X ■+- IX -\ X

r + ir' H — /' + ...,

et l'on trouver-a les valeurs des fonctions dérivées s', z", ... en ^, y, :r', y, x", y", . . . par les procédés exposés dans la Leçon VI.

Si l'on ne veut avoir le développement de z que par rapport aux accroissements ix' et iy' de x et y, il n'y aura qu'à supposer x' et r' constants; par conséquent

et x' et y pourront être des coefficients quelconques.

Si, dans les accroissements de x et y, on voulait considérer les deux termes

ix'-h — x", iy -\ y",

on ne ferait alors que

x"'=zo, y" = o,

et x' , x", y , y pourraient être prises pour des constantes quelconques, et ainsi de suite.

Soit, par exemple,

on aura, en prenant les dérivées d'après la Leçon VI, et supposant .c',/' constantes,

z' =z 2 m ( xx' -}- jY ) [x--\- y-)"^~'\

+ \m{m— i) [xx' -+-yy]- [x"^ + y-)"^-- ,

z'" =1 ïim[m — \)[x'--\-y''^)[ xx' -f- yy' )[x- -\- y- )"'■''- + 8m [m — i) (m— 2) [xx' H- jj')^ [x- -{- y-)'"-^,

et ainsi de suite.

Donc, lorsque x et y deviennent x + ix', y + iy', on aura

[[x' + ix'y^^iy^iyr-y^

= [x- -^-y^)"'-\- 2m [xx' -+• yy') [x--h y'^)'"'^ i

■ ['zm[x'--hy"-] [x--{-y-)"'-'-i- 4 m (m — 1 ) [xx'+yy')- [x'+y- )'« -^ ]

Si l'on veut s'arrêter à ces trois premiers termes, alors, le terme

suivant étant -^z'", on aura les liantes du reste en substituant ^ h- ;V,

Y-hiy, au lieu de x et de j, dans l'expression de z'", et prenant la plus grande et la plus petite valeur de cette expression depuis « = o.

Si m — 3 est un nombre positif, et que x' et y' soient aussi des quantités positives, il est facile de voir que la plus petite valeur de z'" sera

12m (m — i) [x'^-hy'-] [xx +yx') [x- -i- y^)'"--^ 4- 8m (m — 1) (m — 2) [xx' + yy')^ {x^ -\-y^^)'"~»,

qui répond à i = o, et que la plus grande sera cette même quantité,

en y mettant x -+- ix' et j -f- iy' à la place de x et y.

Si l'on voulait avoir le développement de z répondant k x -[- i et

y + o, comme dans le commencement de cette Leçon, il est clair qu'il

n'y aurait qu'à faire

x' = i, iy' = o;

on trouverait des résultats semblables.

Car, en désignant par des traits sans virgule les fonctions dérivées par rapport à la variable principale t, et par des traits séparés par une virgule les fonctions dérivées relativement à chacune des variables x et J, comme nous l'avons fait ci-dessus, on aura, suivant ce qu'on a vu dans la Leçon VI sur les dérivées des fonctions composées d'autres

fonctions,

de là, en prenant les fonctions dérivées par rapport à la variable principale /,

Mais, :;'• et s*' étant aussi regardées comme des fonctions de x et y, leurs dérivées relatives à t seront

{z'')'=x'z"--^y'z''', {z'']' = x'z'''-i-yz'".

Donc, substituant,

z" = x"z''-hy"z''^x'-^z"'-h ixy-' z''' + y^-z'",

et ainsi de suite.

Si les fonctions dérivées x' et y', relativement à /, sont constantes, en sorte que x" ~ o, y"= o, x"'= o, . . ., on aura simplement

z" ^x'-^z"' + ix'x' z''' +x'^-z'",

z'" —x''iz"'' + 'ix'-^fz"''+ ■ix'y'-^z''"-\-x'^z'"',

2 ('")=: ^'m;3(m)'| m Jc'"'"' j' z('«-"''H — x''"-'--y' ^ z'^'"'-''" A-

Ces valeurs, substituées dans la formule générale

donnent

z -\- i [x' z'' -h/ z-') + - {x''-z"' + 2xy'z''' -hx'^-z'")

+ -^[x'-'z"''+ 3x'-yz"'' + 3xx'^-z''"-hy'^z'"'] -+-

Et, si l'on fait

x'=i, if—o,

on aura la même formule trouvée plus haut pour le développement de z, suivant les puissances de i et o.

Les expressions des fonctions z' , z", . . . que nous venons de trouver donnent la composition des fonctions dérivées de fonctions quelconques des deux variables a: et y.

