X -h i, X -^ o.i, ^ + 3 /, . . . , X + [ii ~ \)i
à la place de ,r; de sorte qu'on pourra toujours prendre / positif et assez petit pour que les valeurs des quantités
f[x + -ii)-f[x + i), f[x+ 3/j-/(^ + a/),
f[:r + ni)-f[xA-[n-\)i]
soient renfermées respectivement entre les limites
en prenant ponr D la même quantité dans chacune de ces limites, ce qui est permis, pourvu qu'aucune des quantités
ne soit infinie.
Donc, si toutes ces dernières quantités sont de même signe, c'està-dire, toutes positives ou toutes négatives, il est facile d'en conclure que la somme des quantités précédentes, laquelle se réduit à
aura pour limite la somme des limites, c'est-à-dire les quantités
//'( x) + if'[x + /) -f- if'[x + 2«) + . . . + if [.r + {n-i]i\±. niD.
Si donc on prend la quantité arbitraire D moindre que la somme
• /'(^) +/'(-^ + i) +/'(^ -\-ii) + ... +/'[^ + («-!)/] divisée par n, abstraction faite du signe de cette somme, la quantité ji^x -[- ni) — f[x) sera nécessairement renfermée entre zéro et la somme
ii[f'[x] + f'[x + i) + f'[x + ii) + . . .+ f'\x + [n - x]i^\
Donc, si P est la plus grande valeur positive ou négative des quantités
la quantité /(.r + ni) —f{x) sera, à plus forte raison, renfermée entre zéro et iniV.
Or, comme, en prenant « aussi petit qu'on voudra, on peut en même temps prendre n aussi grand qu'on voudra, on pourra supposer in égale à une quantité quelconque :;, positive ou négative, puisque la quantité i peut être prise positivement ou négativement.
La quantité /(.r 4- «/) —/(r) deviendra ainsi /(.r h- 3) — /(,r), et pourra représenter une fonction quelconque de z, qui s'évanouit lorsque s = o, la quantité x pouvant maintenant être regardée comme une constante arbitraire. De même, la quantité f'[.x-\-m) deviendra f\x-\-z), et représentera la fonction dérivée de la même fonction de z, puisque /'(.r + -) est également la fonction dérivée de /(.r -\- z), soit par rapport à x, soit par rapport à z.
On peut donc conclure en général que, si /'(.ic -h c) a constamment des valeurs finies et de même signe, depuis s = o, et que P soit la plus grande de ces valeurs, abstraction faite du signe, la fonction primitive dont il s'agit sera renfermée entre o et 2cP; par conséquent elle aura toujours aussi des valeurs finies, et de même signe que la fonction dérivée si z est positive, ou de signe différent si z est négative.
Dans le Calcul différentiel, la conclusion précédente est une suite immédiate et nécessaire de la manière dont ce Calcul est envisagé, et elle se présente même sans aucune limitation relativement aux valeurs infinies; mais nous allons voir qu'elle est souvent en défaut à cet égard, ce qui servira à montrer la nécessité d'une analyse plus rigoureuse que celle qui sert de base au Calcul différentiel.
En effet, si y est une fonction de :;, sa fonction dérivée, suivant la
notation de ce Calcul, sera représentée par -^-5 et y, intégrale de dy, est regardée, par les principes mêmes du Calcul, comme la somme de tous les éléments infiniment petits dy, ou -r-dz; par conséquent, si
dr y ^ o lorsque z =^ o, y sera la somme de tous les éléments -frr/z qui
répondent à tous les éléments de :;. D'où l'on est en droit de conclure
. dr •
que, si — a toujours des valeurs positives, depuis :; = o jusqu'à une
valeur quelconque positive de z, tous les éléments -p^^-- étant positifs,
la valeur de y répondant à cette valeur de z sera nécessairement positive.
(Cependant, si l'on a, par exemple,
a étant une constante quelconque positive, on aura J = o lorsque ::: ^ o, et la valeur de ■—- sera, par les règles connues de la différen-
tiation, -^- Cette valeur est constamment positive, quelle que
soit la valeur de 5; il faudrait donc que la valeur de/ fût toujours positive, ce qui n'est pas; car, en prenant z plus grand que a, y devient négative. Ainsi les principes du Calcul différentiel sont en défaut dans ce cas.
