LEÇON SEPTIÈME

SUR LA MANIÈRE DE RAPPORTER LES FONCTIONS DÉRIVÉES A DIFFÉRENTES VARIABLES.

Nous avons vu comment les fonctions dérivées naissent des fonctions primitives par le simple développement, lorsqu'on attribue à une variable de la fonction un accroissement indéterminé.

Ainsi toute fonction dérivée est nécessairement relative à une variable, et une fonction qui contient plusieurs quantités peut avoir différentes fonctions dérivées, suivant les quantités qu'on y considère comme variables. Lorsque ces quantités dépendent les unes des autres, il y a aussi une relation entre les fonctions dérivées qui y sont relatives, par laquelle on peut déduire les fonctions les unes des autres; cette relation étant un point important de la théorie des fonctions, nous allons nous en occuper dans cette Leçon.

En regardant j comme une simple fonction de a-, on sait que j devient

y-h iy -h —y"-\- . . ., oc devenant x~\-i. Si l'on suppose que x soit ellemême une fonction d'une autre variable quelconque /, et qu'on veuille regarder >' comme fonction de /, alors t devenant /-+-/, ou bien (pour ne pas confondre les accroissements de x et de /), t devenant t-\-o, y deviendra aussi de la forme

oy H y"

Mais pour distinguer les fonctions dérivées y', j", ..., qui dans la première formule se rapportent à x, celles de la seconde, qui se rapportent à t, nous désignerons pour un moment les premières par (y),

(y), . .., de manière que, ce devenant x -hi, y deviendra

Or X étant regardé comme fonction de t, lorsque t devient / + o.

■r devient

t '^'^ Il X -\-ox -^ x' -h . . .;

donc, si dans la formule précédente l'on met à la place de i l'accrois-

ocroissement de x, qui est ox' -\ x" -\- . .., on aura également ce que

y devient lorsque t devient ; + o. Ainsi on aura l'équation identique

d'où l'on tire, par la comparaison des termes affectés des différentes puissances de o,

^'[y')=y, ^"{y') + ^'Hy"]=y", ■■■■

La première équation donne

la seconde donnera

ir)=>'-^^^

et, substituant la valeur précédente de (/'), l'on aura

[y")^tr.-

La troisième équation donnerait la valeur de [y"), et ainsi de suite. Mais j'observe que l'on peut déduire immédiatement la valeur de (/') de celle de (/'), et successivement celle de [y'") de celle de {y"), ..., par la loi uniforme qui doit régner entre ces fonctions dérivées successives.

En effet, puisque [y] fonction dérivée de r par rapport à x est égale à ^3 c'est-à-dire à la fonction dérivée de y par rapport à t, divisée par

celle de a;; de même {y") fonclion dérivée de [y') par rapport à x sera

égale à la fonction dérivée de —, par rapport à /, divisée par x, et ainsi