X- — iny — a- — b =^ o

qui est la même dont nous sommes parti.

En éliminant ainsi les constantes qu'on veut faire disparaître, on tombe souvent, comme on le voit, dans des équations où la plus haute fonction dérivée est élevée à des puissances; et ce n'est que par la résolution qu'on peut avoir la valeur de cette fonction en fonction des variables et des fonctions dérivées d'un ordre moindre.

On peut cependant parvenir directement à une équation dérivée où la plus haute fonction dérivée ne se trouve qu'au premier degré; pour cela, il n'y a qu'à préparer l'équation primitive de manière que la constante arbitraire qu'on veut faire disparaître s'en aille d'elle-même en prenant la fonction dérivée de chacun de ses termes; ce qui arrive lorsque cette constante est dégagée des variables, et forme elle seule un des termes de l'équation; car alors, la fonction dérivée de ce terme étant nulle, l'équation dérivée se trouvera naturellement délivrée de la constante, et la plus haute fonction dérivée y sera nécessairement à la première dimension; car, comme on l'a vu dans la Leçon YI, en prenant la fonction dérivée d'une fonction de plusieurs variables, chaque variable ne peut donner que des termes multipliés par la fonction dérivée de la même variable.

Or il est évident que cette préparation ne demande que de résoudre l'équation primitive, en regardant la constante qu'on veut éliminer comme l'inconnue de l'équation. Ainsi l'on peut obtenir par ce moyen le même résultat qu'on aurait par la résolution de l'équation dérivée, par rapport à la plus haute fonction dérivée.

Dans le second exemple, où l'équation primitive était

y -\- ax -\- a- =:: o,

nous avons trouvé l'équation dérivée

laquelle donne, par la résolution.

Mais, si nous avions d'abord résolu l'équation par rapport à la constante a, nous eussions eu

2a = — X -\- \Jx- — 4T'

sa dérivée serait

X — ar*

sjx- — 4/

savoir, en multipliant par \Jx-, — 4/,

X — 0.^ — \Jx- — 4^' ^= O'

équation qui coïncide avec la précédente, à cause de l'ambiguïté du signe du radical.

On peut de la même manière faire disparaître successivement plusieurs constantes en préparant toujours l'équation en sorte que la constante à éliminer soit dégagée des variables.

Ainsi l'équation primitive

contenant la constante h isolée dans un seul terme, donne tout de suite l'équation du premier ordre sans h,

X — ay' = o ;

ensuite, en dégageant a, on a rt=:^; prenant la fonction dérivée de c.bacun des deux membres, on obtient

I xy

équation qui, multipliée par y'-, devient

y — x/'^o, comme plus haut.

En commençant l'élimination par la constante a, nous avions trouvé l'équation du premier ordre

„ ■y.xy X- .

comme la constante b y est dégagée des variables, il n'y a qu'à prendre la fonction dérivée de chaque terme pour avoir tout de suite l'équation du second ordre sans a ni l>.

On a ainsi

y ^yy" -^ x-y"

Cette équation se réduit à cette forme

Comme le facteur ^ h — r:r ne renferme que la fonction prime y', il

ne peut donner une équation du second ordre; ainsi, c'est l'autre facteur -~ I qu'il faut employer, et l'on a

-^—, I 1= o, savoir, xy —y = o,

comme ci-dessus.

Nous verrons plus bas, lorsqu'il sera question des équations primitives singulières, l'usage du premier facteur.

Ce peu d'exemples, que j'ai choisis parmi les plus simples, sullit pour montrer comment les équations dérivées se forment des équations primitives, par l'évanouissement des constantes. On voit que, pour une équation primitive donnée, il est toujours possible de trouver une équation dérivée qui renferme autant de constantes de moins qu'il y aura d'unités dans l'ordre de cette équation, et que, de quelque manière qu'on parvienne à cette équation, et sous quelque forme qu'elle

se présente, elle sera toujours essentiellement la même. Ainsi le problème de trouver l'équation dérivée d'une primitive donnée est résolu dans toute sa généralité. Nous allons considérer maintenant le problème inverse, qui consiste à remonter des équations dérivées aux primitives.

