LEÇON DIXIÈME

DES EQUATIONS DERIVEES ET DE LEUR USAGE POUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS. ANALYSE DES SECTIONS ANGULAIRES.

Jusqu'à présent nous n'avons considéré les fonctions dérivées que comme servant à la formation des séries d'où elles tirent leur origine; mais ces fonctions, considérées en elles-mêmes, offrent un nouveau système d'opérations algébriques, et sont, pour ainsi dire, la clef de la transformation des fonctions.

Lorsqu'une fonction d'une variable est présentée sous deux formes différentes, en égalant ces expressions, on a ce qu'on appelle une équation identique, à cause de l'identité de la valeur, laquelle doit par conséquent avoir lieu indépendamment de la variable, c'est-à-dire, quelle que soit cette variable; ainsi elle aura lieu en attribuant à la variable un accroissement quelconque i.

Soit

une pareille équation identique; on aura donc aussi

f[x + i) — o, savoir, en développant.

f[x] + if'[x)+'-f"[x

quel que soit /; donc on aura séparément

d'où il suit que l'on aura la même équation en prenant les fonctions dérivées d'un ordre quelconque.

Supposons maintenant une équation comme

entre deux variables x et y, par laquelle l'une y doive être fonction de œ. Il est évident qu'en regardant y comme une fonction de x, déterminée par cette équation, l'équation

sera identique et aura lieu indépendamment de x; donc l'équation subsistera aussi entre les fonctions dérivées d'un ordre quelconque.

En prenant donc les fonctions dérivées premières, secondes, etc., de chaque terme, on aura autant de nouvelles équations qui auront lieu en même temps que l'équation primitive ; par conséquent, toute combinaison de ces équations aura lieu aussi à la fois.

Nous nommerons en général équations dérivées du premier ordre, du second ordre, etc., ou simplement équations primes, secondes, etc., non seulement les équations dérivées qu'on obtient en prenant les fonctions primes, secondes, etc. de tous les termes d'une équation regardée comme primitive, mais encore les équations qu'on pourra former par une combinaison quelconque de l'équation primitive et de son équation prime, ou de ces deux-ci et de l'équation seconde, etc.

Ainsi, l'équation primitive contenant a; et j, l'équation dérivée du premier ordre, ou équation prime, contiendra x, y et j'; l'équation dérivée du second ordre, ou équation seconde, contiendra x, y, y' et j"; et ainsi de suite.

Si, au lieu de regarder y comme fonction de x, on regardait au contraire X comme fonction de r, l'équation prime serait entre r, x et x' , l'équation seconde serait entre y, x, x' et x", et ainsi de suite; et, par le principe exposé dans la Leçon VII, on pourra toujours transformer un de ces systèmes d'équations dérivées dans l'autre.

Pour montrer d'abord par quelques exemples l'usage des équations

dérivées dans la transformation des fonctions, je considérerai les fonctions sin^ et cos^, dont nous avons donné les fonctions dérivées dans la Leçon V, et faisant

j'aurai d'abord par conséquent

j=sina.-, 3 = cos^, j' = cos:r, s' = — sin^,

si on multiplie la première de ces équations par \/— i , et qu'on l'ajoute à la seconde, on aura

d'où l'on tire l'équation

Or, nous avons vu dans la Leçon VI que, si 7:» est une fonction quelconque de X, ^ est la fonction dérivée de Ip; ainsi

sera l'équation primitive d'où la précédente peut être censée dérivée; la quantité k est la constante arbitraire que nous avons vue, à la fin de la même Leçon, pouvoir toujours s'ajouter à la fonction primitive d'une fonction dérivée donnée, et qui sert à lui donner toute la généralité dont elle est susceptible. 11 serait inutile d'ajouter de même une constante au premier membre de l'équation, parce qu'elle se fondrait dans l'autre par la simple transposition dans le second membre.

Mais> cette constante étant jusqu'ici arbitraire, il faut la déterminer conformément à la nature des fonctions j et z.

