CB I

<p'^— I, Ai' zzz X et -7-/= î

comme précédemment.

Soit encore l'équation

y- -h X- — lax -4- fi- — b-= o,

qui est à un cercle dont le rayon = b, et dont le centre est dans l'axe

des abscisses à la distance a de leur origine.

La dérivée sera

yy -h X — a = o,

d'où l'on tire

de là on aura, par les substitutions,

Si maintenant on prend les dérivées de ç et 'h, on aura

(j>' = I + j'2 -1- yj", iL' = j' y/ 1 -H j'^ +

et de là

Si l'on ne prenait les dérivées ç' et ^j;' que relativement à y' , on aurait

donc

comme ci-dessus.

On pourrait prouver, par une analyse semblable, que les fonctions de X, y, y et y, qui expriment les valeurs des quantités a, h, c, tirées

d'une équation

et de ses deux dérivées

dans lesquelles ces quantités sont traitées comme constantes, ont des dérivées dont les rapports sont indépendants de la fonction tierce j'",

et qui sont les mêmes que si l'on ne prenait ces dérivées que relativement à la fonction seconde y", parce qu'en désignant ces fonctions par

les trois équations

où a, b, c seraient des constantes arbitraires, seront les trois primitives d'une même équation du troisième ordre, telle que

à laquelle les dérivées de ces équations devront par conséquent satisfaire; et de même pour les fonctions du même genre des ordres supérieurs. Mais on peut s'en convaincre encore d'une manière plus directe que voici :

En dénotant simplement par 9 et 6 les fonctions (f[x,y,y),'\i{x,f,y), qui expriment les valeurs des constantes a et b tirées de l'équation

et de sa dérivée

il est clair que l'équation

sera identique; que, par conséquent, sa dérivée

F'(^,j) + (p'F'(o) + 4/'F'(^) = o aura lieu d'elle-même; mais on a déjà

¥'[x,f) = 0; donc on aura séparément l'équation

laquelle donne

^' — F'(cp)*

Or, comme «p et tj; ne contiennent que ce, y et y', il est visible que la valeur de j-, ne sera qu'une fonction du premier ordre.

Ainsi, dans le dernier exemple, où

F [x, y, a, b] ^= y- -h X- — lax -+- a-— b"^,

si l'on change a en 9, et b en '\i, on aura

F[x,y,cfi,^)=:y--+-x^—'}.xcf-{-<^-~^-; donc

par conséquent

^t cp — X

comme nous l'avons trouvé par une autre voie.

De même, si ç, '\i, 'i sont les fonctions àex, y, y' et y" qui expriment les valeurs des constantes a, b, c, tirées de l'équation

F{x,y,a, b,c] = o et de ses deux dérivées

en substituant ces fonctions à la place de a, b, c, on aura des équations identiques, dont, par conséquent, les dérivées auront lieu aussi. On aura donc, en premier lieu,

et, par conséquent aussi,

F'(^, y) + cp' F'(<p) + y F'(^) + I' F(^) = 0; mais on a déjà

donc on aura l'équation

Ensuite, comme l'équation

contient, outre les quantités ^, r, y', les trois fonctions o, (L» 'i< si on la dénote par/(^, j, r'i ?. ^. E)» on aura l'équation identique

et, par conséquent, la dérivée

mais on a déjà

puisqu'il est visible que/'(^, j,y) est la même chose que Y"{a:,y); donc on aura aussi l'équation

Si l'on combine cette équation avec la précédente, il est clair que, puisque les quantités o', <\i', E' n'y sont qu'à la première dimension, et en multiplient tous les termes, il est clair, dis-je, qu'on en tirera les

valeurs de ~ et de j, en fonctions des quantités x, y, y', çp, (j' et E; de

sorte que ces fonctions ne passeront pas le second ordre, et ainsi de suite.

Si les fonctions ç et '\i exprimaient les valeurs des constantes a et /> tirées de l'équation du premier ordre

et de sa dérivée

ces fonctions seraient alors du second ordre; et l'on trouverait, par le même raisonnement, que le rapport j-, de leurs dérivées serait exprimé

également par — p,'*^ ? de sorte que ce rapport serait une fonction du

second ordre, et, par conséquent, du même ordre que les fonctions o

et ^.