Suivant le principe (jue nous venons d'établir, la valeur de y ne
sera nécessairement positive qu'autant que la fonction dérivée -^ ne
sera pas infinie dans l'étendue de la valeur de z. Or, -~ étant égale à
--, elle devient infinie lorsque g = «. Donc les valeurs dejse-
ront nécessairement positives depuis 3 = 0 jusqu'à g = «; mais elles
pourront ne pas l'être lorscjue s>>rt, quoique les fonctions dérivées
-r soient touiours positives.
Voici maintenant comment le principe dont il s'agit s'applique à la détermination des limites du développement àe f[x + i).
Soient d'abord p et q les valeurs de x ■+- i qui rendent la fonction dérivée /'(^- + î) la plus petite et la plus grande, en regardant x comme donné, et faisant varier i depuis zéro jusqu'à une valeur quelconque donnée de /. Donc /'(/?) sera la plus petite valeur de /'{■^'-hi), eÀ f'{q) en sera la plus grande; par conséquent, /'(.r + i) —f\p) et f'{(]) —/'{■^ -t- ') seront toujours des quantités positives.
Regardant ces deux quantités comme des fonctions dérivées, rela-
tives à la variable i, leurs fonctions primitives, prises de manière qu'elles soient nulles lorsque i=^ o, seront, à cause de x, p et q supposées constantes,
f[x + i)-f[x)-if'[p) et if'[q)-f[x + i)+f[x).
Ainsi, pourvu que /'(.r H- i) ne soit jamais infinie depuis i = o jusqu'à la valeur donnée de i, ce qui aura lieu si f'{p) et f'{q) ne sont point des quantités infinies, on aura par le principe précédent, si i est positif,
f[x^i]-f[x)-if'{p)>o et f[x]-f[x + i] + if'{q]>o, d'où l'on tire
f[^ + i)>f[^) + if'[p) el f[x + i)<f[x] + if'[q].
Supposons ensuite que/; et q soient les valeurs de x -\- i qui rendent la fonction dérivée du second ordre /"(.r + i) la plus petite et la plus grande, en faisant varier i depuis zéro jusqu'à une valeur donnée; on aura /"(/;) et/"[q) pour la plus petite et la plus grande valeur de f"[x -F- i); par conséquent, f"[x 4- i) —f"[p) et f"{q) —f'\x + /) seront toujours des quantités positives.
Regardant ces quantités comme des fonctions dérivées relatives à la variable i, leurs fonctions primitives, prises de manière qu'elles soient nulles, lorsque ? = o, seront
Donc, pourvu que/"(.r4-?) ne soit jamais infinie dans toute l'étendue de i, ce qui revient à ce que /"(/j) et /"(^) ne soient point infinies, ces deux quantités seront, par le même principe, toujours positives et finies, i étant supposé positif; et en les regardant comme des fonctions dérivées relatives à /, leurs fonctions primitives, prises de manière qu'elles soient nulles lorsque /— o, seront, à cause de x.
l> et q supposées constantes,
f[a: + i)-f[x)-if'[x]-'-^r-yp),
Ces nouvelles quantités seront donc aussi, par le même principe, toujours positives; on aura ainsi
f{x + /) -f[x]- if'[x] - '-^/"[p] > o, f[x) -f[x + /) + if'[x] + '-^f"[q] > o,
d'où l'on tire
f[a; + i)>f{x] + if'[x)+'^f"{p),
fl^ + i)<:f{a:) + if'{x)+'-f"{q]
Si l'on suppose, en troisième li(!U, que p et g soient les valeurs de ■i- + i qui rendent la fonction tier'ce /'"{■r + /) la plus petite et la plus grande, ? = o jusqu'à une valeur donnée de /, on aura les deux quantités depuis /'"(^ -H i) —f"'[p) et /'"{(/) — /'"(x + i) , qui seront nécessairement positives dans toute l'étendue de /. Donc, en les regardant comme des fonctions dérivées relatives à la variable i, leurs fonctions primitives, prises de manière qu'elles soient nulles lorsque i= o, seront
f"^:r+i]-f"[x)-if"'{p),
ir[q)-f"[^ + i)+f"[^);
et ces quantités seront, par le même principe, toujours positives et Unies, pourvu que/"'(.r -h i) ne soit jamais infinie dans toute l'étendue (l(^ /, c'est-à-dire, pourvu que /"'(/^) et/"'{r/) ne soient point infinies.
