I II III

r — y+^r, :)" = ;-+2Aj+ A-j, 7=j + 3A74- 3A2/ + A^j-,

et, en général,

y = y-\- m A/ H ^ ùi.-y H !^ '-^ A^J H- ... ;

c'est l'expression du terme /?z'""^' (jui répond au terme x-\-mi de la

série x, x -{- i, x -h ii

Si donc on fait

le terme répondant à ^4-w sera, par la substitution de - au lieu de m.

Ar to(w — i] A-r ofo) — ?')('» — "^i) A-''r r + 'ji-^^ -^ H ^^ H -~ H-

Cette formule, donnée d'abord par Newton à la fin des Ptincipcr. pour l'interpolation des lieux des comètes, a été ensuite appliquée pai- Taylor au cas où, les différences i devenant infiniment petites et égales à dx, les différences Ar, A-j, . . . deviennent dy, d'-y

Alors, en négligeant les termes /, '>.i, 3«, ... vis-à-vis de w, on a I;;

formule

dy (y^- d-y w' </''j

dx 2 dx- 2 . 3 dx-'^ ' ' ' '

qui exprime la valeur de ce que devient y lorscjue x devient x -h m.

C'est la formule connue sous le nom de théorème de Taylor.

Cependant, comme les coefficients de i dans les facteurs successifs de la première formule vont en augmentant continuellement, il est visible que, quelque petit que soit i, il se trouvera à la fin multiplié par un coefficient si grand, que sa valeur pourra devenir comparable ;» celle de co, et ne pourra plus être, sans erreur, négligée vis-à-vis de celle-ci. Mais la suppression de tous les multiples de i, quelque grands

qu'ils soient, est néanmoins commandée par la nature de la chose, afin

1 • , Ar A-r ,, . • , i i-r»-'

que les quantités -^, -^^ ••• cessent d être exprimées par les difie-

rences finies des quantités y, y, y, ..., qui sont des fonctions semblables de X, x-hi, .r + 21', ..., et deviennent simplement les fonctions dérivées y', y", ... de la même fonction >-.

En effet, la quantité y étant regardée comme une fonction de .r, la formule dont il s'agit doit donner la même fonction de x -+- to, et nous avons démontré, d'une manière directe et rigoureuse, que cette fonction, développée suivant les puissances de w, est exactement égale à la série

La formule des sinus des arcs multiples s'applique de la même ma-

iiièro au développement des sinus par l'arc et est sujette aux mêmes difficultés.

En effet, on a, comme on l'a vu dans la Leçon X,

smm^ = m cos"'~'^' sino: ! '-^ — ^cos'""^^ sm^x

mim — \]{m — '?.](m — 3 ) (' «? — 4 ) 2.3.4.0

Supposons X infiniment petit et m infini, en sorte que mx ait une valeur finie s; donc //z = - 5 et les coefficients

m [m — I ) ( '" — '0 m{m — i ] ( /w — et.) [m — 3 ) ( m — 4 !

deviendront, en rejetant vis-à-vis de z tous les multiples de œ, quelque grands qu'ils puissent être,

D'un autre côté sinj:- se réduit à x, et cosa? à i; donc, faisant ces substitutions, on a

sin:; = Z —

formule exacte et rigoureuse, comme nous l'avons trouvé par les méthodes directes.

Ce n'est pas seulement dans le passage des différences finies aux différentielles que les fonctions changent de forme ; cela a lieu aussi dans plusieurs autres circonstances, et nous allons faire voir, par différents exemples, que l'analyse indique toujours et opère ce changement par des expressions qui deviennent alors zéro divisé par zéro.

Considérons d'abord la différentielle df[x). Suivant les principes rigoureux du Calcul des différences, on a

df[x]=--f[x-^dx]-f[x)

et, par conséquent,

df[x) f{x-^dx)-f[x] dx dx

Cette valeur de -^ — - devient - lorsque dx = o; pour savoir ce

qu'elle doit être dans ce cas-là, on suivra la règle exposée à la fin de la Leçon VIII, et que nous avons déduite de principes indépendants du Calcul différentiel.

On prendra donc les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relatives à la variable dx, et l'on y fera ensuite

dx = o.

On aura ainsi /'(a? h- dx), et, faisant dx =. o, on trouvera /'(^) pour

la valeur de -^ — ? lorsque

dx = o .

Cette valeur est, comme l'on voit, la même que celle que donne le Calcul différentiel, comme nous l'avons observé à la fin de la Leçon II.

