Au reste, puisque nous avons trouvé s'inasmû =f, on aura

sinô= -J—\ sina

ainsi l'on peut déterminer par cette formule la perpendiculaire ô dans tout triangle sphérique dont a est la base, et b, c les deux côtés.

13. Je n'ai résolu les Problèmes précédents que pour avoir occasion de montrer l'origine et l'usage de quelques formules remarquables, et surtout de la fonction que j'ai désignée par/, et qui mérite particulièrement l'attention des analystes par ses différentes applications. Je vais passer maintenant à des considérations générales sur la Trigonométrie sphérique envisagée analvliquement.

Les résolutions analytiques des triangles spliériques n'ont été d'abord que de simples applications de l'Algèbre aux constructions géométriques. On s'est contenté ensuite d'établir par la Géométrie quelques propositions fondamentales, et l'on a tiré toutes les formules de la Trigonométrie sphérique des équations données par ces propositions. Ce qu'il y a de plus élégant dans ce genre est le Mémoire d'Euler intitule : Trigonomelriasp/ini'ica universa ex primis jnincipiis derivata, et imprimé dans les Actes de Pétersbourg pour l'année r 779, dans lequel on trouve

un système complet de formules trigonométriques, fondé uniquement sur trois équations. Mais ne pourrait-on pas simplifier encore ce système, en le réduisant à une seule équation fondamentale?

Cette réduction servirait à perfectionner la théorie analytique des triangles sphériques; car, dans l'Analyse, la perfection consiste à n'employer que le moindre nombre possible de principes, et à faire sortir de ces principes toutes les vérités qu'ils peuvent renfermer, par la seule force de l'Analyse; dans la méthode synthétique des lignes, elle consiste au contraire à démontrer isolément chaque proposition, de la manière la plus simple, à l'aide des propositions déjà démontrées.

Feu de Gua avait déjà eu l'idée de faire dépendre toute la Trigonométrie sphérique d'une seule propriété générale des triangles sphériques; mais le Mémoire qu'il a donné sur ce sujet dans le volume de l'Académie des Sciences de 1783 contient des calculs si compliqués, qu'ils paraissent plus propres à montrer les inconvénients de sa méthode qu'à la faire adopter.

Je me propose ici le même objet, et je vais présenter un tableau succinct de toutes les formules de la Trigonométrie sphérique, en les déduisant, par de simples transformations, d'une seule équation donnée par la nature des triangles sphériques.

14. Nous partirons, comme l'a fait de Gua, de l'équation (3) cosa = cosb cosc -+- sinb sine cos A,

dans laquelle a, b, c sont les trois côtés ou arcs du triangle, et A est l'angle opposé au côté a.

Cette équation se démontre facilement par la seule considération des deux triangles rectilignes formés, l'un par les deux tangentes des arcs b et c, et par la droite qui joint les extrémités de ces tangentes, et l'autre par cette même droite et par les deux sécantes des mêmes arcs; car il est évident que les deux tangentes forment entre elles l'angle A compris entre les arcs b et c, et que les deux sécantes forment entre elles l'angle a qui est le côté du triangle sphérique opposé à l'angle A.

Ainsi, nommant h le côté commun à ces deux triangles, on aura surle-champ, par le théorème connu sur les triangles rectilignes, l'équation

h1 — tang26 4- lang'r; — atang6 tangc cos A

pour le premier triangle, et l'équation

h2 = sêc2b -4- séc'c — 2séc6sécccosa

pour le second triangle.

De là on tire

lang-b + tang2c — 2tang6 tangc cosA = séc7b + séc2c — 2séc6 sécc cos«.

Or on a évidemmentséc2^ — tang26= i , etde même séc2c — tang2c= i; donc l'équation deviendra

séc&sécccosa = i + tango tangecos A;

substituant pour sëcb, sécc, tang/y, tanarc leurs valeurs r, -,

r " ° cosb cosc

— T, > et multipliant par cosècosc, on aura l'équation fonda -

coso COSf ' * '

mentale

(A) cosa = cosô cosc -+- s'mb sine cosA.

Comme, par l'hypothèse, il n'y a entre les quatre quantités a, b, c, A, d'autre condition si ce n'est que a, b, c soient les trois côtés du triangle, et A l'angle opposé au côté a, il s'ensuit qu'en nommant B et C les angles opposés aux côtés b et c, on aura des équations semblables relativement à ces angles, en changeant seulement A en B ou en C, pourvu qu'on change en même temps a en b ou en c.

15. Maintenant, si l'on tire de l'équation précédente la valeur de

cosA, et qu'on en forme celle de sinA, on aura, comme on l'a déjà

trouvé dans le n° 3,

sina sina sin&sine sinA f

OÙ la quantité/est une fonction de a, b, c, dans laquelle ces trots quan-

tités entrent également, de sorte qu'elle demeure la même, en faisanl entre elles telle permutation qu'on voudra.

Ainsi, en changeant a en b et A en B, le second membre de l'équation ne changera pas, et l'on aura par conséquent l'équation

,„, sin a sin 6

sinA sinB

C'est ce qu'on appelle l'analogie commune des sinus; et il est visible qu'en changeant a en c et A en C, on aura de même

sino sine

sinA sinL