Pour cela, j'observe qu'en faisant ^ = o on a

sin^ = o el cos^ = i; donc y^o, z = i. Il faudra donc que l'équation que nous venons de trouver satisfasse à

ces suppositions; or elle devient dans ce cas l\^k; et, comme /i est = o, on aura /• ^ o.

L'équation sera donc simplement

et, passant de là aux exponentielles,

e étant, comme nous le supposons toujours, le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Remettant pour y et z leurs valeurs sin^ et cosx, on aura cette formule remarquable

cosjc + sin X \J— I = e'^v'-* ,

laquelle, à cause de l'ambiguïté du radical y^— i, donne également celle-ci

cos:r — sin JT v^ — i = e •^v'-ï ;

et ces deux, combinées ensemble, suffisent pour déterminer les valeurs de smx et cos.jt. On aura, en effet, après les avoir ajoutées ou retranchées,

f>x\P\ ^ e—r-f^ cos:c= ■ 5

sin^ = —

Ainsi les sinus et cosinus se trouvent exprimés par des exponentielles imaginaires, ce qu'on peut regarder comme l'une des plus belles découvertes analytiques qu'on ait faites dans ce siècle.

Ces formules peuvent aussi se déduire immédiatement de la comparaison des séries qui expriment les fonctions sin^, cosa? et e^, et que nous avons trouvées plus haut (Leçons IV et VI). C'est de cette manière qu'Euler les a données dans le Tome VU des Miscellanea Berolinensia; mais, dans son Introdiictiu, il les déduit des expressions algébriques des sinus et cosinus des angles multiples, par une réduction ingénieuse, mais dépendante de la considération des quantités infinies

et infiniment petites, et que nous avons tâché de rendre rigoureuse dans la Théorie des Fonctions (n"" 22 et 25).

Comme ces mêmes séries avaient été données par Newton dans son Commerce avec Oldenburg, et étaient ainsi connues avant la fin du siècle dernier, on aurait pu dès lors parvenir aux formules dont nous parlons, et donner par là à la théorie des sections angulaires la perfection qu'elle n'a acquise que cinquante ans après par les Ouvrages d'Euler.

L'expression des arcs en logarithmes imaginaires remonte, à la vérité, au commencement de ce siècle, et c'est une des plus belles découvertes de Jean BernouUi, qui l'a donnée en peu de mots dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1702. Il y était parvenu en intégrant par logarithmes l'élément de l'arc exprimé par la tangente, comme Leibnitz avait trouvé la série qui exprime l'arc par la tangente, en intégrant le même élément par série.

Cette découverte conduisait aussi naturellement aux mêmes formules exponentielles; mais elle est restée longtemps stérile, et ce n'est que lorsque ces formules ont été connues par d'autres voies, qu'on a vu qu'on pouvait les tirer immédiatement de l'intégration.

L'équation

où le radical \j— i peut avoir également le signe -h et —, donne toute la théorie du calcul des angles. Car, en multipliant cette équation par

l'équation semblable

COSJ-+ sinj\/— 1 = erV-', on a

(cos^i' + sin^v/— i)(cosj + sinjy/— i) = ef'^^+r'v/-'.

Mais, en mettant dans la même équation a; -h y à la place do x, on

a aussi

cos(jr -\-x) + sin(.r +j)y/^ = e(-';+r)V^.

Donc, en comparant et développant le produit, on a

CCS :c ces/ — sin :r sin j -1- ( CCS 07 sin r -+- CCS j sin ;r ) y/— I

= cos(^ H-jr) -f- ?\x\[x ^y]sj— I ;

DES FONCTIONS. lli

et, comme cette équation doit avoir lieu pour les deux signes de V— i , il s'ensuit qu'on aura séparément

CCS X CCS j — sin x sin r ■= ces ( x + y] , CCS X sin j + sin ^ cos j = sin ( x + j) ,

formules qu'on démontre par la Géométrie, et qui sont le fondement de toute la théorie des angles.

La même équation, en élevant les deux membres à une puissance quelconque m, donne

Donc aussi, en mettant dans l'équation primitive mx à la place de x et comparant, on a

(cos^ + sin:r ^ — i)'"^ cosinx -\- s'xnmx \J — i,

formule remarquable autant par sa simplicité et son élégance que par sa généralité et sa fécondité.