Si l'on considère de même les différences secondes, on a d'abord rigoureusement

d- f{x) =f[x + idx) — 'i.f[x + dx] -\- f{x];

donc

d'^ f[x) f[x + 7dx] — ifix + dx) +/(.r]

dx'^ dx'^

En faisant

dx = o,

cette valeur de — j-^ devient -; on prendra donc alors les fonctions dx- o '

dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la variable

dx, ce qui donnera

f'[x -\- -idx) —f'{x -+- dx)

dx Cette expression devient de nouveau -> lorsqu'on y fait

dx = O;

c'est pourquoi il faudra prendre encore les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la même variable dx-, on X. 37

aura

■2.f"[x + ndx) —f"[x + dx].

En faisant ici

dx = o,

on a enfin /"(^) pour la valeur de / .^ ? lorsque

dx = o.

C'est, en effet, la valeur de la différentielle seconde de/{x), divisée par dx^.

On doit conclure de là, en général, que les expressions -j- ■, y-^, ? • • • >

employées dans le Calcul différentiel, ne peuvent être prises que pour des symboles des fonctions dérivées j', y",

Nous avons observé plus baut que Taylor n'était parvenu à la foi'mule qui porte son nom que d'une manière peu exacte. On peut, par les principes précédents, donner à son procédé toute la rigueur que l'Analyse exige.

Si, dans la formule générale d'interpolation donnée ci-dessus, on fait

elle devient

„, N /., \ ^ f{^) oi{o} — i) A- fix)

f{x -hO))—f{x) -+- 0) '' . + ■— 4:^ — -'

dans laquelle

A-/(-^) =/(^ + 2i)- if{x + /) +f[x).

Cette formule est générale, quel que soit i; mais, en faisant

les valeurs des expressions -^ — --, — ^4-^ — -■,• • • deviennent -•

Or ces expressions sont les mêmes que celles que nous avons considérées ci-dessus, en cbangeant A en d, et i en dcc.

Ainsi elles deviennent/'(it),/"(^), . . . dans le cas de

On a donc alors

f[x + .,) =f{x] + co/» + ^/"(x

comme nous l'avons trouvé dans la Leçon deuxième, d'une manière rigoureuse et directe.

On peut conclure de ce que nous venons d'exposer que ceux qui, d'après Euler, regardent les différentielles comme de véritables zéros, et, par conséquent, leur rapport comme celui de zéro à zéro, sont dans toute la rigueur de l'Analyse, parce qu'une fonction qui satisfait en général aux conditions d'une question ne saurait changer de forme

pour un cas particulier, qu'en passant par l'état de -; comme on peut

le prouver par plusieurs exemples.

On sait que la somme des n premiers termes de la progression géométrique

est exprimée par —-^ —

En regardant cette expression comme une fonction de n, on voit que cette fonction est de la forme exponentielle. Cependant, lorsque

la série devient

et la somme de n termes est n.

Ainsi, dans ce cas, il faut que la fonction exponentielle change de forme et devienne une simple fonction algébrique, ce qui ne peut se faire que par une espèce de saut que l'Analyse indique alors par l'expression -•

En effet, en faisant

la formule devient -; pour en trouver la valeur, il faut prendre

les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur relativement à la variable a, ce qui donne na"~* et par conséquent n, en faisant

La fonction primitive de x", ou l'intégrale de x"dx, est, en général,

Pour qu'elle commence au point où

il faut en retrancher la constante 1 et l'on a alors la fonction

Cette fonction de œ est toujours algébrique; mais, dans le cas où

elle devient -■> ce qui indique qu'elle doit alors changer de forme.

Pour trouver la nouvelle fonction, on prendra les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur de l'expression précédente relativement à la variable n; on aura ainsi, par les formules données dans la

Leçon IV,

x"+' Ix — rt«+' la.

En faisant

ÛC • • • I

on di Ix — la ou /— pour la fonction primitive de — > comme on l'a

trouvé dans la même Leçon par d'autres principes. La série

,cos"~'a: sin,r — ^ —^ '-cos""^^ sin^^

Cl ri ïï <y»

est représentée généralement par la fonction en sinus 5 comme

on le voit par la formule rapportée plus haut. Cette fonction devient - lorsque

n = o, auquel cas la série se réduit à

cos^ 3coS''^ 5cos'^

Cela indique que la fonction doit changer de forme dans ce cas; en effet, si l'on prend, suivant la règle, les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur, relativement à la variable n, la fonction devient xcosnoc et se réduit à la fonction circulaire x, en faisant

C'est, comme l'on sait, la valeur rigoureuse de la série

I , I lang^ — ^ lang-' x -{- ■= tang' x — ....

On voit clairement, par ces différents exemples, qu'il serait aisé

de multiplier s'il était nécessaire, que l'expression - est toujours le

symptôme d'un changement de fonction, ce qu'il me semble qu'on n'avait pas encore remarqué.