2iO LEÇONS SUR LE CALCUL

En général, il résulte de l'analyse précédente que, si (p, '^, l, ... sont des fonctions d'un ordre quelconque, qui expriment les valeurs des constantes a, b, c, . . ., tirées d'une équation en x, y, y', y", . . ., a, b, c, . . ., et de ses dérivées successives, les dérivées de ces fonctions auront toujours entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes.

Je dis maintenant que, si des fonctions quelconques de a:, y, y', y", . . . sont telles que leurs dérivées aient entre elles des rapports du même ordre que les fonctions elles-mêmes, c'est-à-dire, dans lesquels il n'entre que des fonctions dérivées de y du même ordre, ces fonctions pourront toujours exprimer les valeurs d'autant de constantes tirées d'une équation primitive et de ses dérivées successives; et il sera alors facile de retrouver cette équation primitive génératrice.

Car, si l'on désigne par ç, ij;, E, ... les fonctions dont il s'agit, et que M, N, . . ., soient les valeurs des rapports des dérivées <\i', c', ... à la dérivée 9', ces valeurs étant, par l'hypothèse, des fonctions du même ordre que les fonctions données 9, i];, E, ..., on aura donc les équations

^' = Mo', r=:N(p', ....

Supposons

on aura donc aussi

donc

a, b, C, ... étant des constantes.

Ces différentes équations seront donc autant d'équations primitives de la même équation

puisqu'elles ont lieu en même temps qu'elle; par conséquent, en éliminant de ces mêmes équations

<? = «, 4' = ^» i = c. — les plus hautes fonctions dérivées de la variable y, on aura une équa-

DES FONCTIONS. 2i3

tion primitive d'un ordre inférieur, qui contiendra les constantes a, h, c, . . ., et qui sera l'équation primitive génératrice de la forme

d'où résultent les fonctions 9, i|/, E, . . ., en les prenant pour les valeurs des constantes a, h, c, .. ., tirées de cette équation et de ses dérivées successives

Ainsi, si l'on avait entre ces fonctions une équation quelconque

et que l'on reconnût que leurs dérivées cp', ■^' , ç', ... ont entre elles des rapports du même ordre que ces fonctions, on aurait tout de suite les équations primitives

et de là l'équation primitive principale

Fl'^.r»/./'» •••»«> ^»c, ...) = o,

dans laquelle les constantes a, h, c, . . . seraient arbitraires, hors

une, qui devrait être déterminée par l'équation donnée, laquelle se

réduit alors à

On aurait ensuite l'équation primitive singulière par les méthodes exposées plus haut.

Par exemple, si l'on proposait l'équation du premier ordre

(^{x-hyy',ysJi-^y'-') = o,

sans qu'on sût que les deux quantités qui sont sous la fonction peuvent exprimer les constantes tirées d'une équation primitive et de sa dérivée, on examinerait d'abord leurs dérivées, qui sont

rr'r" .

, | j'2 1 yy Ql j' ^/, | y 2 |

comme celle-ci se réduit k -^ -^ .r+^^ZJ- , on voit d'ai:)or(l que son

rapport à la première sera exprimé simplement par -r - ;■? sans que

la fonction seconde y" puisse y entrer. On est donc assuré par là que les deux fonctions x -hyy' et y \/i + j'^ peuvent provenir d'une équation primitive qu'on trouvera en faisant les deux équations

et éliminant y', ce qui donne celle-ci

laquelle coïncide avec celle d'où nous avions déduit les expressions de a et b dans le dernier exemple.

Maintenant l'équation proposée deviendra simplement

par laquelle on déterminera b en a; de sorte que l'équation précédente ne contiendra plus que la constante arbitraire a, et sera alors la primitive complète de la proposée.

On pourra tirer de là la primitive singulière, en éliminant a au moyen de la dérivée prise par rapport à a seul, suivant la méthode de la Leçon quinzième, ou bien il n'y aura qu'à éliminer y' de la proposée, au moyen de sa dérivée prise par rapport à y' seule, comme nous l'avons vu plus haut relativement aux équations de ce genre.