LEÇON DIX-NEUVIÈME

DES FONCTIONS DE DEUX OU PLUSIEURS VARIABLES; DE LEURS FONCTIONS DERIVEES. NOTATION ET FORMATION DE CES FONCTIONS.

Nous n'avons encore traité que des fonctions d'une seule variable; car, lorsque nous avons considéré des fonctions de deux ou de plusieurs variables, nous avons regardé ces variables elles-mêmes comme fonctions d'une seule et même variable. Or, si l'on considère une fonction de deux ou de plusieurs variables indépendantes, il est clair que cette fonction pourra avoir différentes fonctions dérivées relatives aux différentes variables, et qui naîtront de la fonction primitive par le simple développement, en attribuant à chaque variable un accroissement particulier.

Ainsi le calcul des fonctions dérivées relatives à une seule variable conduit naturellement à celui des fonctions dérivées relatives à différentes variables, lequel n'est, comme l'on voit, qu'une généralisation du premier, et dépend des mêmes principes.

Si les inventeurs du Calcul différentiel l'avaient regardé d'abord comme le calcul des fonctions dérivées, ils auraient été conduits naturellement et immédiatement au calcul des fonctions dérivées relatives à plusieurs variables, et il ne se serait pas passé un demi-siècle entre la découverte du Calcul différentiel proprement dit et celle du calcul aux différences partielles, qui répond au calcul des fonctions dérivées relâ' tives à différentes variables. A plus forte raison, au lieu d'envisager ce dernier comme un nouveau calcul, on l'aurait seulement regardé comme une nouvelle application ou plutôt comme une extension du

Calcul difTérentiel, et l'on aurait, dès le commencement, embrassé sous un même point de vue et sous une même dénomination les différentes branches du même calcul, qui ont été longtemps séparées et comme isolées.

Soit d'abord /(ic, j) une fonction quelconque de deux variables x et y, que nous regarderons comme indépendantes l'une de l'autre. Si dans cette fonction on substitue à la fois a; + « à la place de x, et y -h o à la place de y, les deux quantités i et o étant indéterminées, qu'ensuite on développe la fonction /(a? + /, j + o) suivant les puissances ascendantes de i et de o, il est clair que le premier terme sans i ni o sera la fonction proposée /(a?, j), et que les autres termes seront de nouvelles fonctions de x et de y, multipliées successivement par

/', o, i', io, o^, P,

Ces fonctions seront aussi dérivées de la fonction primitive /(x,j), et l'on trouvera la loi de leur dérivation en considérant successivement les dérivées relatives à chacune des quantités i et o.

Pour cela, on commencera par supposer qu'il n'y ait que la variable x qui devienne x + /, la variable y demeurant la même, et l'on. développera la fonction /(j:-t- i,y) comme une simple fonction de x. On supposera ensuite que, dans les fonctions dérivées relatives à x, la variable y devienne j + o, et l'on développera chacune de ces fonctions comme des fonctions de y, en regardant alors la variable x comme une constante.

Il naîtra ainsi, du développement de /{x -]- i, y -\- o), différentes fonctions dérivées de la fonction primitive /( a;, j), dont les unes seront relatives à la variable x, les autres seront relatives à la variable j, et d'autres enfin seront relatives en partie à la variable x et en partie à la variable y, la loi du développement étant toujours la même, mais appliquée successivement aux différentes variables.

Mais, pour ne pas confondre dans la notation ces différentes fonctions dérivées, on pourra dénoter les fonctions dérivées, relatives à la seule variable x, par des traits appliqués, comme à l'ordinaire, à la caractéristique de la fonction, et suivis d'une virgule; les fonctions

dérivées relatives à la variable y, par des traits appliqués à la même caractéristique, mais précédés d'une virgule; enfin les fonctions dérivées relatives en partie à la variable ce et en partie à la variable r, par des traits séparés par une virgule, de manière que ceux qui précèdent la virgule se rapportent à la variable ^, et ceux qui la suivent se rapportent à la variable y.