Donc, en regardant de nouveau ces dernières quantités comme des fonctions dérivées relatives à i, leurs fonctions primitives, prises de
manière qu'elles soient nulles lorsque « = o, seront
f'[:r+i)-r[x]~if"[x]-'^r[p),
lesquelles seront par conséquent aussi toujours positives et finies, en vertu (lu même principe.
Enfin, regardant encore ces nouvelles quantités comme des fonctions dérivées relatives à /, leurs fonctions primitives, prises de manière qu'elles soient nulles lorsque /= o, seront
f[x + i) -f[x) - if'[x] - -f"[x) - -:^f"\p].
Ces quantités seront donc encore positives par le même principe; ainsi on aura
f[x) -f[x + /) + if[x) + '^f"[x) + ^f"'[q)> o; d'où l'on tire
f[x + i) <f[x) + if'ix] + tf"[x) + ^r(</), "
et ainsi de suite.
Nous avons supposé dans ces développements i positif; si i était négatif, ou bien si l'on changeait i en — i, alors on trouverait pour premières limites de /(a; — i)
f[x~i]<Zf[^-]-if'[p],
On trouverait ensuite pour secondes limites
f[,:-i)<Cf[x]-if'{x)+'lf"[p],
et ainsi des autres.
Donc, en général, la quantité /(o^ + ?'), soit que i soit positif ou négatif, sera toujours renfermée entre ces deux-ci :
en prenant pour/; et q les valeurs de ^ + i, qui répondent à la plus petite et à la plus grande des valeurs de f^[x -+- i), dans toute l'étendue de ?', depuis t = o, pourvu que les deux quantités /i^(/?) etf^{q) ne soient pas infinies.
Au reste, il est facile de voir, par l'analyse précédente, qu'on n'est pas astreint à prendre pour /'^(/;) et/^{(j) la plus petite et la plus grande valeur ûe f^{x -+- i), mais qu'on peut prendre à leur place des valeurs quelconques plus petites que la plus petite, et plus grandes que la plus grande; ce qui peut servir, dans nombre de cas, à faciliter beaucoup la détermination des limites.
J'observerai ici, quoique cela ne soit presque pas nécessaire, que j'entends toujours par quantités plus grandes ou plus petites absolument celles qui sont plus avancées vers l'infini positif ou vers l'infini négatif; ainsi, si a > b, on aura — a <^ — b, etc.
L'analyse précédente redonne, comme l'on voit, successivement les termes du développement de /{x -+- 1); mais elle a l'avantage de ne développer cette fonction qu'autant que l'on veut, et d'offrir des limites du reste.
En effet, si dans le développement de/(.r-i- /) on veut s'arrêter au terme p^'"^, pour avoir les limites du reste du développement, il n'y a
qu'à considérer le terme suivant, qui serait de la forme
et y mettre à la place de/'^(a-) la plus grande et la plus petite valeur de /^{.T -hi), en faisant varier ?" depuis zéro, ou bien des quantités quelconques plus grandes ou plus petites que la plus grande et la plus petite valeur de /^{•r -+- i). Si ces deux valeurs, ou l'une d'entre elles, étaient infinies, il n'y aurait point alors de limites; c'est aussi le cas où le développement deviendrait fautif, parce que la valeur de f^{x -h i) serait infinie dans quelque point.
En général, on peut avoir de la même manière les limites des valeurs de toute fonction dont on ne connaîtra que la fonction dérivée d'un ordre quelconque. On examinera la marche de la fonction dérivée depuis l'origine de la variable, et, si elle ne devient jamais infinie, on y appliquera immédiatement les formules précédentes, où i est la variable, et X peut être une constante quelconque. Si, au contraire, la fonction dérivée devient infinie pour certaines valeurs de la variable, on partagera cette variable en autant de parties séparées par les termes auxquels répondent les valeurs infinies de la fonction, et l'on appliquera séparément les mêmes formules à chacune de ces parties.