Puisque, dans les équations à deux variables, une équation du premier ordre peut renfermer une constante de moins que l'équation primitive, une équation du second ordre peut renfermer deux constantes de moins que l'équation primitive, et ainsi de suite; il s'ensuit réciproquement que l'équation primitive peut contenir une constante de plus qu'une équation du premier ordre, deux constantes de plus qu'une équation du second ordre, et ainsi de suite, constantes qui seront par conséquent arbitraires; et on voit en même temps qu'elles ne sauraient en contenir davantage, puisqu'on ne pourrait les faire disparaître toutes par le moyen des équations dérivées.

Cette proposition étant d'une grande importance dans la théorie des fonctions dérivées, et n'ayant pas encore été démontrée d'une manière lout à fait rigoureuse, nous croyons devoir en donner une démonstration directe, tirée de l'expression générale de la fonction primitive.

Si y est une fonction quelconque de ce, et qu'on dénote par y", y"', y"", j°'", ... les valeurs de j et de ses fonctions dérivées j', y, j'", ..., qui répondent à £r = o et qui sont par conséquent constantes, on aura, par ce que nous avons démontré à la fin de la Leçon IX,

j-^yo | jo'^ -H 7'°" 1- j"'" — T- + . . . ;

et, si l'on veut arrêter la série au terme n'"^^, alors on aura les limites du reste, en substituant dans le terme suivant

à la place de j"'"', la plus grande et la plus petite valeur de y'"' depuis .r r= o jusqu'à la grandeur qu'on veut attribuer à or.

Maintenant, si la valeur de j est donnée par une équation du premier ordre entre x, y et j', on aura par cette équation la valeur de v' en X et y, et de là on trouvera, en prenant les fonctions dérivées, une équation du second ordre en x^ y, y' et y", ensuite une équation du troisième ordre entre x, y, y', y" et j'", et ainsi de suite; de sorte que, en substituant successivement dans ces équations les valeurs de y', y", y'", ... données par les équations précédentes, on aura, en dernière analyse, les valeurs de y', y", y'", ... exprimées en x et y. Or, en faisant x=^o, les quantités y, y', y", ... se changeront en y°, y^', y"", ...: ainsi, on aura les valeurs de y"', y"", ..., exprimées en y" qui demeurera indéterminée.

De même, si l'on n'a pour la détermination de y qu'une équation du second ordre entrer, y, y' etj", on en tirera successivement des équations des ordres supérieurs entre x, y, y', y", y'", entre x,y,y', y", y'", y'^, et ainsi de suite; et, par les substitutions successives des valeurs de y", y'", ... données par les équations précédentes, on aura en dernière analyse y", y'", . . . données en x, y et y', de sorte qu'en faisant a? = o, on aura les valeurs de y"", y"'", . . . exprimées en y" et j"', ces deux quantités demeurant indéterminées; et ainsi de suite.

Donc enfin, faisant ces substitutions dans l'expression générale de y en X, il est clair qu'il restera dans cette expression une indéterminée constante y", lorsque la fonction y sera donnée par une équation du premier ordre; qu'il y restera deux constantes indéterminées y" et j"', lorsque y ne sera donnée que par une équation du second ordre; qu'il y en restera trois, savoir, y", y°' ety°", lorsque y sera donnée par une équation du troisième ordre; et ainsi de suite.

Donc, en général, l'expression de y en x renfermera autant de constantes indéterminées qu'il y aura d'unités dans l'exposant de l'ordre de l'équation qui détermine la fonction j; et, quoique cette conclusion soit fondée ici sur la théorie des séries, il n'est pas difficile de se convaincre qu'elle doit avoir lieu généralement, quelle que soit l'expression de y, puisqu'on peut toujours regarder une expression en séri(* comme le développement d'une expression finie.