Il paraît que Moivre est le premier qui ait trouvé cette belle formule; on voit, par les Miscellanea analytica, qu'il y a été conduit par la considération des sections hyperboliques comparées aux sections circulaires. Maintenant elle est devenue une vérité élémentaire, qu'on démontre par le moyen des valeurs de sin(.r + y) et cos(^ + y) que donne la Géométrie, en considérant le produit des formules semblables

cosx -I- sin^ V^— I et cosj)^ + sin j- \/ — i,

lequel se réduit à cette formule semblable

cos(^ + j) + sin(j: + j) v'— 1 ;

et c'est à Euler qu'on doit d'avoir transporté ainsi dans les Éléments une formule d'une si grande utilité.

Il est vrai que de cette manière on ne peut la démontrer que pour des valeurs rationnelles de m\ mais il en est ici comme dans la formule du

développement du binôme, et en général dans toutes les formules qui contiennent une indéterminée qui peut être un nombre quelconque rationnel; ce n'est que par la considération des fonctions dérivées qu'on en peut prouver la généralité pour une valeur quelconque de la même quantité.

En prenant, dans la formule que nous venons de trouver, le radical

\/— i en plus ou en moins, on a ces deux-ci

cosmx -+- s'mmx \J— i = (cosx + sin^\/— ')'"> cosmx — s'minx \j'— i =;(cos.r — sin^ v^— i)'",

d'où l'on tire aisément

cos:p -4- sinr v/— i)"' + (cos^ — sinx v^— i)'"

cosmx =

(cosji- + sinx J— i)'" — (cos^ — sin^v^ — i) sm m X = — : r •

Si l'on développe les puissances m'*'™^' par la formule du binôme, les imaginaires disparaissent, et l'on a ces expressions en série

fn{m — i) cosm;c=: cos'":r ^^ ^ cos'"~-^ sin- x

cos'"~^a; sin''x — . . . ,

mi m — i){m — 2) „ .,

smmx = m 008"^^'.^ sm.r cos'"~^.r sm^x- + . . . .

Ces deux formules avaient été données dès 1701, par Jean Bernoulli, dans les Actes de Leipzig, mais sans démonstration, et on voit, ]xir la Lettre 129 du Cormnerciiim epistolicum, et par le Traité des Sections coniques de l'Hospital, qu'ils les avaient trouvées en cherchant successivement, pai' les théorèmes connus, les valeurs des sinus et cosinus des angles doubles, triples, etc., et en observant l'analogie des termes de ces valeurs avec ceux du développement du binôme. En effet, si l'on fait successivement j = ^, 2x, 3x, ..., dans les

formules données ci-dessus pour sin(.T+ y) et cos(^-hj), et qu'on substitue à mesure les valeurs précédentes, on trouve

C0S2A- =: cos-^ — sin-JT, sini:); = i cos^ sin^, cosSjf = cos'x — 3 cosa" sin^ j^, sin3 X = 3 cos^^ sin^' — sin^^-,

dont l'analogie avec les termes des puissances correspondantes du binôme est manifeste.

D'après cela, il est étonnant que Jean Bernoulli n'ait pas trouvé les expressions finies de '&mmx et cosm^, et qu'il ait fallu encore vingt ans pour qu'on parvint à la formule donnée par Moivre. Ainsi Jean Bernoulli a touché deux fois à la même découverte, et il en a laissé la gloire à ses successeurs.

Les formules précédentes renferment les puissances de smx et cosa:mêlées ensemble; comme on a toujours

CCS- A- + sin-^ = I,

il est possible de faire disparaître toutes les puissances paires de sin.r ou de cosif, et d'avoir des formules qui procèdent suivant les puissances de cosx ou sinj:.

Il serait difficile de parvenir à des séries régulières par la simple substitution; mais les formules connues

1 cosx cosmjc := cos( m -f- i)x + ces [m — \)x,

2 coso; s'mmx = sin(m + i)^ + sin(m — i)x

font voir que les cosinus et sinus des multiples de x forment deux séries récurrentes dont l'échelle de relation est 2 cosa:' — i.