C'est par les principes exposés dans cette Leçon qu'on peut résoudre, d'une manière satisfaisante, les difficultés qu'on a toujours rencontrées lorsqu'on a voulu appliquer à un nombre infini d'éléments les formules qu'on avait trouvées pour un nombre fini quelconque. Le fameux problème des cordes vibrantes en fournit un exemple remarquable, et l'on peut voir, dans les Opuscules mathémaùques (t. I et IV), les objections que d'Alembert a faites contre la solution de ce problème, donnée dans le premier Volume des Mémoires de l'Académie de Turin ('), et déduite de la formule générale du mouvement d'un fil chargé d'un nombre quelconque de poids, en supposant ce nombre infini et chaque poids infini-

(') OE livre s de La grange, t. I, p. 3g.

ment petit. Dans la réponse à ces objections, qu'on trouve dans le second Volume des mêmes Mémoires {* ), je me suis contenté de faire voir, par l'exactitude des résultats, la légitimité des suppositions que j'avais employées dans le passage du fini à l'infini; mais la vraie métaphysique de ces suppositions dépend des mêmes principes que celle du Calcul des infiniment petits, sur laquelle il ne peut plus rester maintenant d'incertitude ni d'obscurité.

Nous allons terminer cette Leçon par quelques remarques sur l'invention du Calcul différentiel.

On peut regarder Fermât comme le premier inventeur des nouveaux calculs. Dans sa méthode de maximis et minimis, il égale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum à l'expression de la même quantité, dans laquelle l'inconnue est augmentée d'une quantité indéterminée. Il fait disparaître dans cette équation les radicaux et les fractions s'il y en a, et, après avoir effacé les termes communs dans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée par laquelle ils se trouvent multipliés; ensuite il fait cette quantité nulle, et il a une équation qui sert à déterminer l'inconnue de la question. En voici un exemple très simple, donné par Fermât.

Soit proposé de diviser une ligne donnée en deux parties, de manière que le rectangle de ces deux parties soit un maximum.

Nommant a la longueur de la ligne donnée et x une de ses parties, a — X sera l'autre, et l'expression dont on cherche le maximum sera ax — x"^. Ajoutant la quantité arbitraire e à l'inconnue x, on aura cette nouvelle expression

Egalant ces deux expressions, on a l'équation ax — x-=ia[x -h e) — [x -h e)-, savoir, en développant le carré {x -+- e)-,

ax — X- =: ax -{- ae — x- — ixe — e-.

(') OEuvres de Lagrange, t. I, p. 3 19.

Effaçant de part et d'autre les termes communs ax — œ^, et divisant

les autres par e, on a

OÙ il faut maintenant supposer e nul, ce qui réduit l'équation à

d'où l'on tire

ce qui montre que la ligne donnée doit être partagée par le milieu, comme on le sait d'ailleurs.

Il est facile de voir, au premier coup d'œil, que la règle déduite du Calcul différentiel, qui consiste à égaler à zéro la différentielle de l'expression qu'on veut rendre un maximum ou un minimum, prise en faisant varier l'inconnue de cette expression, donne le même résultat, parce que le fond est le même, et que les termes qu'on néglige comme infiniment petits dans le Calcul différentiel sont ceux qu'on doit supprimer comme nuls dans la méthode de Fermât.

Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Dans l'équation entre l'abscisse et l'ordonnée, que Fermât appelle la propriété spécifique de la courbe, il augmente ou diminue l'abscisse d'une quantité indéterminée, et il regarde la nouvelle ordonnée comme appartenant à la fois à la courbe et à la tangente, ce qui fournit une équation qu'il traite comme celle de la méthode de maximis et minirnis.

Ainsi, X étant l'abscisse et j l'ordonnée, si t est la sous-tangente au point de la courbe qui répond à a? et j, il est facile de voir que les

triangles semblables donnent ^-^ — — pour l'ordonnée à la tangente,

relativement à l'abscisse x -\- e, et cette ordonnée doit être égalée à celle de la courbe pour la même abscisse x -+- e. On aura donc l'équation dont il s'agit en mettant dans l'équation de la courbe .r + ^ à la

place de X , ci y -\- ~- "k la place de y. Cette équation, après les réductions, sera donc divisible par e; on divisera donc tous les termes par e.

et l'on supprimera ensuite comme nuls tous ceux où l'indéterminée e se trouvera, parce qu'on doit supposer cette indéterminée nulle. L'équation restante donnera la valeur de z en a; et y.