Supposons, pour donner quelques exemples.
on aura et de là
et en général
ou
f{x-hi) = {x + i]"^, f[x) = x"',
f'[x) = DIX"'-',
f"[x] = m[m — i)x'"--, f"'[x)— in[m — i)(w — a);r" -3,
fv-[x] = 'Mx'"-^,
comme on l'a vu dans la Leçon II. On aura donc
où l'on voit que cette fonction ne peut jamais devenir infinie tant que r + ;■ n'est pas = o et que a n'est pas > m. On voit aussi que la plus petite et la plus grande valeur de M(.r + i)'"-^ répondent, l'une à / = o, et l'autre à i\ de sorte que les valeurs p et q seront x Qi x -{- i, ou ^ + / et T.
Donc, en général, le développement de [x -\- i)'" sera compris entre ces deux limites
X'" -+- mix"' -
mini — i) .,
•2 . 3 . . . pt
x"' -h niix'"-
m (m — il .„
2 2 . û . . . jU.
Par le moyen de ces limites, on est h couvert des difficultés qui peuvent résulter de la non-convergence de la série; car, comme un terme
quelconque «"""^ est au suivant dans le rapport de i à
pour que la série soit convergente, il laut que la quantité »
abstraction faite du signe qu'elle doit avoir, soit moindre que l'unité. Si - < I, il est clair (jue la série finira toujours par être convergente,
puisque la dernière valeur de est — i. Mais elle sera tou-
jours divergente à son extrémité, si - >■ i , quoiqu'elle puisse être convergente dans ses premiers termes. Ainsi elle ne pourra alors être employée avec sûreté, quelque loin qu'elle soit portée, qu'en ayant égard aux limites que vous venons de donner. Supposons, en second lieu,
on aura
et de là
f'[x]^a-la, f"[x) = a-'[laY-, f'"[x) = a^[laY, ....
Donc, en général,
fv-[x -\-i) — a-''+'[la)\>-,
OÙ l'on voit que la plus petite et la plus grande valeur répondent aussi à i = o et à /. Ainsi on aura, en faisant ^ = o,
I + ila + ~(laY -V -^AlaY + ...^ 5^^^ (/a)^
2^ 2.3 2.3. ..fA
i + ila + -[laY+ Aï(/«)3 + ...H :^ [laYa',
pour les limites de la valeur de «', où l'on pourra prendre dans le dernier terme, au lieu de a', une quantité quelconque plus grande. Soit, en troisième lieu, ,
f{x-hi) = l{x-hi); on aura
f[x) = lx, /'(^)=^. /"(^) = -^, f'"[x)=^, ...;
îA-- tAj %Aj
le signe supérieur étant pour le cas de fx impair, et l'inférieur pour le cas de \j. pair.
Il est clair que, pourvu que x -\- i ne soit pas égal à zéro, la quantité/"^(.r -i- «) ne sera jamais infinie, et que sa plus grande valeur et sa plus petite, relativement à i, répondront à « = o et à i.
On aura donc, par la formule générale, ces deux limites, pour la valeur de l{x + i),
Ix-i i + T-7 -•••± — r:'
X 2X^ OX-* [JLX^
i i- «■■' , iv-
Ix -\
X rtx'^ ix^ '"' [j.[x -\- i]V- X. i3
où l'on pourra mettre à la place de i une valeur quelconque plus grande dans le dénominateur [x + iy.
Soit, en quatrième lieu,
f[x-\- i) = sin(^ + i] ; on aura
f[x)=i?,\nx, f'[a:)=:cosx, f"{x]^ — sinx, ...;
donc, en général,
/['■[x-hi) — dzsin{x -i- i) ou =±cos(.r + /),
suivant que p, sera de l'une de ces formes, /in, 4'^-+- 2, /[n-hi, /\n -h 3, n étant un nombre entier quelconque; ce qu'on peut renfermer dans cette expression générale
fv-[x-\- i]=z sin(^ + / + [xD],
D étant l'angle droit.
Or, quelles que soient les valeurs de x et i, il est visible que la plus grande et la plus petite valeur de/^{x -+- i) seront i et — i; ainsi on aura, pour le développement de &ïn{x -h i), ces limites
smiz; ■+- 1 cosx sm^ r: cos^
Si l'on fait x =^ o, on aura
