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<#2 I — n V /wë" w'6

tirant de là la valeur de rfif, puis intégrant par la méthode des quadratures, on aura les valeurs de t correspondantes à» celles de 6, et réciproquement. L'une des deux dernières équations (9) fera connaître ensuite les valeurs de r ou y'\ mais il vaudra mieux les déduire de l'équation (3), laquelle devient

dy ,<•/)' pfdr dy'\ f * . , dr'

dl dt k2 V/* r/f /J0 ' nfe

après qu'on y a mis pour s sa valeur : en intégrant, on aura donc

my + m'y' -t- £ (j — 7') / Xrfx -+- y.y' = pan- p / Xoir,

pour déterminer r ou j> ' au moyen de 9 ou — / '.

7. Voici maintenant comment on peut rectifier la formule (8).

■le conserve, pour abréger, u à la place de sa valeur; je désigne par w une nouvelle inconnue, du même ordre de grandeur que u. et je fais

En substituant cette valeur dans l'équation (7), je néglige -j- et — — dans son second

membre, où ces quantités se trouveraient divisées par /, qui est toujours très-grand; par la

même raison, je néglige aussi -r-\ mais il faudra conserver -,-j-> parce que la dill'érentia-

tion relative à / donne à cette quantité un facteur très-grand, qui fait disparaître le diviseur k. Kn observant d'ailleurs que la valeur de z satisfait déjà à l'équation (7), abstraction faite des termes dépendants de w, on trouve

d3tù J) fy— y'\n+< rP r„ dx2 ~ nk \ a. ) df

Au lieu de t si l'on prend une autre variable indépendante, il faudra remplacer -7-5- par

d7 '•> 1 dhtd.dt"

di- -i df

et, si cette autre variable est G, il suffira, au degré d'approximation ou nous nous arrêtons, de prendre pour df sa valeur donnée par l'équation (6). On en déduit

[\ — n)mm'arn r/ô2

' = 1 r.e k[//i-h ni) 9'-"— a1-"'

, . , (1— nYmm'ar" ')-" d')3

a. al- = —

ce <|ui change l'équation précédente en celle-ci

d 2 w 2 u. ( /;/ H- ni ) 0"+ ' / 9'-» - a1 - " ,-/ ' w rfo

c/.i2 nmrri a.* \ 1 — n dfJ- ' - dO

La valeur de w qui s'en déduira devra en outre s'évanouir pour x — u et x ■/., puisque alors z doit coïncider avec y et j'; or on remplit cette condition et l'on satisfait à cette équation en prenant

V^ irex

w = > 7, y, Sin ;

1 étant un nombre entier et positif, y, une constante indéterminée qui pourra dépendre de i, y, une fonction de 0 et i déterminée par l'équation

el la caractéristique N désignant une somme relative à i, qui s'étendra depuis i 1 jusqu'à

' « . A cause du coefficient indéterminé y,, on pourra supposer que y, se réduit à l'unité

quand 9= %\ d'ailleurs, à l'origine du mouvement, pour que -7- soit zéro, il faudra que —

le Boit aussi; on déterminera donc les deux constantes arbitraires qui seront contenues dans l'intégrale complète de l'équation (n), de sorte qu'on ait simultanément

T' dh

(Je celte manière yà sera une fonction entièrement déterminée de i et 9, et il ne restera plus (]u'à trouver l'expression de qt.

Or, la condition z = x, quand f = oouô= se, exige que la quantité u ■+• m soit alors égale à zéro; d'où l'on conclut

V^ . inx u(y.— x)-rf.T-hv. x — m\ 12 7 7;Sin = î-1^ t— - — H" - — )1

v ' jLi '' a. bna.' \ m m J

équation qui devra subsister pour toutes les valeurs de x, depuis x = o jusqu'à x = a, en y comprenant les deux extrêmes; mais, d'après une formule connue et due à Lagrange, on a pour toutes ces valeurs

/(*)'=~2 / (sin~sT sin^-)/(x')'/x':

i étant un nombre entier et positif auquel répond la somme N qui s'étend depuis i = i jusqu'à

i = oo , comme précédemment, et f[x) désignant une fonction quelconque de x, pourvu qu'elle s'évanouisse aux deux limites x = o et x = x. On peut donc prendre successivement

et, comme on a

il en résultera

/ (a2 — x ') x sin t/x = — — — cos t r. .

Jo K ' ~

'"/ i r i , , . iiri' , , 6 a1

(a — r ) (jt — 2 a ) x sin «x = — - 1

, , ,, V"1 a3 . . iirx x[ct' — .r2 ) = — 1 2 > 77^7 cos < 7T sin 7

1 a \ V "' ■ ,!TJ'

X[X — X) [X — 2a) = — I2> Tj — ; sin )

valeurs que je substitue dans l'équation (12), et d'où je conclus, par la comparaison des termes semblables dans les deux membres,

2 «a /cOS/t: i \

1 rm 1 \ ni m j

Il résulte de cette analyse qu'en faisant, pour abréger,

[y— Y') ix — <x-)xfx-+-u. .r — 2a\ 2a y^/cosirr 1 \ «p. . iitx

jj \j j i\ > , , y , | t± gin j

6«aJ \ m m J nr. j*** ni ni j 1 a

a valeur rectifiée de z qu'il s'agissait d'obtenir sera

On la substituera dans les équations (3) et (4), et l'on négligera les termes dépendants du carré de y.. Si l'on représente toujours par / la longueur de la pièce, par V et V les vitesses

du boulet et du canon qui répondent à x = /, et par -l> la valeur correspondante du -r— j on

aura de cette manière

(iH-f--ifi)V-f- (/«'-h if) V' = o,

(wH ip) y + (,«' + ip)V" + |\T= 22^*^iy" , + (,„) (;) ""^]-

En éliminant V entre ces deux équations, on en déduira ensuite une valeur de la vitesse V du boulet à la bouche du canon, qui sera d'autant plus approchée que le poids de la charge aura été plus petit par rapport à celui du projectile.

Toute la question se trouve ainsi réduite à la détermination de la quantité ft en fonction de / et S, laquelle dépend de l'équation (n), qui ne peut s'intégrer que par les méthodes d'approximation.