Cette notation conserve mieux l'analogie qui doit régner entre les fonctions dérivées et la fonction primitive /(a% y), dans laquelle la virgule sépare les deux variables indépendantes £c et y, que celle que j'avais employée dans la tbéorie des fonctions, en appliquant au bas de la caractéristique /les traits relatifs aux fonctions dérivées par rapport à la seconde variable y.

D'ailleurs nous trouvons plus convenable d'employer, comme nous l'avons déjà fait dans la Leçon XVII, les traits inférieurs pour désigner les fonctions primitives d'une fonction donnée.

De cette manière on aura donc, en premier lieu.

Substituant maintenant partout j -i- o à la place de y, on aura

+ Çr {^,r + o) + ^f'"' [x,.y+o)+..,.

Développons successivement les fonctions

f[x,y + o], f''[x,y^o], f"'[x,y+o], ... comme des fonctions de j-f- o; on aura pareillement

f[x,r + o)=f[x,r] + of''[x,y) + ''lf-"[x,r]-^^f-"\x,r)^..., f"{x,r+o)=f''{x,r) + of"{x,y) + ^-^f''"{x,r]+...,

f"'[x,r+o)^f"'[x,y) + ..., et ainsi de suite.

Faisant donc ces substitutions et ordonnant les termes par rapport aux puissances et aux produits de i et o, on aura ce développement complet

+ -f"'[^.r) + iof'''(x,r] + -f'"{^,r)

dans lequel la forme générale du terme est

Dans l'opération que nous venons de faire pour avoir le développement de /{oc -i- i, y -{- o), nous avons commencé par substituer, dans f[x,y), oc -i- i pour oc, et nous avons développé suivant i; nous avons ensuite substitué, dans tous les termes de ce développement, y -\- o pour y, et nous avons développé suivant o.

Or il est visible qu'on aurait identiquement le même résultat si l'on commençait l'opération par la substitution de y h- o à la place de y, et par le développement suivant o, et qu'on fit ensuite la substitution de oc -h i pour x, et le développement suivant i.

De cette manière on aurait d'abord les fonctions primes, secondes, ... relatives à y, c'est-à-dire, suivant la notation que nous venons d'employer, les fonctions

Ensuite on aurait les fonctions primes, secondes, ... de celles-ci relatives à oc, et qui seraient désignées par

et l'on obtiendrait ainsi la même formule que ci-dessus, comme cela doit être.

Mais il faut remarquer que, dans le premier procédé, la fonction f''\x -h j), relative à la fois à a? et à y, s'obtient en prenant d'abord la fonction prime de/(^, j) relativement à ic, ce qui donne/'- (^,j), et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à j, d'où résulte la fonction seconde /'''(ap,j); et, dans le second procédé, la même fonction s'obtient en prenant d'abord la fonction prime de/(^, j) relativement à j, ce qui donne/''(^, j), et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à a;, ce qui donne également/'''(a7, y).

D'où il suit qu'il est indifférent dans quel ordre se fasse la double opération nécessaire pour passer de la fonction primitive /(^,jk) à la double dérivée/'' '(^,j).

Et, comme on doit dire la même chose des autres fonctions dérivées dénotées par des traits séparés par une virgule, on en peut conclure, en général, que les opérations indiquées par les traits placés avant et après la virgule sont absolument indépendantes entre elles, et qu'elles conduisent aux mêmes résultats, quelque ordre qu'on suive en prenant les fonctions dérivées relativement à a; et j, indiquées par les traits qui précèdent ou qui suivent la virgule.

