X -\- la^o

d'où

et de là

Ainsi on peut regarder aussi la seconde expression de y comme une valeur singulière du terme général; mais, comme elle conserve la constante b tant que les différences i sont finies, il est clair qu'elle a la même généralité que la première, en sorte qu'on peut supposer que la valeur de y soit donnée lorsque x=^ o, ce qui n'a pas lieu pour les valeurs singulières des équations primitives ordinaires.

Feu Charles, de l'Académie des Sciences, est le premier qui ait fait cette remarque importante, qu'à une même équation aux différences finies peuvent répondre deux équations intégrales ou sans différences.

ayant chacune une constante arbitraire. [Voyez les Mémoires de cette Académie pour l'année 1783.)

Mais les conséquences qu'il a voulu en tirer dans la suite (Mémoire de 1788), relativement aux intégrales des équations différentielles, sont tout à fait illusoires; elles prouvent seulement qu'on ne peut pas appliquer immédiatement à l'infiniment petit proprement dit les résultats trouvés dans la supposition du fini, et que, dans le passage du fini à l'infiniment petit, il faut supprimer entièrement tous les termes qui peuvent contenir l'infiniment petit, quoique ces termes puissent n'être pas eux-mêmes infiniment petits.

Ainsi, dans la formule

,=[M-„î-iJ-f

le terme è(— i)' ne devient pas infiniment petit par la supposition de i infiniment petit; néanmoins, ce terme contenant la différence i, qui devient infiniment petite dans l'équation différentielle, doit être supprimé pour avoir un résultat exact. En effet, en effaçant tout ce qui contient i dans l'équation précédente, on a simplement

comme cela doit être pour satisfaire à l'équation dérivée.

La raison en est que, dans le passage supposé du fini à l'infiniment

petit, les fonctions changent réellement de nature, et que le -^5 qu'on

emploie dans le Calcul différentiel, est essentiellement une fonction différente de la fonction y, tandis que tant que la différence dx a une valeur quelconque, aussi petite qu'on voudra, cette quantité n'est que la différence de deux fonctions de la même forme; d'où l'on voit que, si le passage du fini à l'infiniment petit peut être admis comme moyen mécanique de calcul, il ne peut servir à faire connaître la nature des équations différentielles, qui consiste en ce qu'elles donnent des rapports entre les fonctions primitives et leurs dérivées.

On peut trouver d'une autre manière les mêmes expressions de r qui satisfont à l'équation aux difTérences

X Ay Ay

ri

En prenant l'équation successive qui répond à a* + /, on a aussi

' (x-i-i) Ay Ar-

mais

j = j + Aj, Aj = Aj + A-y\

donc, retranchant la première équation de la seconde, on aura

Ar = X —/- + Ar -t- A-r -\ ■' ■„ H rf-,

savoir, en multipliant par / et réduisant,

équation qui se décompose, comme l'on voit, en deux,

.^ . îAr+A-r

A^r=o el X -h i -\ '■ — ■. ^=o.

La première donne tout de suite

Aj = à une constante; faisant cette constante = ai, on obtiendra

Af:= ai;

substituant cette valeur dans l'équation aux différences, on aura, comme

plus haut,

yz= ax -f- a-.

Retenons maintenant la supposition

Ar — ai.

mais en regardant a comme une variable dépendante de a:; on aura

Aj=: ai et A- j r=^ [n — a) i ; donc l'autre équation deviendra

X 4- /+ « -h rt = o,

qui est la même que nous avons trouvée plus haut, et d'où nous avons tiré

On aura donc

et, comme l'équation aux différences peut se mettre sous la forme

'x Ar\- x"^ ,2 i I 4 '

la substitution de cette valeur de Ay donnera

comme plus haut.

Cette manière de trouver la seconde expression de y revient à la méthode que nous avons exposée dans la Leçon XVI, pour les équations primitives singulières.

En supposant i infiniment petit, les valeurs de a et a, qui répondent à a? et a? H- /, ne doivent différer l'une de l'autre que d'une quantité infiniment petite; par conséquent, par le principe des infiniment petits, l'équation

se réduit à

ce qui donne

d'oLi l'on tire

comme dans le cas de

En effet, l'expression de a

Ll ■ f •^ '

donne, relativement k x ■+ i,

où l'on voit que, dans le cas de i infiniment petit, la différence entre a et a demeure finie tant que la constante h n'est pas nulle. En général, soit

l'équation par laquelle le terme général y est déterminé en fonction de X, a étant une constante quelconque.

Cette équation est censée avoir lieu également pour les termes successifs y, j, ..., qui répondent aux valeurs successives x-{-i, x-\--2i, ...

de x; ainsi on aura

et l'on pourra, par la combinaison de ces deux équations, éliminer la constante a.

On aura, de cette manière, une équation sans a, mais qui sera en x, y et r; et, si à la place de y on substitue y + Ay, l'équation sera en X, y et Ay; ce sera alors proprement une équation aux différences premières.

De même, si l'équation du terme général renferme deux constantes

a et h, comme

on pourra faire évanouir ces deux constantes par le moyen des deux équations, successives

F(.r + i,y, a, b) z= o, F(^ + li,^, a, h] 7::= o.