Ainsi, en partant des premières valeurs de cosmoc et s'mmx, lorsque /« = o et m = I , et mettant, pour plus de simplicité, p et (/ sl la place X. i5

U't LEÇONS SUR LE CALCUL

de cos^ et sin^r, on trouvera successivement

COSOOT = I,

CCS 1 X = p,

COSajC = -2^ COS^ — C0S0X=:2p^ — I, cos3a? = 2/> COSI^— COSX := 4/^^ — 3/7,

d'où résulte la Table suivante :

/ CCS IX ^ p,

\ CCS 2^ := ip- — I ,

, ^, ; cos?,x — ^p^ — 'ip,

Icos4.^ = Sp'' — 8p2 + I, cosSo; = \6p^ — îop^ -+- 5p,

et, en général,

, , , „ m(m — 3), , , m(in — i]{m ~ 5] , 2C0snix = {2p)"' — m{-îp)"'---{ ^ -[ipf'-^ ^ ^ ■ [ip)'n-^ ■

On trouvera de même

' sin I ,r = </,

sinax =. "^.pq,

sin 3^ = (4/'^ — ')?>

s\n^j[x=z[Sp^ — ^p)q,

sin 5 a; = [iQp^ — i-i-p- + Oî»

et, en général,

{■zp)"'-' — (m — i){2.p)'"-^-h [ip]'"--' — ... \q.

Ces séries procèdent suivant les puissances descendantes de p; on peut en avoir aussi qui procèdent suivant les puissances ascendantes de p ou de g; mais il faut alors distinguer les cas de m impair ou pair.

Soit i"//i impair; on aura

ces IX =: p,

cosSjt =— (3/7 — ^p^], cos5.r =j: 5p — 9.op^ -h- i6p^.

et, en général,

cosm

le signe supérieur étant pour le cas où m est de la forme 4^^ + i> et l'inférieur pour celui où m est de la forme [\n + 3. On aura de même, lorsque m est impair,

sin IX ^= q,

sin3.r = — q[i — 4/>-),

sin5x = q[i — i-ip- + i6p^),

et, en général, smma-dr^l^. ~P-+ —^ P' 3.3.4.5.6 P^

OÙ l'on observera, à l'égard des signes ambigus, la même règle que ci-dessus.

Soit 2" m pair; on aura

C0S-2X = — (1 — "ip-),

cos4.2? = ' — Sp- ■+- Sp\

cos6.r=r— (i — i8/;2 + 48/?"- 32p^),

CCS /M;

et, en général,

Ensuite

|sin..r = ">-pq, sin4;t=— (;(4/;-8/?3), sin6x ^ q[6p — 3ip^ + 32^'»),

et, en général,

, r m[m---4] , mfm2 — 4)(m2 — 16] "1

sinmx

A l'égard des signes ambigus, on prendra les signes supérieurs lorsque m est de la forme [\n-\- 2, et les inférieurs lorsque m est de la forme [\n.

Enfin on aura aussi, à cause de p"^ = \ — q- : i" Pour le cas de m impair,

ces \ X =^ p,

cos3;f ^= p[y — 4?^)>

CCS 5^ ^^ p{i — i9.q- + i6q''),

et, en général,

Ensuite

et, en général,

sin mx =z inq —

2° Pour le cas de m pair,

j sin i X = q, sinSj,' =^^ 3^ — 4</'', sin5^ ^ 5ç — •20(jf" + 16^5^

i C0S2X ^ I — '2q-, |cos4.^ = '— 8^--i-8ç*, cos6^ = I — 18^- + ^8q'' — 'i^q^.

et, en général,

Ensuite

siii2^r= 'i.pq,

sin/\x =zp[^q — Sq^),

sinGx =z p[6q — 3iq'^ + 82^1^),

et, en vénérai,

sinmx

J'ai rapporté ici ces différentes formules, parce que je ne connais aucun ouvrage où elles se trouvent réunies, et surtout parce qu'elles nous fournissent l'occasion de faire plusieurs remarques qui pourront intéresser les lecteurs.