Dans l'analyse précédente, on voit que les constantes arbitraires sont toujours les valeurs de y, y', y", . . . qui répondent à a? = o, au lieu qu'en envisageant, comme nous l'avons fait plus haut, les équations dérivées comme le résultat de l'élimination des constantes, ces constantes peuvent être quelconques; mais il est toujours facile de les réduire les unes aux autres : car, quelles que soient les constantes qui entrent dans l'expression de y, si l'on déduit de cette expression celles de y' , y" . . ., et qu'ensuite on fasse x = o, ce qui changera les valeurs de y, y', y", ... en y^y"', j"", . . ., on pourra toujours, en prenant autant de ces valeurs qu'il y a de constantes arbitraires, déj terminer celles-ci en y'^,y°',y°", • • -, et les substituer ensuite dans l'expression générale de y.

Or, quelle que puisse être la forme de cette expression ou de l'équation d'où elle dépend, à raison des différentes constantes qui y seront contenues, il est visible que, lorsque ces constantes seront réduites aux valeurs de j", y"', y"", . . ., cette forme deviendra nécessairement la même pour la même équation dérivée.

On peut donc conclure, en général, que, si l'on a une équation dérivée d'un ordre quelconque, et que l'on trouve, de quelque manière que ce soit, une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse, et qui renferme autant de constantes arbitraires qu'il y aura d'unités dans l'exposant de l'ordre de l'équation dérivée, cette équation sera l'équation primitive de la proposée, avec toute la généralité dont elle est susceptible; de sorte qu'elle renfermera nécessairement toute autre équation qui pourrait aussi satisfaire à la même équation avec autant de constantes arbitraires.

On voit par là que les constantes arbitraires forment proprement la liaison entre les équations primitives et les équations dérivées; celles-ci sont, par leur nature, plus générales que les équations d'où elles dérivent, à raison des constantes qui ont disparu ou qui peuvent avoir disparu; elles équivalent donc à toutes les équations primitives, et qui ne dilTéreraient entre elles que par la valeur de ces constantes.

On pourra donc toujours passer d'une équation primitive à une de

ses dérivées d'un ordre quelconque, et revenir ensuite de celle-ci à une nouvelle équation primitive, pourvu que cette dernière opération y introduise le nombre requis de constantes arbitraires. Alors cette dernière équation renfermera la première et lui deviendra équivalente, en déterminant convenablement ses constantes arbitraires. C'est ainsi qu'on en a usé dans la Leçon précédente, pour la transformation des fonctions angulaires.

Comme nous avons vu qu'une équation du second ordre peut provenir de deux équations différentes du premier ordre, renfermant chacune une constante arbitraire ; qu'une équation du troisième ordre peut être dérivée de même de trois équations différentes du second, et ainsi de suite, il est naturel d'en conclure aussi réciproquement que toute équation du second ordre aura deux équations primitives du premier ordre, chacune avec une constante arbitraire; que toute équation du troisième ordre aura trois équations primitives du second ordre, ayant chacune une constante arbitraire; et ainsi de suite. Mais nous pouvons démontrer aussi cette proposition d'une manière directe, par une analyse semblable à celle que nous avons employée ci-dessus.

Considérons la formule générale du développement des fonctions

f[x + /) =f[x) + if'[x) + ^ f"[x] + . . . .

Faisons y ^f{x) et «"= — j;-; on aura

et/{a: -+- 1) deviendra/(a7 — œ), c'est-à-dire égale à la valeur de/(a) ou y, lorsqu'on y fait oc = o, valeur que nous avons désignée plus haut par y". Ainsi, par ces substitutions, on aura celte formule

yO=X- xy' + — j" -—-y" + ....

Changeons maintenant dans la formule générale /[x) en f'{oc), et l'on aura de même

f'[x + /) =f[x] -f- if"[x] + '-f"\x]

15i LEÇONS SUR LE CALCUL

Donc, faisant de nouveau

f[x)^r, f'[x]=y', r[x]=y", ..., et i=.-x,

ce qui donnera

valeur de /'(a?) ou de / , lorsque x=^o, que nous avons désignée par y"', on aura cette autre formule

On trouvera de la même manière

r"" = /' - ^y'" + Çr'' " ^r' + • • • '

et ainsi de suite.

