THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DÉRIVÉES ET DES CONSTANTES ARBITRAIRES

Nous avons déjà démontré que toute équation entre deux variables, par laquelle une de ces variables est fonction de l'autre, subsiste également en prenant les fonctions dérivées, premières, secondes, etc., de chaque terme de l'équation par rapport à l'une de ces variables.

Ces équations dérivées ayant lieu en même temps que l'équation primitive, il s'ensuit qu'une combinaison quelconque de ces différentes équations aura lieu aussi. Donc, comme les constantes qui entrent dans une fonction restent les mêmes dans ses fonctions dérivées, on pourra toujours, par le moyen des équations dérivées, éliminer autant de constantes de l'équation primitive qu'on aura d'équations dérivées; l'équation résultante de cette élimination sera une équation du même ordre que la plus haute des équations dérivées, laquelle sera vraie en même temps que l'équation primitive et pourra par conséquent en tenir lieu; elle renfermera autant de constantes de moins que l'exposant de son ordre contiendra d'unités.

Ainsi l'équation primitive, combinée avec son équation dérivée ou prime, pourra donner une équation du premier ordre contenant une constante de moins que l'équation primitive.

L'équation primitive, combinée avec les équations dérivées prime et seconde, donnera une équation du second ordre contenant deux constantes de moins que l'équation primitive, et ainsi de suite.

On ne peut parvenir que d'une seule manière à l'équation du premier ordre qui résulte de l'équation primitive et de son équation dé-

rivée par l'élimination d'une constante donnée; mais on peut parvenir de deux manières différentes à l'équation du second ordre déduite de la primitive et de ses deux premières dérivées par l'élimination de deux constantes données; et ce double point de vue donne lieu à des conséquences importantes relatives à ce genre d'équations.

Au lieu d'éliminer à la fois les deux constantes par le moyen des trois équations dont il s'agit, on peut n'éliminer d'abord que l'une ou l'autre de ces constantes, à l'aide de l'équation primitive et de sa dérivée; on aura ainsi deux équations différentes du premier ordre, dont l'une ne contiendra que l'une des deux constantes, et dont l'autre ne contiendra que l'autre constante. Maintenant, en combinant chacune de ces équations avec sa dérivée, on pourra aussi en éliminer la constante qui y était restée, et on aura deux équations du second ordre sans les deux constantes, lesquelles devront être équivalentes entre elles et avec l'équation qui résulte de l'élimination simultanée des deux constantes.

En effet, chacune de ces équations donnera la valeur de la fonction seconde de la variable qu'on regarde comme fonction de l'autre, valeur qui sera exprimée par la fonction prime de la même variable et par les deux variables mêmes, sans les deux constantes qui entraient dans l'équation primitive; et il est facile de se convaincre que cette valeur est unique et déterminée, de quelque manière qu'on y parvienne, puisque les fonctions dérivées d'une fonction donnée, soit explicite ou non, sont uniques et déterminées, et que les résultats de l'élimination sont aussi toujours déterminés.

On doit conclure de là qu'une équation du second ordre peut être dérivée de deux équations différentes du premier ordre, renfermant chacune une constante arbitraire de plus, et que ces équations seront par conséquent deux équations primitives de la même équation du second ordre, mais primitives du premier ordre, pour les distinguer de l'équation primitive absolue d'où celles-ci sont censées dérivées.

Enfin on peut étendre aux équations des ordres supérieurs au second le raisonnement que nous venons de faire sur celles de cet ordre.

Ikk LEÇONS SUR LE CALCUL

et on en conclura de la même manière qu'une équation du troisième ordre peut être dérivée de trois équations du second ordre, et qu'alors elle peut avoir trois équations primitives de cet ordre; et ainsi de suite.

Nous allons éclaircir et confirmer cette théorie générale par quelques exemples.

Soit l'équation de premier degré

y -h ax -+- b =: o;

en regardant y comme fonction de ^ et en prenant les fonctions dérivées, on aura

En éliminant «au moyen de ces deux équations, on obtiendra l'équation du premier ordre

X — xy-hb = o,

dont l'équation primitive sera

y -+- ax + 6^0,

a étant la constante arbitraire.

Si la constante b dépendait de la constante a, par exemple si

alors en éliminant a, c'est-à-dire en substituant — y' pour a, on aurait l'équation du premier ordre

r — xy-hy- = o,

et l'équation primitive de celle-ci serait

y -+- ax -h a- =: o,

a étant la constante arbitraire.

Supposons

on aura l'équation du premier ordre

f — xf-^cs^/i +y^ — o,

dont l'équation primitive sera

y -h ax + c yji + a- =: o,

oïl a est la constante arbitraire.

Soit encore l'équation

x"^ — 1 ay — a^ — 6 =r o ;

sa dérivée sera

X — aj^'' = o,

équation du premier ordre dont la proposée est l'équation primitive, et où h sera la constante arbitraire.

Mais, si l'on veut que la constante arbitraire soit a, alors il faudra éliminer a; or l'équation dérivée donne

donc, substituant cette valeur dans la proposée, elle donnera

y.xy x- X- — -~ — — o=^o,

ou bien

d'où l'on tire

y' y x- + y- — h — yy' — x = o,

équation du premier ordre dont la primitive sera