x[y' — xy" ) — 2y = o

ce qui revient à ce que nous avons déjà trouvé. Lorsqu'on connaît l'équation primitive

avec l'équation

qui donne la relation entre les quantités a, b, c, ..., on peut trouver directement l'équation primitive singulière sans connaître les valeurs de ces quantités en fonctions dea:,y,y, ... ; car, ayant réduit les quantités a, h, ... k une de moins par le moyen de l'équation de condition

il n'y aura qu'à appliquer à l'équation primitive

la méthode générale exposée dans la Leçon quinzième.

Mais la difficulté consiste à reconnaître a posteriori si des fonctions données, dont une équation proposée est composée, dépendent d'une même équation primitive, de manière qu'elles puissent représenter les valeurs des constantes tirées de cette équation et de ses dérivées.

Pour la résoudre, j'observe que la propriété caractéristique de ces sortes de fonctions est que leurs dérivées ont entre elles des rapports exprimés par des fonctions du même ordre que les fonctions dont il s'agit. En effet, relativement aux fonctions du premier ordre, nous avons déjà vu plus haut que les fonctions <^{^,y,y) et ^x,y,y), qui représentent les valeurs des constantes aetb tirées de l'équation générale

F[x,y,a,b]z=io,

et de sa dérivée

sont telles que leurs dérivées (f'{x,y,y) et '\i'{jr,y,y), que nous avons désignées par a' et b', ont la forme suivante :

de sorte que l'on a simplement

où l'on voit que les fonctions dont il s'agit ont la propriété que la fonction seconde y" disparaît du rapport de leurs dérivées, et que ce rapport est le même que si l'on prenait ces dérivées relativement à la variable y' seule.

Soit, par exemple, l'équation à la ligne droite

j + ax -^ b z= o;

sa dérivée sera

y -f. fl = o ;

ainsi on aura

a = —x', b = xy'—y.

On aura donc, en dénotant simplement par oet^ ces expressions de a et b,

prenant les fonctions dérivées, il viendra

9 = — r ' '\''—xy ; donc

Si l'on ne prenait ç' et \' que relativement à y', on aurait