L. ElLER

Mes compliments les plus empressés à mon très digne ami, M. le professeur Begueiin.

M. Bernoulii aura bien la bonté de faire parvenir l'incluse à son adresse, et nous vous prions. Monsieur, de lui présenter nos civilités.

EULER A LAGRANGE

Saint-Pétersbourg, 1, janvier 1770 (').

Monsieur mon très cher Confrère,

Je suis extrêmement ravi que vous ayez reçu avec tant de bonté mon Ouvrage sur le Calcul intégral, dans lequel j'ai tâché de ramasser tout ce que j'ai observé sur ce sujet de remarquable. Mais j'espère de vous envoyer au plus tôt la troisième Partie de cet Ouvrage, qui appartient presque uniquement à vous, et je ne doute pas que vous ne la portiez bientôt à un plus haut degré de perfection.

M. Formey m'a envoyé les feuilles du dernier Volume des .Mémoires de Berlin, qui contiennent les excellentes pièces dont vous me parlez dans votre lettre. Comme je ne suis [)as en état de les lire moi-même, j'ai prié noire habile M. Lexell de m'en faire la lecture, (pic j'ai enlcndui» avec la plus grande avidité. J'y ai non seulemeni admiré la prol'ondcui' de toutes vos recherches, mais aussi surtout leur multiplicité, qui à tout autre aurait fourni de quoi remplir une douzaine d'excellents Mé-

(') Ms. f" 25. — Opéra postuma, t. II, p. 571.

DE I. VC.llAXiE AVEC EULER. 215

moires dilTérents. Vous savez, .Moiisiciii', (|iie j'ai hoaiicoiip (ravaillé dans cette espèce d'analyse et que j'en connais |)artailenient tontes les difficultés, et partant j'ai vu avec la plus grande satisfiiction que vous en avez surmonté quelques-unes très heureusement. La méthode <(ue vous employez pour résoudre l'équation A=^ p-±\i{f^ est d'autant j)lus ingénieuse qu'elle ne suppose rien qui ne soit fondé que sur l'induetion. J'ai été curieux d'appliquer d'abord vos méthodes à des exemples, qui ont pour la plupart ti'ès hien réussi; mais l'exemple suivant m'a causé (|uelque embarras, où il s'agit do résoudi'o en nombres entiers ioi=/^-— l'^q"^. Selon votre méthode, il faut donc chercher un nombre a plus petit que ^, de sorte que a-— i3 soit divisible par ICI, où j'ai trouvé a = 35 et de là A, = 12 =^ p', — i3^'^, pendant que A = loi et B, = i3, d'où l'on tire p, = 5 et 7, = i; donc, selon votre méthode, on trouverait

et partant, ces nombres n'étant pas entiers, on devrait conclure (jue ce cas n'est pas possible; cependant, on satisfait à cette question en prenant /> = r23 et ^ = 34, ce qui me faisait croire que votre méthode était insulTisante.

Mais, en écrivant cela, je vois que je n'ai pas assez bien observé les préceptes que vous donnez; car, puisque A, = 12 est divisible par le carré \, il faut poser ^ r= 3 = ^^ — i3u'-, ce qui donne / = 'j et // = i, d'où l'on doit prendre />, = 8 et q^ = 2, et alors on aura