Ainsi, en faisant

ce qui revient à prendre ce pour variable principale, c'est-à-dire à regaider y comme fonction de ce, si l'on veut que

soit une fonction dérivée d'une fonction de x et y, en la comparant ii

l'expression de z', il faudra que l'on ait

Pour éliminer z de ces deux équations, il n'y a qu'à prendre leurs dérivées par rapport à y pour la première, et par rapport à x- pour la seconde; on aura ainsi

f(r) = .''', <?'{x) = z"', d'où l'on tire

C'est l'équation de condition connue pour que la formule

puisse être une dérivée exacte d'une fonction de x et y, indépendamment d'aucune relation entre x et y.

Ainsi, sans cette condition, il serait illusoire de supposer l'équation

à moins d'admettre en même temps une relation quelconque entre x et y, ou entre x, y, z.

En général, si l'on avait l'équation

z' = x' ^[x,y,z] +/ cp(x,j, z),

on trouverait, par les mêmes principes, la condition nécessaire pour (|u'e!le put avoir une équation primitive indépendamment d'aucune relation particulière entre oc, y, z.

Car, en comparant cette expression de z' avec l'expression générale de z' donnée ci-dessus, on a pareillement

Pour que ces deux équations s'accordent, il faudra que la dérivée de '\{x, y, z ) par rapport à y soit égale à la dérivée de <p(a^, y, z) par rapport à X, puisque l'une et l'autre deviennent z'"'.

Or. z étant censée fonction de a;, y (puisque, si l'équation proposée

a une primitive, la valeur de z sera déterminée par cette primitive en fonction de x et y), il faudra la regarder comme telle dans les fonctions ^[x,y,z) et 9(^,7,3); et, d'après notre notation, il est clair que la dérivée de ^[x,y, z), par rapport à j, sera exprimée par

et que la dérivée de ^[x,y, s), par rapport à x, sera

On aura donc l'équation de condition

^'[r] + '^'{z) z'' = <f'{x) + 9'(z)3'', savoir, en substituant pour z'- et z'' leurs valeurs,

et cette équation devra avoir lieu d'elle-même, c'est-à-dire être identique pour que la variable z puisse être une fonction de x et y, et que, par conséquent, la proposée ait une primitive en x, y et z. Dans ce cas, on trouvera facilement cette primitive au moyen de l'une ou de l'autre des deux équations

Car, prenant, par exemple, l'équation

dans laquelle z'- est la dérivée de :^ en y regardant/ comme constant, on pourra la traiter comme une équation du premier ordre entre x et s, l'autre variable y étant supposée constante; et, ayant trouvé sa primitive dans cette supposition, il faudra regarder la constante arbitraire comme une fonction inconnue de y, qu'on déterminera ensuite par le moyen de l'autre équation

Mais, lorsque l'équation de condition que nous venons de trouver

n'aura pas lieu d'elle-même, l'équation proposée ne pourra pas subsister, à moins qu'on ne suppose une relation quelconque entre oc, y, z, de manière que deux de ces variables deviennent fonctions de la troisième.

Ainsi, dans ce cas, en supposant

on aura

et, substituant ces valeurs dans l'équation ci-dessus, on aura alors une équation en ce, y etj', par laquelle on pourra trouver la valeur de y en X, et l'on aura j et s en fonctions données de x, la fonction /(.r,j) demeurant indéterminée.

Mais, comme on pourrait avoir ainsi une équation du premier ordre en X et y, dont il serait difficile et peut-être impossible de trouveil'équation primitive, on a cherché les moyens de donner à la fonction arbitraire une forme telle que l'on ait immédiatement, pour la détermination de jK et ^ en x, deux équations entre ces variables.

Pour en donner un exemple très simple, supposons l'équation

on aura ici

donc

']^[x,x) = x'^y; ^>{x,y)=xx'^', ^'[y)~x^-, ^'[x]=x^-.

Ainsi il est impossible que z soit une fonction de x et j, regardées comme indépendantes entre elles.

On fera donc

et l'on aura

donc

z' = x'^f[x]+xp[x)f'[x];

par conséquent z sera égal à la fonction primitive de

x-^f[x]-^xp[x)f'{x).

Mais on peut éviter la recherche de cette fonction primitive, en mettant le terme ocy-y' de l'expression de z' sous la forme {^^) — =V' ce qui réduit l'équation à cette forme

et supposant ensuite moyennant quoi elle devient

dont la primitive est

Ainsi ces deux équations remplacent conjointement l'équation proposée, la fonction /(a?) demeurant arbitraire.

On doit dire, à plus forte raison, la même chose des équations que l'on pourrait supposer entre x, y, z et y', z', dans lesquelles les fonctions dérivées y, z' monteraient à des puissances quelconques.