L'équation résultante sera alors entre x, y, y et y, ou bien entre

les quantités x, y, Ay et A- y, en substituant j + A j pour y, el

y-l-2Ay + A-7 pour j; ce sera donc une équation aux différences

secondes, et ainsi de suite.

Donc, réciproquement, toute équation aux différences premières, ou entre deux termes successifs, comportera une constante arbitraire dans l'équation du terme général; toute équation aux différences secondes, ou entre trois termes successifs, comportera deux constantes arbitraires dans l'équation du terme général, et ainsi de suite.

On peut, en effet, se convaincre que cela doit être, par la nature même de ces équations.

Considérons, par exemple, une équation quelconque aux différences premières entre x, y et y, et supposons qu'ayant tiré la valeur de y on ait

Comme la même équation doit avoir lieu dans toute l'étendue de la série, en faisant successivement

X ^=o, i, ni, 3i, . . . ,

la variable y deviendra/, y, y, y, . . ., et j deviendra en même temps

Ainsi l'équation proposée donnera cette suite d'équations

Donc, substituant successivement les valeurs précédentes, tous les termes y, y, y, . . . seront donnés par le premier terme y, et un terme

quelconque y, répondant à x, sera donné en x et y.

Ainsi l'expression du terme général contiendra nécessairement la

valeur arbitraire et constante du premier terme y.

Si l'équation proposée était aux différences secondes ou entre les

termes successifs y, y, y, on pourrait en tirer la valeur de y, et l'on

aurait

Donc, faisant successivement

on aurait

j=/(o,r,r), y^f[ur,r], r^f[-^ur,r], •••;

de sorte qu'en substituant toujours les valeurs précédentes on aurait

les termes J, /, J, • • • donnés en y et j; par conséquent le terme gé-

néral y répondant à x serait exprimé en x, y et y, dans lequel y et y ont des valeurs arbitraires et constantes.

Et ainsi pour les équations aux différences plus hautes.

On voit par là que le nombre de constantes arbitraires qui doivent entrer dans l'expression complète du terme général est nécessairement égal à l'exposant de la plus haute différence qui entre dans l'équation proposée; d'où l'on doit conclure que toute expression du terme général qui satisfera à une équation aux différences, et qui aura autant de constantes arbitraires que cette équation en admet en raison de l'ordre de ces différences, devra être regardée comme complète, de quelque manière qu'on y soit parvenu.

Mais la même équation pourra encore être susceptible d'une autre expression générale, qui répondra à l'équation primitive singulière, et qu'on pourra trouver par les mêmes principes.

Car, si

est l'équation qui donne l'expression générale de y en x avec la constante arbitraire a, on aura l'équation entre les termes successifs y et y, ou y et y -h Aj, en éliminant a des deux équations

et le résultat de cette élimination, qui sera l'équation aux différences,

sera la même, soit que la quantité a soit une constante ou une quantité dépendante de œ, pourvu que, dans ce cas, elle soit telle que l'on ait

Cette équation, étant délivrée des fractions et des radicaux, sera toujours divisible par a — a, puisqu'en effet a ^ a satisfait; et il est clair que cette racine donne a égal à une constante, comme on l'avait supposé d'abord.

Si l'équation ne contient les quantités « et a qu'à la première dimension, le résultat de la division ne contiendra plus ces quantités; ainsi

sera la seule racine, et il n'y aura alors qu'une seule expression du terme général.

Mais, si ces mêmes quantités forment plusieurs dimensions dans l'équation dont il s'agit, elles s'y trouveront encore après la division par « — a, et l'on aura une nouvelle équation entre a et a, qui sera, par conséquent, aux différences premières par rapport à la variable a, et qui pourra donner encore une ou plusieurs valeurs de a avec de nouvelles constantes arbitraires. C'est le cas de l'équation que nous avons considérée ci-dessus.

En regardant a comme une fonction de x, a qui répond k œ -\- i deviendra, par le développement,

et la fonction Y[.r,y,a) deviendra aussi

par conséquent, l'équation en a et a deviendra

ia' F'(rt) H-. . .=: o.

Lorsque i devient infiniment petit, les termes qui contiennent /-.

i\ . . . devant être négligés vis-à-vis de ceux qui ne contiennent que i, l'équation précédente se réduit à

ia'F[a) = o,

laquelle donne

et, par conséquent, a constante, ou

d'où l'on tire a en fonction de x; c'est le cas des équations primitives singulières.

Dans ce cas donc, l'expression de a ne peut plus contenir de constante arbitraire ni dépendre de la quantité /; par conséquent, il faut que les termes qui renfermeraient i dans l'expression générale de a, tirée de l'équation en a et a, disparaissent absolument dans le cas de i infiniment petit, quand même ces termes ne deviendraient pas alors infiniment petits, comme nous l'avons vu dans l'exemple précédent.

La plupart des formules qu'on a trouvées par la considération des différences finies, et qu'on a ensuite traduites en Calcul différentiel, présentent des difficultés analogues dans le passage du fini à l'infiniment petit, et qu'on ne peut lever que par le même principe de rejeter indistinctement des formules finies tous les termes qui contiendraient des différences infiniment petites, de quelque manière que ces différences s'y trouvent contenues.

Ainsi, par exemple, on a, en employant les différences successives,