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de suite. Or la fonction dérivée de ^ est ^ — — t^tJ Jonc on aura

comme on l'a trouvé par la seconde équation. Et ainsi de suite.

Par ces substitutions on dépouille, pour ainsi dire, les fonctions dérivées de ce qui dépend de la variable à laquelle elles se rapportaient originairement, et on les généralise de manière qu'elles peuvent se rapporter également à toute autre variable.

Or ce qui déterminait les fonctions dérivées déjà se rapporter à la variable x, c'était qu'elles résultaient de l'accroissement i attribué à cette variable; au lieu qu'en rapportant ces fonctions à une autre variable dont X est censée fonction, l'accroissement de x devient alors ox H — x" -\- .. ., o étant l'accroissement de la nouvelle variable. Ainsi,

comme le cas particulier où l'accroissement de x est simplement i résulte de l'expression générale de l'accroissement de x, en y faisant 0"'= I, il s'ensuit que x' ■=\ est la condition qui détermine les fonctions dérivées à se rapporter à la variable x, et qu'en général pour les rapporter à toute autre variable il n'y aura qu'à supposer égale à l'unité la fonction prime de cette variable.

Il résulte de là cette conclusion générale que, si Une formule contient les fonctions dérivées y' , y\ ... , relatives à une variable x, et qu'on veuille les rapporter à une autre variable quelconque, il faudra changer

/ en ^,

V pn

V en

If

f" 3y"x" , ( ^ 3^2 x' ~ x' ~ Ic^i x''" ^ XIHF' x^

DES FONCTIONS, Co

et ainsi de suite. Si l est la nouvelle variable à laquelle on veut rapporter les fonctions dérivées, cette variable étant une fonction quelconque de X etj>', il n'y aura qu'à faire t' =^ \ , et par conséquent r = o, /"' = o, ..., équations par lesquelles on déterminera les valeurs de a?', x", . . ., ou de y, y", ....

Ce principe est général et doit s'appliquer a toutes les fonctions dérivées qui se rapportent à une même variable. Il est d'un grand usage dans le calcul des fonctions, et constitue un des principes fondamentaux de l'algorithme de ce calcul.

Le cas le plus simple est celui où, y étant supposé fonction de x, et ses fonctions dérivées y', y", . . . étant rapportées à x, on veut au contraire regarder x comme fonction de y, et rapporter à y les fonctions dérivées x' , x", On fera dans ce cas les substitutions indiquées cidessus, et l'on supposera

On substituera donc — à la place de j', 77 ^ la place de y" , et ainsi

des autres.

Ainsi, ayant trouvé dans la Leçon IV que j = a'' donne, relativemenl

y' ^= a^ la^= y la,

on pourra avoir immédiatement la valeur de x' relativement à y, en substituant simplement -^ à la place dej', ce qui donnera

y la

Comme x est le logarithme de y pour la base a, on a par là la fonction dérivée du logarithme.

De même, en supposant

r z=i sin X,

on a vu dans la Leçon V que l'on a, relativement à x,

donc, pour avoir réciproquement la fonction dérivée x' de l'angle paf X. 0

le sinus y, il n'y aura qu'à substituer — à la place de y', ce qui donnera

Si l'on fait

j ^ cos^,

on a

donc, on obtiendra de la même manière

sm,v ^i — Y-

Ces résultats s'accordent avec ceux qu'on a trouvés dans les endroits cités d'une manière directe, mais plus longue. Enfin ayant vu, dans la Leçon VI, que

/=: langer donne /' =

cos2^

si l'on veut avoir la fonction dérivée de l'arc par la tangente, on aura

sur-le-champ

a: =1 COS^^ = —- =; •

i + tang-'^ 1+/ En général, puisque

y=:laneo donne y'^= „ >

on aura réciproquement

/>' = /' cos-p,

p étant une fonction quelconque de x.

Si maintenant on veut regarder p comme fonction de y et rapporteila fonction dérivée/;' à la variable y, on fera j'=: i, et l'on aura

comme ci-dessus.

La formule a?' = cos-^ est très propre pour trouver facilement les fonctions dérivées de a; des ordres supérieurs. En effet, on aura d'abord

en substituant la valeur précédente de x' . Prenant de nouveau les fonctions dérivées, on aura

x"' -i^ — ix' (cos IX cos-a; — sinaa- sin^c cosj?) = — ix' cosSj? COSO" = — 2 cos 3 X cos^ X,

et, continuant de la même manière, on aura

x''" ■=^ 2 .3j?' (sin 3^ cos' x + cos3 j:- sin,r cos^o?] r= 2.3:t''sin (\X COS^o;; =: 2.3 sin4^ cos''^,

a'' = 2.3.4^' (cos4'2^cos''a^ — sin 4^ sin^ cos'^) = 2. 3. 4.3?' cos 5^- cos'^ = 2.3.4 cos 5^.' cos^o^

et ainsi de suite.

Ayant ainsi toutes les fonctions dérivées de x relativement à y, c'està-dire, en supposant x =^f[y), si on les substitue dans la formule