyez, Monsieur, que je profite amplement de la belle occasion que M. Lexell me fournit en me prêtant ses yeux et sa main.

J'ai l'honneur d'être avec la plus haute considération, Monsieur, votre très humble et très obéissant serviteur,