p. — i] i.'i . . .jj

condition qui se réduit à celle-ci

à laquelle il est visible qu'on peut toujours satisfaire en diminuant la valeur de i, pourvu qu'on n'ait pas/i^"' = o.

On peut démontrer de la même manière cette autre proposition, que, si l'on a deux fonctions différentes /(i) et F(i), qui soient telles que les [JL premiers termes du développement de /{i) soient respectivement égaux aux [/. premiers termes du développement de Y{i), on peut, en diminuant la quantité /, rapprocher assez près les valeurs de ces deux fonctions, pour que la valeur d'aucune autre fonction, comme (p(0» ne puisse jamais tomber entre ces valeurs, si les p. premiers termes du développement cp(/) ne coïncident pas aussi avec ceux du développement àe/{i) et de F(i); car la différence F(«)— /(«) se réduira, par l'hypothèse, à

OÙ la quantité j pourra être différente dans les deux fonctions, mais toujours y ■<?; au lieu que k différence fj^{i)—/{i) sera de la forme

1 étant <; II.; d'où l'on voit qu'en diminuant la valeur de i, le rapport de cette différence à la première deviendra toujours plus grand, à moins que l'on n'ait aussi o^ =/''-, etc.

C'est sur ces principes qu'est fondée l'application rigoureuse de la théorie des fonctions dérivées aux parties de la Géométrie et de la Mécanique, pour lesquelles on emploie le Calcul différentiel. Soit /"(a?) l'ordonnée d'une courbe dont x est l'abscisse; prenons une nouvelle

abscisse i, qui commence oi:i finit l'abscisse x, que nous regarderons maintenant comme constante; l'ordonnée correspondante sera

Arrêtons-nous aux premiers termes, et supposons l'équation

z=f[x) + if'{x],

entre l'abscisse i et l'ordonnée s; cette équation sera une ligne droite qui passe par le point de la courbe qui répond à l'abscisse x, et qui est inclinée à l'axe d'un angle dont/(^) est la tangente.

Comme les deux termes de l'ordonnée de cette droite coïncident avec les deux premiers termes de celle de la courbe, il sera impossible qu'aucune autre droite passant par le même point de la courbe puisse passer aussi entre elle et la droite dont il s'agit; celle-ci sera donc la tangente de la courbe au même point, de manière qu'en appelant / la

sous-tangente, on aura en général ^ =/'(^), et de là / = jr^^ = y

Prenons maintenant les trois premiers termes du même développement, et considérons la courbe dont l'équation entre l'ordonnée z et l'abscisse i serait

on aura une parabole dont l'axe est parallèle aux ordonnées, et dont

le paramètre est -jiri—.'

Cette parabole passera par le point de la courbe proposée qui répond à l'abscisse x, et aura la même tangente qu'elle, parce que les deux premiers termes de son équation coïncident avec ceux de l'équation de la courbe; et, comme les troisièmes termes coïncident aussi, il s'ensuit qu'aucune autre parabole ne pourra passer entre celle-ci et la même courbe : ce sera, par conséquent, la parabole qu'on nomme

osculatnce, et qui aura ,.„^ . ou —, pour paramètre.

DES FONCTIONS. i03

Comme c'est ordinairement au cercle qu'on rapporte la courbure

des courbes, pour avoir le rayon de courbure, on supposera que la

courbe proposée est un cercle dont l'équation générale est, comme l'on sait,

ainsi on aura

y= b -h s]r- — [x — aY^=f[x],

d'où l'on déduit, en prenant les fonctions dérivées,

Si l'on détermine, par ces trois équations, les valeurs de a, b, r en X, /{oc), f'{oc), f"{oc), on aura non seulement le rayon r du cercle osculateur, mais aussi la position du centre de ce cercle par les deux coordonnées a, b, qui seront en même temps celles de la développée; car alors les trois premiers termes du développement de y dans le cercle coïncideront avec les trois premiers termes du développement de y dans la courbe proposée.

On aura aussi, pour une courbe quelconque,

On peut pousser plus loin cette théorie des osculations, comme nous l'avons fait dans les n"* 117 et suivants de la Théorie des Fonctions analytiques.

Si l'on considère l'espace décrit par un mobile comme fonction du temps employé à le parcourir, et qu'on nomme x le temps et y l'es-

pace, l'équation y =/(^) exprimera la nature du mouvement. Soit z l'espace décrit dans le temps i qui commence au bout du temps jc;

on aura

et par le développement

ne prenons dans cette expression de z que le premier terme, et considérons un autre mobile dont le mouvement serait représenté par l'équation

u = if'[x)

entre l'espace u et le même temps i-, ce mouvement sera uniforme avec la vitesse f'{oc). Comme la valeur de u est exprimée par un terme qui est le même que le premier terme de la valeur de z, il suit de ce que nous avons démontré, en général, que, dans les premiers instants du temps if, ce mouvement uniforme approchera plus du mouvement dont il s'agit qu'aucun autre mouvement uniforme; car on pourra toujours prendre le temps « assez court pour que, entre les espaces parcourus en vertu de ces deux mouvements, il ne puisse être parcouru uniformément, dans le même temps, aucun espace moyen avec une autre vitesse que /'(^). Donc on pourra regarder /'(oc) comme l'expression de la vitesse de tout mouvement représenté par l'équation y =f[x), au bout du temps x.

Si l'on prend les deux premiers termes de l'expression de z pour l'espace décrit par un autre mobile dans le même temps i, la formule

représentera un mouvement composé d'un mouvement uniforme avec la vitesse/'(.a?), et d'un mouvement uniformément accéléré produit par une pression ou force accélératrice constante /"(a;), comme l'expérience le prouve dans le mouvement des graves. Les termes de la valeur de u étant les mêmes que les deux premiers

termes de l'expression générale de z, on conclura des mêmes principes établis ci-dessus, et par un raisonnement semblable au précédent, que, dans les premiers instants du temps i, ce nouveau mouvement approchera du mouvement représenté par l'équation

z=zf{x^-i)-f[x], OU y=f[x],

plus qu'aucun autre mouvement semblable, de manière qu'on pourra prendre /'(j:) pour la vitesse, et /"(^) pour la force accélératrice au commencement du temps i, c'est-à-dire au bout du temps x. Donc, en général, y étant l'espace décrit et exprimé en fonction du temps, y' sera la vitesse, et y" la force accélératrice nécessaire pour ce mouvement.

Ceci a lieu naturellement dans les mouvements rectilignes; mais, en considérant les mouvements curvilignes comme composés de rectilignes, on en déduit les lois des vitesses et des forces dans toutes sortes de mouvements.

Nous nous contenterons ici d'avoir fait voir, en deux mots, l'usage de notre théorème sur les limites du développement des fonctions, dans l'application des fonctions dérivées à la Géométrie et à la Mécanique; et nous renverrons ceux qui désireront un plus grand détail à la seconde Partie de notre Théorie des Fonctions analytiques.