UNE ANALYSE COMPLÈTE DE CES TRIANGLES

'Journal de V École Polytechnique, VF Cahier, t. II, thermidor, an VIL)

On sait que, dans les triangles rectilignes, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés, et l'on démontre facilement que ce rapport constant des cotés aux sinus est égal au diamètre du cercle circonscrit.

On peut aussi exprimer ce môme rapport par le moyen de l'aire du triangle, et il est facile de prouver qu'il est égal au produit des trois côtés, divisé par le double de l'aire.

1. Mais, si l'on voulait exprimer ce rapport par les seuls côtés du triangle, il n'y aurait qu'à considérer qu'en nommant ci, b, c les trois côtés, et A, 13, 0 les angles qui leur sont opposés, on a, par le théorème

connu,

a = b' -+- C7 — 2 bc cos A ;

donc

cos A = -. »

2 bc

et de là

J&b'c' — (é'+c» — d'Y s i ri A = -î— ^ ,

?. bc

Donc, si l'on fait, pour abréger,

on aura

<7 , « 2 aie

sinA— — 7-; donc — — - = - — r— ; 2 bc sin A d

c'est le rapport cherché.

Si l'on nomme r le rayon du cercle circonscrit au triangle, et 5 la surface ou l'aire du même triangle, on aura

donc

2. En développant le carré de bl -+- c- — a-, et réduisant, on a

sin A

abc

d = sjid2b2 -+- 2.a2c2 -+- 2 62c2 — a' — /•>* — c' ,

formule où l'on voit que les trois côtés a, b, c entrent également, comme cela doit être.

Mais on peut mettre celle formule sous une forme plus simple, et plus commode pour le calcul logarithmique, en la décomposant en facteurs. En effet, on a

4&2c2 — [b2-hc2 — a2)2-- [ibe + b2 + c2 — a2) (26c— b2 — c2 -h a1) =z[[b -h c)2 - a2][a2 - [b - c)2];

et, décomposant encore chacun de ces facteurs en deux, on aura

Ces formules sont connues, et je ne les rapporte ici que pour servir comme d'introduction aux recherches suivantes.

3. Puisque dans les triangles sphériques les sinus des côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés à ces côtés, on peut être

curieux de connaître ce rapport constant et de voir s'il dépend aussi, comme dans les triangles rectilignes, du rayon du cercle circonscrit ou

de l'aire du triangle.

Désignons de même par a, b, c les trois côtés d'un triangle sphérique, et par A, B, C les trois angles opposés a ces côtés; on aura, par le théorème connu,

donc

et de là

cosa = cosft cosc -4- sin 6 sine cosA;

cosa — cos/> eos<?

cosA == : — ; — : )

sino sine

v/sin'/> sin'e — (cosa — cosb cosc)2 sinA =

sin 6 sine Faisons, pour abréger,

on aura

donc

f= ysin'ôsin'c — (cosa — cos6 cosc)2;

sin A = — — f—, — :

sino sine

sin a sin a sin A sine

sin A ~ f

expression du rapport cherché, analogue à celle qu'on a trouvée poulies triangles rectilignes (1).

Comme la quantité /est exprimée par un radical carré et peut, par conséquent, avoir le signe plus et moins, nous remarquerons que, relativement aux triangles sphériques, elle doit toujours être prise positivement, parce que, les côtés et les angles de tout triangle étant toujours moindres que deux droits, leurs sinus sont nécessairement toujours positifs.

k. La quantité radicale / est aussi susceptible de réductions analogues à celles du n° 2.

(lar en substituant pour s'm-b et sin2c leurs valeurs en cosinus i — cos2&, i — eos2c, et réduisant, on aura

f= \J l — COSaa — COSJfr — COS3f -+- 2C0S« cos& cosc,

où l'on voit que les trois côtés a, b, c entrent également.

On peut de même résoudre la quantité sous le signe en facteurs. Eu effet, on aura d'abord

sin:Z> sin'r — (cosa — cosfc cosc)J = (sin 6 sine + cosa — cos6cosc) ( sin 6 sine — cosa -+- cos/; cosc) = [cosa — cos(6 -i- c)] [cos(6 — c) — cosa].