Qu'on suppose, par exemple, l'équation

en faisant on aurait

Et il faudrait, pour avoir :; en x, trouver la fonction primitive de

y/i +-f''\x), ce qui est impossible tant que la fonction /(x) demeurera indéterminée, à moins d'employer les séries.

Mais, en introduisant une troisième variable, on peut avoir des expressions finies de x, y, z en fonction de cette même variable.

Pour cela il faut rétablir la fonction prime x', qui est = i lorsque .r

est la variable principale, et substituer, par conséquent, =^ et ^ à la

place de y et :■', conformément aux principes établis dans la Leçon septième. Ainsi l'équation sera

Pour résoudre cette équation de la manière la plus générale, nous emploierons un principe dont nous ferons, dans la suite, un plus grand usage, et qui consiste à trouver d'abord des expressions de x, y, - qui y satisfassent avec des constantes arbitraires, et à rendre ensuite ces constantes variables, de manière que les expressions des dérivées x', y', 3' restent les mêmes.

Prenons un angle arbitraire w; puisque

sin^M + cos-60 = I, en multipliant le second membre de l'équation proposée par

sin-w + cos-co,

le premier ne changera pas.

Or le produit de oc'^ + j'^ par sin-w + cos^w peut se mettre sous la

forme

[y ces 0 — ^' sin 0) ) 2 + ( j' sin m + x' ces oy]-;

de sorte que l'équation proposée deviendra

z'2=r: (j'cGSo) — x' sinG))2-i- (j'sinco -+■ x' cosw)-.

Supposons

j'siUM H- x' cosw = o,

ce qui est permis à cause de l'indéterminée oj; on aura, en extrayant la racine carrée des deux membres,

z' =^y' cosc) — x' sinw.

Regardons d'abord l'angle o^ comme constant; les deux équations que nous venons de trouver auront pour primitives ces deux-ci :

z = jcosw — X sin M -h a, y sin&) + X cosw = b,

a et b étant deux constantes arbitraires.

Ainsi ces deux équations donnent des valeurs de y et z en .r qui satisfont à l'équation proposée, quelles que soient les valeurs des trois constantes a, b et m, comme on peut s'en assurer par la substitution.

Or il est facile de concevoir que ces mêmes valeurs satisferont encore à la proposée, en supposant que les quantités a, b et m soient variables, pourvu que les dérivées ^', r', ^' restent les mêmes, ce qui aura lieu si, en prenant les dérivées des deux équations précédentes, les termes dus aux dérivées de a, è et œ se détruisent.

Il n'y aura donc qu'à prendre les dérivées des mêmes équations par rapport à a, b et oj, et déterminer, par leur moyen, les variables a et b.

Regardons dans ces dérivées la variable w comme la principale; nous ferons

et l'on aura

— y siiiw — X cosM -1- d' = o,

j^-coso) — X sine.) = b' .

Mais nous avons déjà

f sinoj + X COS&) = b;

donc on aura ce qui donne et, par conséquent,

Ainsi on aura ces trois équations

z == j'cosc.3 — X sin&) -\- a, j sin M -i- ^ CCS w = rt' , y ces w — X sin o := a" .

Mais, a étant une fonction quelconque de w, si on la dénote par/(w), on aura

et les trois équations précédentes fourniront ces expressions de or, y, z

en w,

^ = CCS w /' ( w ) — sin w /"( M ) ,

y'=z sinw/'(«) -+- cosw/"(w),

la fonction /(to) demeurant arbitraire.

Ces formules pourraient servir à trouver des courbes rectifiables; car, si ^ et j sont les coordonnées rectangles d'une courbe plane, et z l'arc correspondant, on sait, par le Calcul différentiel, et je l'ai démontré rigoureusement dans la Théorie des fonctions ('), que l'on a

en regardant x Qiy comme fonctions d'une même variable quelconque. Si l'on fait/'(a)) = w, on a

/"(w)=o et /((«)) = mM + H;

les formules précédentes donneront

:c = mcosw, y^^msmoi, z ^ mw -+- n,

ce qui est le cas du cercle.

En prenant pour/(w) des fonctions quelconques de sinoj et cosw, on aura autant de courbes algébriques qu'on voudra, dont là rectification sera algébrique aussi, problème sur lequel les géomètres se sont autrefois beaucoup exercés, et dont on peut voir différentes solutions dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.

Les équations dont nous venons de nous occuper sont connues sous le nom adéquations qui ne satisfont pas aux conditions d'intégrabilité. On trouve des solutions élégantes de plusieurs de ces équations dans un Mémoire de Monge imprimé dans le Recueil de l'Académie des Sciences pour l'année 178/4.

