LEXELL A LAGRANGE

Saint-Pélcrsbourg, 3 mars 1772 (M.

Monsieur,

Ayant appris par la lettre (^) que notre illustre M. Euler a reçue de vous, et qu'il a bien voulu avoir la bonté de me communiquer, que vous seriez curieux de voir la démonstration que j'ai donnée (^) de votre très élégant théorème, qui se trouve dans le Tome XXIV des Mémoires de Berlin ('*); et, M. Euler m'ayant ordonné de vous communiquer en même temps quelques-unes de ses démonstrations qu'il a trouvées dudit théorème, je profiterai de cette occasion pour vous présenter, Monsieur, les hommages que je dois offrir à vous comme à un des plus grands mathématiciens de notre siècle, et de vous témoigner les sentiments d'admiration et de respect que vos sublimes recherches m'ont inspirés.

Avant que de donner les démonstrations dont je viens de parler, je remarquerai que les deux premières sont de M. Euler, et la troisième celle que j'avais trouvée. Outre ces deux démonstrations, M. Euler en a encore trouvé quelques autres, mais celles-ci m'ont paru les plus remarquables.

Première démonstration. — Puisque / = ;r — P, il sera

donc

dx dx dt ~ dt '

^•3'-Q'=tp'<3-S«'-

où Q' marque une nouvelle fonction quelconque de x.

(') Ms. in-4°, t. IV, f° 36; Euler, Opéra posiiuna, t. I, p. 579. (*) Nous n'avons point cette lettre.

(') Voir plus haut, p. 226.

(*) P. 275. Ce théorème fait partie du Mémoire intitulé : Nouvelle mc'tlwâe pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries. Voir t. III, p. 5, de la présente édition.

Soien( p, q, r de semblables fondions (1(> / (inc V, Q, R soiil clc a-,

et posons

où A. H, C, D sont des fonctions déterminées de /. Il sera donc

, r/V (in rfC

car, en snpposant

dq dq dq

on a

dq-^^' dq-^'

mais, en prenant le différentiel complet de Q, il résulte dx ^, , f/V ^B dC. f/A d\i dC

dl dq dq dq dt dt dt

d'où l'on lire

djc ^, ^, djc^, c/\ c/B dC dt ^ dt dt dt dt

Posons maintenant

il s'ensuivra

d-r , d'X, rfiti. rf3 rf(D

par conséquent,

, d-X. r/ii!> r/S rfcO f/A (/B ^:

'^ ~^ 'cït ^ ~dt '^ ~di ~^ dt " ' ^ dt dt ^ dt

En comparant les membres :

donc

\^pq' et X^=. pr'^iL pp' q';

dU cL\. __ djpp'q') ^° dt ~ ~dt ~~ dt '

donc

dh^dpdipq') et B—-d{p^(j');

donc

^>\>=.'-d{p^r')=^d{p^-p'q')=^r^dHp-c,'),

dC dMh I ,,^ . ,^

donc

Ainsi on oi)tiendra

2 1.2.0 I.a.O.ill

en omettant partout les dénominateurs affectés de dt.

Je ne sais si j'ai bien saisi le sens et la forme de celte démonstration, mais j'avoue qu'elle me paraît un peu douteuse.

Deuxième démonstration. — Posons

^{œ) ^ ^{t) -h P ^'{() ~\- d[Q^'{t)] ^ d-'[n 'i^'it)] ^ d'IS ^' {t)] + . . .;

donc, pour le cas

t>(.r) = j7, ']'{t) = t et ^(0 = '.

on aura

a; = < + P + rfQ 4- c^-^R + ^»S + #P -4- . . . .

Or, puisque

DE I. VC.HANr.E AVEC EULER.

o{x) = ^{t) ^ P ^'(t) -}- d[Q o' (t)] -~- d-[l\ '^'{t)] -^ cfi[S o'{t)] -h . . . ,

il sera

p ^ dQ ^ d-R ^ (P's + . . .^ (fit) + P<^' (t) + d[Q <^\t)] -^ . . . ,

donc

P = cp(0, dQ = Vo'{t), d'-R=d[Qo'{t)], d^S = d-'[Q(f' (t),]

Troisième démonstration. — Par les principes d'Analyse

^it)^'h{x) - 0{X)'\' {X) -^ o\x)'^-^l^ -(,\X)^^^^^ ^ ' ' ^ ' i .-idx ' 1.2.3 dx'^

de même donc il sera

■la) — <h{x) \ o(t)ij\t)

\.%dt ! ^ i.i.i.^dl^

-,i.r)nr)-^,Hx)^^