Or on a en général

cosa — cosa — 2sin — — sin — — ;

donc, décomposant ainsi les deux fadeurs, on aura

b -h c . a — b -h c . a -h b — c . sin sm sin

expression très-commode pour le calcul logarithmique.

5. Cherchons maintenant le rayon du cercle circonscrit au triangle sphérique. Il est évident que ce cercle ne peut être qu'un petit cercle de la sphère, et qu'il sera aussi circonscrit au triangle rectiligne formé par les trois cordes des arcs a, b, c. Or, ces cordes étant exprimées par

2 sin -5 2 sin-, 2 sin-» il n'v aura qu'à les substituer au lieu de a.

b, c dans l'expression du rayon r (2), c'est-à-dire, dans — r—

Nommons R le rayon de ce cercle circonscrit, et h ce que devient la quantité </par les substitutions dont il s'agit; on aura

osin- sm - sin-

AUX TRIANGLES SPIIÉRIQUES. 335

Or on a

,, , / . a . b r- , / . a . c\2 / . b . c\J h7= 3s>. sin- sin- -4- 32 sin - sin - -4- 32 sin - sin -

— i6( sin — ) — i6 (sin — ] — i6( sin —

et, substituant pour a (sin-) > 2 (sin-) s 2 (sin-) leurs valeurs 1 — eosa, 1 — cos&, 1 — cosc, on aura, après les réductions,

h2= 12 — 8cosa — 8cos6 — 8cosc -4- 8 cosa cos6 -4- Scosa cosc -+- 8cos6 cosc — 4cos2a — 4cos2^ — ^cos2c,

expression qu'on peut réduire a celle-ci

4/?-4-8(i — cosa) (1 — cos6) (1 — cosc),

c'est-à-dire à

4/2 -4- 64 ( sin - sin - sin - ) ,

en substituant la valeur de/ du n° 4. Ainsi l'on aura

4sin - sin - sin - R

\/f2 -+- 16 (sin- sin- sin-

6. Maintenant, si l'on considère le rayon de la sphère qui passe par le centre du petit cercle circonscrit, il est visible que ce rayon sera perpendiculaire au plan de ce cercle, et qu'il aboutira au point de la surface qui sera le pôle du même cercle. Donc, en nommant <p l'arc qui mesure la distance du pôle à la circonférence du même cercle, on aura évidemment R = sin f, donc

4 sm - sin sin -

sin<p

y//«+(4tln£sIiiisln£y

d'où l'on tire

coscp

Sjf + (4

. a . b . c sin- sin - sin -

et de

i la

, . a . b . c Asm- sin - sin-

tangcp = j •

Donc, puisque sina = 2sin - cos -■> et ainsi des autres sinus, on

aura (3)

sina abc

— — r = 2 tango cos- cos- cos-' sin A ' 2 2 2

7. Si l'on voulait avoir l'aire du triangle rectiligne inscrit dans le

petit cercle dont il s'agit, et formé par les cordes des arcs a, b, c, en

nommant S cette surface, il n'y aurait qu'à changer dans la formule

abc , 0 . c t, , , . a . b . c

s = -y— du n ° 1, s en S, r en K et a, b, c en 2 sin -■, 1 sin -> 2 sin -, ce

qui donnerait sur-le-champ

. a . b . c 2sin - sin - sin -

ou bien, à cause de R = sin<p (6),

2sin- sin- sin-

sincp

Si maintenant on considère la pyramide triangulaire qui a ce triangle pour base, et dont le sommet est au centre de la sphère, il est visible que la hauteur de cette pyramide sera cos 9; donc sa solidité sera

?; ou bien, mettant pour S la valeur qu'on vient de trouver,

. a . b . c 2 sin - sin- sin -

3 tango»

et, substituant de plus la valeur de tango trouvée plus haut (6), on

f aura ^ pour la valeur de la solidité de la pyramide.