La notation que nous avons employée pour désigner les fonctions

(') OEuvres de Lagrangr, t. IX.

dérivées de z par rapport à^etj, par des traits séparés par une virgule, est, comme l'on voit, très simple et conforme à la nature de la chose ; mais elle ne met pas en évidence les variables auxquelles chaque groupe de traits doit se rapporter; et, si l'on avait des fonctions de plus de deux variables, la multitude des virgules pourrait rendre la notation incommode et causer de la confusion par rapport aux variables auxquelles les différentes fonctions dérivées répondraient.

On pourrait, dans ces cas, employer avec avantage la notation que j'ai déjà proposée dans l'Ouvrage sur la Résolution des équations numériques ( ' ), et qui dérive aussi de la nature de ce calcul.

En effet, la formule donnée plus haut

fait voir que, si l'on veut considérer à part les dérivées relatives à x et Vf on a, par rapport à x,

z — Jt ^ ,

donc

ici z ne doit être pris que par rapport à la variable t, en tant qu'elle est renfermée dans la fonction x\ et, pour indiquer ce point de vue, il

n'y a qu'à enfermer l'expression —, entre deux parenthèses, ce qui donnera

On aura pareillement, par rapport à j,

donc

z' en renfermant l'expression — entre deux parenthèses, pour indiquer

( ') OEuvrcs de Lagrunge, t. VIII.

qu'ici la dérivée s' n'est relative à la variable t qu'autant qu'elle est

renfermée dans y, on aura

De cette manière, l'expression de la dérivée z' prendra cette forme

où l'on voit que (^ ) ' (-7) ne sont proprement que les coefficients

de x' et de y' dans l'expression de la dérivée z'.

Comme la variable t, dont on suppose que x ei y sont fonctions, demeure indéterminée, en prenant x pour t, on aurait

l'expression i—A deviendrait alors simplement [z'), et indiquerait,

comme elle le doit, la fonction dérivée de z par rapport à la variable principale x; de même, en prenant y pour /, on aurait

et l'expression (— | deviendrait aussi [z'), et indiquerait la fonction

dérivée de z par rapport à la variable principale y.

Mais, pour distinguer ces fonctions l'une de l'autre, nous retiendrons toujours les lettres x' et y' sous z' , et nous entendrons simplement

par (— ;)' ( T/) '6S fonctions dérivées de - par rapport à ^ et y.

D'ailleurs cette manière d'exprimer les fonctions dérivées a l'avantage de faciliter la transformation de ces fonctions lorsqu'on veut les rapporter à d'autres variables.

Ainsi, comme l'expression (^| indique que z est regardé comme

fonction de x, l'expression réciproque ( — j indiquerait que x serait

regardé comme fonction de z; et il est facile de se convaincre, par la

DES FONCTIONS. ;ni)

nature de ces expressions, que l'on a, en effet,

comme si les parenthèses n'existaient pas, de sorte que l'on aura

Si donc, au lieu de regarder z comme fonction de x et y, on voulait regarder x comme fonction de :; et r, on substituerait d'abord

^7- à la place de (^^

Ensuite, pour avoir la valeur de l'autre fonction dérivée ( — )' on

remarquerait qu'ici la variable x est censée constante, puisque z n'est regardée que comme fonction de y.

Or, X étant supposée fonction de j et z, on aura, en général,

donc, pour que x soit constante, x' devra être zéro, ce qui donnera l'équation

d'où l'on tire

et cette valeur de — i tirée de la supposition de x constante, sera, par

conséquent, la même que celle de

D'où il suit que l'on aura ces transformées

x' 1 ( x' \ Ky' I i ^'

De sorte que, si l'on a une équation qui contienne jc, y, z avec les fonctions dérivées {—!]•> (-7)' elle ne changera pas essentiellement

par les substitutions précédentes; seulement, au lieu de supposer z fonction de x et j, ce sera x qui sera fonction de y et :;, et ainsi pour les cas semblables.

Maintenant, puisque (-7) est une fonction de x et y, on aura de même, en prenant sa dérivée relativement à t,

mais, comme x et y' , entre les parenthèses, n'ont qu'une signification (le convention, on peut, sans inconvénient, écrire

,^7') à la place de \-^)^ \-^.

et, par conséquent,

On aura de même

m-'if

où

l'on voit que les symboles

expriment ici ce que nous avions dénoté plus haut par les signes

Donc la dérivée seconde de z, c'est-à-dire la valeur de z" que nous avons donnée plus haut, sera représentée ainsi

On voit ici que l^~j et l^j sont aussi les coefficients de x'"" et fdans l'expression complète de z", mais que l^\ n'est plus le simple coefficient de x'y dans la même expression, comme on serait porté à le supposer d'après sa notation.