LEÇON VINGT-DEUXIEME

(Conliluiation de la Leçon précédente.) MÉTHODE DES VARIATIONS, DÉDUITE DE LA CONSIDÉRATION DES FONCTIONS.

La méthode des variations, fondée sur l'emploi et la combinaison des caractéristiques d et^ qui répondent à des dlfférentiations différentes, ne laissait rien à désirer; mais cette méthode ayant, comme le Calcul différentiel, la supposition des infiniment petits pour base, il était nécessaire de la présenter sous un autre point de vue pour la lier au Calcul des fonctions : c'est ce que j'ai déjà fait dans la Théorie des Fonctions; mais je vais reprendre ici cet objet, pour le traiter d'une manière plus directe et plus complète.

Lorsqu'une fonction donnée de plusieurs variables et de leurs dérivées ne satisfait pas aux conditions que nous avons trouvées dans la Leçon précédente, elle ne peut pas avoir une fonction primitive, à moins qu'il n'y ait des relations établies entre ces variables, de manière qu'il n'y reste qu'une seule variable indéterminée; et les questions de maximis et de minimis dont il s'agit ici consistent à trouver des relations telles que la fonction primitive qui en résultera soit un maximum ou un minimum entre des limites données, c'est-à-dire entre des valeurs données de la variable qui demeurera indéterminée.

On voit d'abord que cette question dépend nécessairement de ce que la fonction primitive ne puisse avoir lieu sans une relation entre les variables; car si elle pouvait être une fonction déterminée des différentes variables et de leurs dérivées, elle ne serait plus susceptible que des maxima ou minima du genre ordinaire, relativement à cha-

cuiu' des variables et de leurs dérivées considérées comme des variables particulières.

Considérons donc une fonction quelconque de .r, y, y', y", . .., que nous désignerons par V et que nous supposerons n'avoir point de fonction primitive dans l'état où elle est; pour qu'elle en ait une, il faudra supposer 7 = 9(^7); et, pour que la fonction primitive qui en résulte, et que nous dénoterons par U, soit un maximum ou un minimum entre des limites données qui répondent à des valeurs données de oc, il faudra qu'en faisant varier tant soit peu la fonction ip(^), la valeur de la fonction U prise entre ces limites diminue dans le cas du maximum, et augmente dans le cas du minimum.

Supposons que l'expression de r soit, en général, une fonction de x et i, que nous représenterons par (!^{x, i), et qui soit telle qu'elle devienne (p(a?) lorsque i = o.

La fonction U deviendra aussi une fonction de ,x et i, et, pour qu'elle soit un maximum ou un minimum, il faudra qu'en donnant à i une valeur quelconque très petite, et supposant d'ailleurs la composition de la fonction ç(^, i) arbitraire par rapporta i, elle ait une valeur moindre dans le cas du maximum, et plus grande dans le cas du minimum que lorsque /=o. Si l'on développe cette fonction suivant les puissances de i, elle deviendra

on indiquant par des points les fonctions dérivées par rapport à /, dans lesquelles il faut faire, après la dérivation, i = o, comme on l'a vu dans la Leçon IX.

Ainsi l'accroissement de U, à raison de la quantité i, sera exprimé par les termes

'- ir l

et il faudra pour le maximum que la somme de ces termes ait une valeur négative, et pour le minimum que sa valeur soit positive, i étant une quantité quelconque très petite et indépendante de œ.

On a prouvé dans la Leçon citée qu'on peut toujours donner à i une valeur assez petite pour que le premier ternie i\] surpasse la somme de tous les suivants; d'où il suit qu'alors l'accroissement de U aura le même signe que le terme «Û; mais il est visible que ce terme change désigne avec la quantité i qui n'y est qu'à la première dimension; donc il est impossible que l'accroissement de U soit constamment positif ou négatif en donnant à i des valeurs quelconques très petites, à moins que le premier terme i\J du développement de U ne disparaisse, ce qui donne d'abord la condition U = o, qui est, comme l'on voit, commune aux maxima et aux minima.

Cette condition étant remplie, l'accroissement de U se réduira à

et, par un raisonnement semblable à celui que nous venons de faire,

on pourra prouver aussi que le premier terme — U devra être positif

ou négatif pour que la variation soit positive ou négative; mais, ce terme étant multiplié par le carré de i, il est clair que son signe sera indépendant de i et ne dépendra que de celui de la quantité L, laquelle devra donc être toujours négative dans le cas du maximum, el positive dans le cas du minimum; ce qui contient le caractère (jui distingue les maxima des minima.

Telle est la théorie générale des maxima et minima que nous avons cru devoir rappeler ici pour ne rien laisser à désirer.

Dans les questions ordinaires, la quantité U, qui doit être un maximum ou un minimum, est une fonction donnée de x, et les dérivées Ù, U, . . . sont prises par rapport à ce; alors l'équation U = o devient 1^1' = o, et donne la valeur de .r; ensuite le signe de U" distingue le maximum du minimum.