Cela posé, si y est donnée par une équation du premier ordre, on aura les valeurs de j', y", y'", ..., toutes données en x et j, comme on l'a vu plus haut; si on les substitue dans la formule

jo ^ J .r/ + ^ j" ^^-'"+ . . . ,

on aura une équation entre ce et y avec la constante arbitraire j".

Si y est donnée par une équation du second ordre, on aura y", y'", y'^, . . ., données en oc, y et y'; donc, substituant ces valeurs dans les deux formules

jo = J ^y 4- /' j"' + . . . ,

on aura deux équations en ce, y et y', ayant chacune une des constantes arbitraires y" et j"', lesquelles seront également deux équations primitives du premier ordre de la proposée du second ordre, ei ainsi de suite.

Quoique ces équations soient en séries, les conclusions qu'on peul tirer relativement k la nature des équations primitives n'en sont pas

moins exactes; et il est visible, par la forme même de ces équations, qu'elles sont essentiellement différentes, et qu'il ne peut y en avoir qu'un nombre égal à celui de l'ordre de l'équation donnée.

On en conclura donc aussi que, si pour une équation du second ordre on trouve d'une manière quelconque deux équations différentes du premier ordre qui y satisfassent, et qui renferment cbacune une constante arbitraire, on aura les deux équations primitives du premier ordre de la proposée; et toute autre équation de cet ordre, qui y satisferait avec une constante arbitraire, sera nécessairement renfermée dans celle-ci.

Ces deux équations primitives étant connues, on pourra toujours en déduire l'équation primitive absolue, sans fonctions dérivées, en éliminant par leur moyen la fonction dérivée qu'elles contiendront, et qui est censée être la même dans les deux équations.

L'équation résultante, ne contenant plus de fonction dérivée, sera l'équation primitive absolue de la proposée du second ordre; et, comme les deux constantes arbitraires, qui entraient dans les deux équations primitives du premier ordre, se trouveront dans cette équation, elle aura toute la généralité dont elle est susceptible.

Donc, ayant une équation du second ordre, on aura également son équation primitive absolue, soit qu'on trouve immédiatement une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse, et qui renferme en même temps deux constantes arbitraires, soit qu'on trouve séparément deux équations du premier ordre qui y satisfassent cbacune en particulier, et qui renferment chacune une constante arbitraire.

Mais, si l'une de ces deux équations du premier ordre ne contenait point de constante arbitraire, alors l'équation primitive qu'on en déduirait, ne contenant qu'une seule constante arbitraire, n'aurait pas toute la généralité qu'elle peut avoir; mais elle satisferait toujours à l'équation du second ordre d'où on l'aurait tirée, en même temps qu'elle satisfera aux deux du premier ordre.

Il suit encore de là que, si l'on a une équation du premier ordre, et qu'on en déduise d'une manière quelconque une équation du second

ordre, soit en éliminant une constante ou non, qu'ensuite on passe de celle-ci à une autre équation primitive du premier ordre, avec une constante arbitraire, on pourra, par l'élimination de la fonction dérivée qui se trouve dans les deux équations du premier ordre, avoir une équation entre les deux variables et la constante arbitraire, qui sera par conséquent l'équation primitive absolue de la proposée du premier ordre.

En général, si de la proposée du premier ordre on passe à une équation d'un ordre supérieur, et si l'on trouve d'une manière quelconque une équation primitive de celle-ci d'un ordre inférieur avec une constante arbitraire, on pourra toujours, par l'élimination successive des fonctions dérivées, parvenir à une équation entre les deux variables et la constante arbitraire, laquelle sera ainsi l'équation primitive de la proposée.

Enfin on peut étendre aux équations des ordres supérieurs au se- (îond ce que nous venons de trouver relativement à celles de cet ordre, et en déduire des conclusions semblables.