-JE

V (i 4- a' 4- (3') II

qui serviront à déterminer les trois inconnues a, /3 et st. Ces équations donnent d'abord ces deux-ci

A,a — B,(3 + C, A,a — Bs|3 4-C,

(«,a — 6,(3 4- Cj2 " (tf2a — 6,(3 4- c,)'

par lesquelles on pourra déterminer les deux inconnues a et ]3.

Qu'on suppose

o,a — 6, (3 4- c, =/, on aura

le premier membre des deux équations précédentes deviendra — ,; et,

substituant les valeurs précédentes de « et /3 dans les seconds membres des mêmes équations, elles deviendront évidemment de la forme

x Ix 4- mr 4- /j

jw ~~ (L* 4- M j- + N)5

y' ~ (Fa: 4- 0' I!

«8 NOl VELLE MÉTHODE

or ces équations se changent en celles-ci

flH

* + ïï

savoir, en faisant — = /, — = «, J 7

-4- m -+- nu

(Lf

pt

— (Pï + Q + Rm,2 Qu'on suppose de plus

on aura

z — ht — M

et, taisant cette substitution dans les équations précédentes, elles prendront cette forme

/'/ -4- m1 -+- riz

la première donne sur-le-champ

m' -4- riz

et, cette valeur étant substituée dans la seconde, on aura cette équation finale en z,

m'-h riz __ p'(m'-+- riz) (z2 — /')-+- {q'-h r'z) {z- — /')' z*—l~ ~[P'(M'-4- N'z) + (Q'+ R'z) [z-' — l )]•' '

POUR DETERMINER L'ORBITE DES COMETES. i79

laquelle, étant développée et ordonnée par rapport à z, montera au septième degré, et aura par conséquent toujours au moins une racine réelle.

12. Il ne sera pas difficile de résoudre par approximation l'équation que nous venons de trouver, et pour cela il vaudra encore mieux employer les deux équations

t= *"'+** et (P'/ + Q'+R'*)'=P,/ + g'-4-r'z:

on donnera successivement à z différentes valeurs, et l'on calculera

celles de l et des deux* quantités Vt + Q'+ R's, £■ ^ — -, si l'on

trouve deux valeurs de z, dont l'une rende la seconde de ces quantités plus grande que le carré de la première, et dont l'autre la rende plus petite, on sera assuré que la vraie valeur de z tombe entre ces deux-là, et l'on pourra ensuite, par d'autres substitutions, approcher davantage de celte valeur. Si l'on ne pouvait pas rencontrer deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires, il n'y aurait alors qu'à opérer suivant les règles que j'ai données dans mon Mémoire sur la résolution des équations numériques (Mémoires de 1767), et par lesquelles on est toujours sûr de découvrir et de déterminer aussi exactement que l'on veut toutes les racines réelles d'une équation quelconque.

Ayant trouvé une valeur convenable de z, on aura celles de t et de u,

ensuite celles de x= - et de y = -j enfin celles de <x et fi, qui feront

connaître d'abord la position de l'orbite (3), et l'on connaîtra aussi en même temps la valeur du paramètre wau moyen de l'équation

lu.

13. Connaissant a et /B, on connaîtra, si l'on veut, la distance 8 de la comète à la Terre, ainsi que les coordonnées x, y, z du lieu de la co-

mète dans son orbite, pour chacune des six observations, au moyen des formules du n° 4; on connaîtra donc aussi le rayon vecteur de la comète,

que je désignerai par v, et qui est = \Jx'2 +j" -+- z'2 .

Or l'équation d'une section conique quelconque rapportée au foyer est

ro — c = [j.x -+- vy,

d-ans laquelle ra est le demi-paramètre, et jx, v sont deux constantes telles que, si l'on nomme s l'excentricité et w l'anomalie qui répond au nœud ascendant, c'est-à-dire la distance du nœud au périhélie de l'orbite, on a

/ sinysinwX

u.= g cosy coswH ■ »

' \ ' COSV) /

/ . * cosy si n « v = z siny cosw

\ COS

Je ne donne point la démonstration de ces formules, parce qu'elle me mènerait trop loin, et qu'il n'est pas d'ailleurs difficile de la trouver, d'après les propriétés connues des sections coniques.

Substituant donc dans l'équation zs — v= p.x -+■ vy les valeurs de x, y et v, qui répondent à deux observations quelconques, comme à la première et à la dernière, pour les prendre le plus éloignées qu'il est possible, on aura deux équations, au moyen desquelles on déterminera sur-le-champ les valeurs de \x et de v, puisque celle de vs est déjà connue.

Ayant les valeurs de \j. et de v, on connaîtra l'angle w par l'équation

cosy cosTj + siny tangw \j.

siny cos y; — cosy tangw v

et l'excentricité £ par l'équation

v'séc'yî — tang2-/] cos'w les angles yj et y étant connus par le moyen des quantités a et /S (3).