LEÇON NEUVIEME

DE LA MANIERE D AVOIR LES LIMITES DU DEVELOPPEMENT D UNE FONCTION, LORSQU ON n'a ÉGARD qu'a UN NOMBRE DÉTERMINÉ DE TERMES. CAS DANS LESQUELS LES PRINCIPES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL SONT EN DÉFAUT. THÉORÈME FONDAMENTAL. LIMITES DE PLUSIEURS SÉRIES. MANIÈRE RIGOUREUSE d'iNTRODUIRE LES FONCTIONS DÉRIVÉES DANS LA THÉORIE DES COURBES ET DANS CELLE DES MOUVEMENTS VARIÉS.

Toute fonction f{x + i) se développe, ainsi qu'on l'a vu, dans la série

f[x] + if'[x) + ^/'» + ;^/"'(^) + . . . ,

laquelle va naturellement à l'infini, à moins que les fonctions dérivées de/(.r) ne deviennent nulles, ce qui a lieu lorsque /(a;) est une fonction rationnelle et entière de x.

Tant que ce développement ne sert qu'à la génération des fonctions dérivées, il est indifférent que la série aille à l'infini ou non; il l'est aussi lorsqu'on ne considère le développement que comme une simple transformation analytique de la fonction; mais, si on veut l'employer pour avoir la valeur de la fonction dans les cas particuliers, comme offrant une expression d'une forme plus simple à raison de la quantité i qui se trouve dégagée de dessous la fonction, alors, ne pouvant tenir compte que d'un certain nombre plus ou moins grand de termes, il est important d'avoir un moyen d'évaluer le reste de la série qu'on néglige, ou du moins de trouver des limites de l'erreur qu'on commet en négligeant ce reste.

La détermination de ces limites est surtout d'une grande importance

dans l'application de la Théorie des fonctions à l'Analyse des courbes et à la Mécanique, pour pouvoir donner à cette application la rigueur de l'ancienne Géométrie, comme on le voit dans la seconde Partie de la Théorie des fonctions analytiques.

Dans la solution que j'ai donnée de ce problème dans l'Ouvrage cité, j'ai commencé par chercher l'expression exacte du reste de la série, ensuite j'ai déterminé les limites de cette expression. Mais on peut trouver immédiatement ces limites d'une manière plus élémentaire, et également rigoureuse.

Nous allons, pour cela, établir ce principe général, qui peut être utile dans plusieurs occasions :

Une fonction qui est nulle lorsque la vaiiable est nulle aura nécessairement, pendant que la variable croîtra positivement, des râleurs finies et de même signe que celles de sa fonction dérivée, ou de signe opposé si la variable croît négativement, tant que les valeurs de la fonction détivée conserveront le même signe et ne deviendront pas infinies.

Ce principe est très important dans la théorie des fonctions, parce qu'il établit une relation générale entre l'état des fonctions primitives et celui des fonctions dérivées, et qu'il sert à déterminer les limites des fonctions dont on ne connaît que les dérivées.

Nous allons le démontrer d'une manière rigoureuse.

Considérons la fonction /"(a; + i), dont le développement général est

f[x) + if[x]+'^f"[a:] + ....

Nous avons vu, dans la Leçon précédente, que la forme du développement peut être différente pour des valeurs particulières de x; mais que, tant que/'(.j:') ne sera pas infinie, les deux premiers termes de ce développement seront exacts, et que les autres contiendront par conséquent des puissances de i plus hautes que la première, de manière qu'on aura

V étant une fonction de x et i, telle qu'elle devienne nulle lorsque i = o.

Donc, puisque V devient nul lorsque «devient nul, il est clair que, en faisant croître i par degrés insensibles depuis zéro, la valeur de V croîtra aussi insensiblement depuis zéro, soit en plus ou en moins, jusqu'à un certain point, après quoi elle pourra diminuer; que par conséquent on pourra toujours donner à i une valeur telle que la valeur correspondante de V, abstraction faite du signe, soit moindre qu'une quantité donnée, et que pour les valeurs moindres de / la valeur de V soit aussi moindre.

Soit D une quantité donnée qu'on pourra prendre aussi petite qu'on voudra; on pourra donc toujours donner à i une valeur assez petite pour que la valeur de V soit renfermée entre les limites D et - 1); donc, puisqu'on a

/(.rH-0-/(^)-/[/'(^) + V],

il s'ensuit que la quantité /(.r + /) —/(j:) sera renfermée entre ces

deux-ci

Comme cette conclusion a lieu quelle que soit la valeur de .r, pourvu que /'(^) ne soit pas infinie, elle subsistera aussi en mettant successivement