IJ = (P-Q'+K

la quantité K étant une constante arbitraire.

Cette fonction ayant maintenant une valeur déterminée, pour que cette valeur soit nulle entre les limites données, il faudra que la différence des valeurs qui répondent à ces limites soit nulle.

Désignons par Ùo et Ù, les valeurs de U qui répondent à la première

et à la seconde limite, dans lesquelles x aura des valeurs données, el

représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans

ces limites; on aura cette équation particulière aux limites U, -■ Uo = o,

savoir :

(P. -Q. +lVi -.

-(Po-Q'o + R;-...)ro

[Qo

(Ro

)ro

Ijo

à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minima du genre ordinaire; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les. constantes arbitraires que la valeur de y en r pourra admettre.

Si les valeurs de y, y', y", . . . étaient supposées données aux deux limites, alors il est visible que les variations jo» j'o' Jo' ••• ^t y,, y\, y], ... seraient nulles à la fois; par conséquent l'équation, ayant lieu d'elle-même, ne donnerait aucune condition à remplir.

Si au contraire aucune de ces valeurs n'était donnée, alors il fau-

(Irait égaler séparément à zéro tous les coefficients de ces mêmes variations, ce qui donnerait autant d'équations relatives à chacune des deux limites.

Mais il arrive le plus souvent que les valeurs de y et de ses dérivées aux deux limites ne sont ni toutes données ni toutes arbitraires, mais qu'il y a entre elles des relations données par la nature du problème. Alors il faudra, par le moyen de ces relations, réduire les variations y, y, y", ... dans les deux limites au plus petit nombre possible, et égaler à zéro les coefficients de celles qui demeureront indéterminées.

L'équation générale

que nous venons de trouver pour le maximum ou minimum de la fonction primitive de V, est, comme l'on voit, la même que celle que nous avons trouvée dans la Leçon précédente pour l'existence de cette fonction, indépendamment d'aucune relation entre les variables.

On voit maintenant la raison de cette identité des formules par la conformité des opérations analytiques dans les deux cas.

Il est d'ailleurs évident que, lorsque la fonction V est d'elle-même

une dérivée exacte, sa fonction primitive est une fonction déterminée

de X, y, y , y", . . ., qui doit alors être rapportée aux deux limites, de

manière que l'équation

ne doit plus donner de relation entre oc et y, et par conséquent doit se vérifier d'elle-même.

C'est par cette considération qu'Euler a trouvé le premier cette même équation, ou plutôt l'équation équivalente

pour la condition de l'intégrabilité de la formule Zdx. Condorcet a observé ensuite que, si la formule/Z r/j; était intégrable, il fallait que la variation If Zdx le fût aussi; et de là il a conclu que les équations

de condition pourTintégrabilité devaient être les mêmes que les équations entre les variables pour les maxima et minima. Notre analyse ne doit rien laisser à désirer sur cet objet.

Nous avons supposé jusqu'ici que la variation de x était nulle; c'est ce qui a toujours lieu lorsque les limites sont fixes; mais, comme dans la plupart des cas les limites sont variables, il est bon de voir ce que doit donner la variation de x.

Pour cela, il suffit de considérer que, la fonction U étant censée une fonction de x, si l'on fait croître x de ix, l'accroissement de U sera, comme on l'a vu dans les premières Leçons,

Or U' = V par l'hypothèse; donc

U"=V', U"'=V", et ainsi de suite.

Donc, pour avoir l'accroissement de U dans ce cas, il suffira d'ajouter

respectivement aux variations U, Û, ... les termes x^ , x"^^' ,

Ainsi, comme V=U', il faudra ajouter à la valeur de V trouvée dans l'hypothèse où x ne varie pas le terme (V^)'.

Mais, comme la variation de x influe aussi sur celle de y en tant que cette quantité est fonction de x, il faudra, dans ce cas, retrancher de celle-ci ce qui est dû à la variation de x, dont nous venons de déterminer l'efl'et total sur les variations de U.

En effet, on a vu ci-dessus que, y étant '^{x), lorsque ç(^) devient

ç(.r, i), y devient Y -{-iy -\ y -\- — Or, x devenant en même temps