Nous observerons d'abord que les formules des Tables (A), (B), (H) et (I) ont été trouvées par Viète et répondent à celles que l'on voit aux pages 295, 297 et 299 de ses Œuvres imprimées à Leide en 1646. 11 faut seulement observer que Viète a considéré les cordes plutôt que les sinus ou cosinus; or 2 cos-x- étant la corde du complément à deux droits de l'angle 20-, les quantités 2cos2cr, 2cos3a?, . . . seront les cordes des compléments des angles doubles, triples, etc.; et la Table (A) deviendra celle de la page 295 de Viète, en multipliant tous les termes par 2, et faisant 2/? = N, (2/?)- = Q, [spY = C, ..., suivant sa notation.

A l'égard de la Table de la page 297 de Viète, elle donne le rapport des cordes des arcs doubles, triples, quadruples, etc., à la corde de l'arc simple; et le premier de ces rapports y est désigné par N, dont le carré est Q, le cube C, etc. Ainsi, en prenant 2 sin^r pour la corde de

1, • , ^ , , ^, sin^^r sin3x

lare simple, ces rapports seront représentes par — : ? —. , •••:

'■ ' ' '■ *^ sin^ sm.r

et la Table dont il s'agit s'accordera avec la Table (B), en faisant

sin 2 ,ic

—, — ■ = 2/> = N et divisant chaque équation par la première.

La Table de la page 299 de Viète renferme les deux Tables (H) et(I), en multipliant tous les termes de ces Tables par 2, et faisant 2</ = N, {2qY = Q.

Il m'a paru intéressant de montrer ce que Viète avait fait sur l'objet dont il s'agit, et surtout d'indiquer lesquelles des formules connues pour la multiplication des angles lui sont dues, ce qu'on n'avait pas encore fait, que je sache, d'une manière tout à fait exacte.

Au reste Viète n'a pas donné les formules générales de ces Tables; il a donné simplement le moyen de les continuer aussi loin qu'on voudra, en indiquant la loi des termes et de leurs coefficients.

Dans les mêmes Actes de Leipzig pour 1701, déjà cités plus haut, Jean Bernoulli avait -aussi donné, sans démonstration, une formule générale pour les cordes des arcs multiples, laquelle revient à celle de la Table (B), en observant que 2q est la corde de son complément à la demi-circonférence.

Ensuite Jean Bernoulli a donné, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences de 1702, deux formules pour les cordes des arcs multiples, qui répondent aux formules générales des Tables (H) et (I), en observant que, 2q étant la corde de l'arc 20c, et ^p la corde de son complément, 2 ?,\nma- sera la corde de l'arc m"'"'^ et 2 cosmx la corde de son complément. Mais la première de ces deux formules avait déjà été donnée par Newton dans sa première Lettre à Oldenburg, imprimée dans les Œuvres de Wallis.

Enfin nous remarquerons qu'il n'y a que les formules générales des Tables (A), (B), (H), (K) qui se trouvent dans Y Introduction d'Euler (Cbap. XIV).

Mais toutes ces formules n'ont été données ici que par induction, ou bien en supposant que le nombre m est un des nombres de la série 1 , 2, 3, . . ., de sorte qu'on peut douter si elles s'appliquent à d'autres valeurs de m.

De plus, si l'on considère les formules des Tables (A) et (B), on voit qu'à la rigueur elles vont à l'infini, même lorsque m est un nombre entier positif; car, en faisant /« == i, la première donne

et la seconde donne

sm^

f\p'- idp'' ' ' '' valeurs qui sont évidemment fausses. Il en sera de même en donnant

DES FONCTIONS. tl9

à m d'autres valeurs quelconques entières et positives, et tenant compte (le tous les termes qui ne sont pas nuls,

11 est vrai que, par la nature des Tables (A) et (B) dont ces formules ne sont que le terme général, on ne doit y employer que les termes qui contiennent des puissances positives de/j; mais, comme les termes qui suivent ne sont pas nuls, on ne voit pas, a priori, pourquoi Ton doit les rejeter, et l'on voit moins encore ce que la formule exprimerait en ne les rejetant pas. Nous réserverons le dénouement de ces difficultés pour la Leçon suivante.