Ainsi, dans la parabole, par exemple, dont l'équation est

j2 — aX =: O,

en mettant j + — à la place de j, et a? + e à la place de x, l'équation devient

Mais

ax — ae= o.

donc, effaçant ces ternies et divisant les autres par e, on aura

et, effaçant encore le terme ^-r^» qui s'évanouit en faisant e nul, on

aura simplemen

itr

équation

d'où l'on tire

= -ÎX.

On voit encore ici l'analogie de la méthode de Fermât avec celle du Calcul différentiel; car la quantité indéterminée dont on augmente

l'abscisse a; répond à la différentielle dx, et la quantité ^5 qui est

l'augmentation correspondante de y, répond à sa différentielle dy.

Et il est même remarquable que, dans l'écrit qui contient la découverte du Calcul différentiel, imprimé dans les Actes de Leipzig du mois d'octobre 1684, sous le titre : Noi^a methodus pro maximis et minimis, etc., Leibnitz appelle dy une ligne qui soit à la ligne arbitraire dx comme l'ordonnée y à la sous-tangente, ce qui rapproche l'analyse de Leibnitz de celle de Fermât.

On voit que Fermât a ouvert la carrière par une idée très originale, mais un peu obscure, qui consiste à introduire dans l'équation une indéterminée qui doit être nulle par la nature de la question, mais qu'on ne fait évanouir qu'après avoir divisé toute l'équation par cette même quantité.

Cette idée est devenue le germe des nouveaux calculs qui ont fait faire tant de progrès, à la Géométrie et à la Mécanique; mais on peut dire qu'elle a porté aussi son obscurité sur les principes de ces calculs.

Maintenant qu'on a une métaphysique bien claire de ces principes, on voit que la quantité indéterminée que Fermât ajoutait à l'inconnue ne servait qu'à former la fonction dérivée qui doit être nulle dans le cas du maximum ou minimum, et qui sert en général à déterminer la position des tangentes des courbes.

Mais les géomètres contemporains de Fermât ne saisirent point l'esprit de ce nouveau genre de calcul; ils ne le regardèrent que comme un artifice particulier, applicable seulement à quelques cas et sujet à beaucoup de difficultés. On peut voir, dans le troisième Tome des Lettres de Descartes, sa longue dispute avec Fermât sur ce sujet. Aussi cette invention, qui avait paru un peu avant la Géométrie de Descartes, demeura-t-elle stérile et presque dans l'oubli pendant près de quarante ans; car, si l'on excepte la règle de Sluze pour trouver les tangentes, qui paraît déduite de la méthode de Fermât, et la méthode donnée par Wallis pour le même objet, laquelle n'est que celle de Fermât présentée d'une manière moins abstraite, cet espace de temps n'oifre rien qui ait rapport à la découverte de Fermât.

Enfin Barrow imagina de substituer aux quantités qui doivent être supposées nulles, suivant Fermât, des quantités réelles, mais infiniment petites, et il donna en 1674 sa Méthode des tangentes, qui n'est que la construction de celle de Fermât, par le moyen du triangle infiniment petit, formé des côtés e et -^5 et du côté infiniment petit de la

courbe, regardée comme un polygone. Il donna ainsi naissance au système des infiniment petits et au Calcul diff'érentiel. Mais ce calcul

n'était encore qu'ébauché, car il ne s'appliquait qu'aux expressions rationnelles, et exigeait le développement des termes, pour qu'on pût négliger ceux qui contiendraient le carré et les puissances supérieures des quantités infiniment petites.

Il restait donc à trouver un algorithme simple et général, applicable à toutes sortes d'expressions, par lequel on pût passer, directement et sans aucune réduction, des formules algébriques à leurs différentielles. C'est ce que Leibnitz a donné dix ans après dans l'écrit cité ci-dessus, qui renferme les éléments du Calcul différentiel proprement dit. 11 parait que Newton était parvenu, dans le même temps, ou un peu auparavant, aux mêmes abrégés de calcul pour les différentiations. Mais c'est dans la formation des équations différentielles et dans leur intégration que consiste le grand mérite et la force principale des nouveaux calculs; et, sur ce point, il me semble que la gloire de l'invention est presque uniquement due à Leibnitz et surtout aux Bernoulli.

Mais, tandis que cet édifice s'élevait à une hauteur immense, l'entrée en demeurait toujours mal éclairée. L'emploi de quantités qui doivent s'évanouir d'elles-mêmes, ou qui doivent être négligées en raison de leur petitesse, n'offre à l'esprit des commençants que des idées peu satisfaisantes et, par conséquent, peu propres à servir de base à la partie la plus importante des Mathématiques. Pour lever tous les scrupules et dissiper tous les nuages, il ne faut rien faire évanouir ni rien négliger; c'est ce qu'on obtient par la considération des fonctions dérivées.