Dans les questions dont il s'agit ici, la fonction U n'est donnée que par sa fonction dérivée Y; la fonction cp(a;) est l'inconnue, et les dérivées Ù, ij, ... sont censées prises par rapport à la quantité i qu'on sup- X. 5i

pose contenue dans la fonction (^[œ,i). Ainsi la difficulté consiste à déduire ces dérivées de la fonction donnée V.

Or, jetant 0(^7), lorsque 0(^7) devient ©(^r, i),j deviendra

en dénotant, comme plus haut, par des points les fonctions dérivées par rapport à i, dans lesquelles on fait ensuite i = o, de sorte que ces fonctions deviennent de simples fonctions de ce, qui peuvent même avoir une valeur quelconque, parce que la composition de la fonction o{x, i) est supposée arbitraire par rapport à i.

Ainsi, en prenant les fonctions dérivées par rapport à oc, il est clair que y deviendra pareillement

r ^ly + -/ + ..., et y" deviendra de même

r"+iy"+'ly" + ---,

et ainsi de suite.

Faisant ces substitutions à la place des quantités y, y', y", . . . dans la fonction donnée V et développant ensuite les puissances de i, cette fonction deviendra

et, par la théorie des fonctions dérivées exposée dans les premières Leçons, il est facile de conclure que la quantité V, qui, étant multipliée par i, forme le premier terme du développement, sera la fonction dérivée de V, en supposant x constant et y, y', y", . . . des variables indépendantes, dont les fonctions dérivées soient respectivement y, y', y", .... De même V sera sa fonction dérivée du second ordre, prise relativement aux mêmes variables, et en supposant que y, y', y", . . . soient les fonctions secondes de y, y', y", . . ., et ainsi de suite.

Nous appellerons en général variations du premier ordre, du second, etc., ces dérivées marquées par des points et relatives à la quan-

tité i, dans lesquelles cette quantité est supposée nulle. Ainsi y sera la variation du premier ordre dej, y' sera la dérivée ordinaire de cette variation, y sera la variation du second ordre de y, et ainsi de suite. De même, Y, V, ... seront les variations du premier ordre, du second ordre, etc., de Y; et U, Û, ... seront aussi les variations du premier ordre, du second ordre, etc., de U. Et pour former ces variations, on suivra les mêmes règles que pour les fonctions dérivées ordinaires. Ainsi, en faisant

on aura, suivant la notation employée dans ces Leçons,

Il est visible que cette fonction V est la même chose que celle que nous avons désignée par Y au commencement de la Leçon précédente, en changeant seulement y en w, parce que nous avons supposé alors que l'accroissement de y était représenté simplement par/w.

Maintenant, puisque U est supposé la fonction primitive de Y en y faisant y = ç(^), quelle que soit la fonction 9(^), elle le sera aussi en faisant y = fp(x, i). Dans ce cas, nous avons vu que U devient

et Y devient

de sorte que, comme i peut être une quantité quelconque, il faudra que les variations U, U, ... soient respectivement aussi les fonctions primitives des variations Y, V, ... ; ainsi on aura

IJ' = V, \i' = Y, ....

La condition du maximum ou minimum consiste donc en ce que la fonction primitive de Y soit nulle, quelle que soit la valeur de y. Or si, pour plus de simplicité, on représente la valeur de Y par la formule

Nj+P/' + Qr"4-Rj"' + ...,

kOk LEÇONS SUR LE CALCUL

et qu'on emploie relativement aux dérivées de y les transformations qu'on a enseignées au commencement de la Leçon précédente, relativement aux dérivées dew dans l'expression de V, et dont l'objet est de réduire à des fonctions dérivées exactes tous les termes qui contiennent (les dérivées de y, on aura cette transformée

+ (Pr)'-(Q'r)'+(K"jL-r-.-- + (Q/)'~(Hy )' + ...

où l'on voit que tous les termes, à l'exception de ceux qui forment la première ligne, sont des fonctions dérivées exactes, de sorte que leurs fonctions primitives sont connues et déterminées, quelle que soit la quantité y; au contraire, les termes de la première^ ligne étant tous multipliés par r ne peuvent avoir de fonction primitive, à moins qu'on ne donne à la variation y des valeurs particulières. Donc, comme cette variation doit demeurer indéterminée, il sera impossible que la fonction primitive de V devienne nulle, à moins que la première ligne de l'expression de V ne disparaisse, ce qui donnera l'équation indépendante de >',

C'est l'équation qui contient la relation nécessaire entre les variables a; et y pour l'existence du maximum ou minimum, et que nous appellerons équation générale du maximum ou minimum. En Géométrie, c'est l'équation de la courbe qui jouit de la propriété de maximum ou minimum. Il est facile de voir que cette équation sera en général de l'ordre 2«, si la fonction proposée V est de l'ordre n, c'est-à-dire si elle contient la dérivée j'"'; de sorte que son équation primitive en ce et y contiendra 2« constantes arbitraires.

La première ligne de la valeur de V ayant disparu, on aura, en pre-

DES FONCTIONS, nant la fonction primitive de V,