Ainsi on aura également la valeur de la fonction dérivée triple /"''{oc, y), en prenant la fonction seconde û.ef[x,y) relativement à x, et ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y, ou en prenant d'abord la fonction prime de/(^,j) relativement à j, et ensuite la fonction seconde de celle-ci relativement à x, ou bien encore en prenant la fonction prime de/(^, j) relativement à x, ensuite la fonction prime de celle-ci relativement à y, et enfin la fonction prime de cette dernière relativement à x, et ainsi de suite.

Soit, par exemple,

on aura les fonctions primes, relatives à a: et j,

^' f''i^'r) = -yn

La première donnera, relativement à y, la dérivée

et la seconde donnera écalement, relativement à x,

ensuite on aura, relativement à a; et à y seuls,

La dérivée, relativement à y, Aef"'[x,y) sera

et la dérivée, relativement à x, &Qf^'[x,y) sera aussi

et ainsi des autres.

A l'imitation de ce que nous avons fait sur les fonctions d'une variable, si l'on suppose que la variable :; soit une fonction de deux variables x et y, soit explicite, soit donnée simplement par une équation quelconque entre x, y et z, on pourra désigner par

ses différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre s les traits avec la virg'ule qu'on applique à la caractéristique y.

Ainsi, X devenant x -h i et j devenant en même temps y -h o, la valeur de z deviendra

3 + fs''4-0 2''H :"'+ /02'''H V" -\ :r2"'H 2 ' -f- . . .,

et le terme général de cette série sera

On voit que les fonctions de deux variables engendrent, par le développement, différentes sortes de fonctions dérivées dont la dérivation répond à chacune de ces variables, et que ces fonctions dérivées se forment de la même manière et par les mêmes règles que celles d'une seule variable, en considérant chaque variable séparément et successivement; d'où il suit que tout ce que nous avons démontré sur les fonctions d'une seule variable pourra s'appliquer de même aux fonctions de deux variables, relativement à chacune d'elles.

On pourra donc aussi étendre la théorie des fonctions dérivées aux fonctions de trois variables ou d'un plus grand nombre; car il ne s'agira que de répéter séparément, pour chaque variable, les mêmes opérations, et de les désigner par une notation semblable.

Dans les Leçons précédentes, où nous ne considérions que les fonctions dérivées relativement à une seule variable, lorsqu'il s'est présenté des fonctions de plusieurs variables, nous nous sommes contentés de renfermer, sous la caractéristique des fonctions dérivées, la variable par rapport à laquelle nous voulions avoir la fonction dérivée.

Ainsi, pour ne pas anticiper sur ce qui regarde les fonctions dérivées relatives à plusieurs variables, nous avons dénoté jusqu'ici par/'(a7), f"{oc), ... les fonctions dérivées àQf[x,y) relatives à la seule variable X, qui, suivant la notation précédente, seraient /''(cT, j), f"'{x,y), ....

Cette manière de noter les fonctions dérivées relativement à une seule variable nous suffisait alors, et nous pourrons l'employer encore quelquefois, pour plus de commodité, pourvu qu'on soit prévenu de son identité avec la notation que nous venons d'établir.

Quoique, dans les fonctions de deux variables que nous considérons ici, les deux variables soient censées indépendantes, et que ce soit même cette indépendance qui produise les différentes espèces de fonc- X. 3.9

tions dérivées dont nous venons de parler, rien n'empêche cependant qu'on ne puisse regarder ces variables elles-mêmes comme des fonctions d'une autre variable quelconque, mais fonctions indéterminées et arbitraires.

Par cette considération, on peut ramener, en quelque manière, la théorie des fonctions de deux variables à celle des fonctions d'une seule, et appliquer, surtout au développement des fonctions de deux ou de plusieurs variables, ce que nous avons démontré dans la Leçon XVIII, sur le développement des fonctions d'une seule variable.

Soit z une fonction de deux variables x ei y; supposons que chacune de ces variables soit elle-même une fonction d'une autre variable t, de manière que z devienne une simple fonction de t; sous ce point de vue, lorsque / devient t-\-i, z deviendra, par la formule générale (Leçon II),