8. Il nous reste a considérer l'aire même du triangle sphérique formé par les arcs a, b, c.

On connaît le beau théorème suivant lequel l'aire d'un triangle sphérique est à la surface entière de la sphère, comme l'excès des trois angles du triangle sur deux droits à huit angles droits. On l'attribue communément à Albert Girard, qui l'énonce en effet dans l'Ouvrage intitulé Invention nouvelle en Algèbre, et imprimé à Amsterdam en 1629; niais, comme la preuve qu'il en donne n'est point rigoureuse et qu'elle ne peut pas même être regardée comme une induction, on devrait plutôt attribuer ce théorème à Cavalieri, qui l'a donné dans le Direclorium générale uranometricum, imprimé à Bologne en i632, avec la belle démonstration rapportée par Wallis, et insérée depuis dans la plupart des Trigonométries.

Nommons 2 l'excès des trois angles du triangle sur deux droits; on

aura, en retenant les dénominations employées jusqu'ici, et nommant D

l'angle droit,

2 = A-rBh-C-2D.

Ainsi l'aire du triangle, dont les côtés sont a, b, c et les angles opposés

A, B, C, sera la partie tttt de la surface entière de la sphère; et, si l'on

regarde celte surface comme égale à 8D, on pourra alors prendre 2 pour la valeur de l'aire même du triangle.

9. Si l'on imagine que les côtés b et c qui comprennent l'angle A soient prolongés jusqu'au quart du cercle, les angles B et C deviendront droits, et le côté a deviendra égal à l'angle opposé A; alors l'aire de triangle rectangle isoscèle deviendra A ; donc, si l'on en retranche le premier triangle dont les côtés autour de l'angle A sont b et c, on aura le quadrilatère sphérique dont la base sera A, et dont les côtés perpendi-

culaires à cette base seront D — b et D — c; et l'aire de ce quadrilatère

sera exprimée simplement par B -h C — 2D.

Mais, par les analogies connues de Neper, on a dans tout triangle sphérique cette équation, que nous démontrerons plus bas,

cos

tang — - = ; col -

Donc, si l'on désigne par a l'aire ou la surface du quadrilatère dont il

s'agit, on aura

lang- =;cot —

tang-^-

donc

cos

et, si l'on désigne par |3 et 7 les deux côtés du quadrilatère perpendiculaires à la base A, en sorte que |3 = D — b et 7 = D — c, on aura, pour la détermination de l'aire a, la formule

sin '-

lang- = -r tang — •

cos-

Cette formule répond à la formule connue a — - — -A pour les quadrilatères rectilignes dont A est la base, /3, 7 les deux côtés verticaux, et a l'aire; et, comme celle-ci est du plus grand usage pour mesurer les surfaces planes terminées par des lignes droites, la formule que nous venons de donner sera également utile pour mesurer les surfaces sphériques terminées par des arcs de grands cercles. Ainsi elle peut être employée avec beaucoup d'avantage pour déterminer l'étendue d'un pays, lorsqu'on connaît les latitudes et les différences de longitude de

plusieurs points placés à la circonférence; car, en liant ces points par des arcs de grands cercles, on aura un polygone sphérique, dont on trouvera facilement l'aire en le décomposant en quadrilatères formés par les cercles de latitude et par les arcs de l'équateur interceptés entre ces cercles.

10. Mais, si l'on voulait avoir la valeur de l'aire I par les trois côtés a, b, c du triangle sphérique, il n'y aurait qu'à considérer que, puisque 2 = A-f-B+C— 2D, on aura

2 A-B + C tang-4-tang— -

cot-, -tang- — — n|m].

1 — tang — tang

Si l'on substitue, au lieu de tang -■> sa valeur trouvée ci-dessus

numéro précédent), on aura

v tang — cos h cot — cos —

cot - -- 7 ,

cos — cos ■

formule qui se transforme facilement en celle-ci

b c . b . c „ cos - cos — h sin - sin- cos A

COt - = —t— — •