X -+• 7.1 oi z

El, si l'on substitue encore dans celle-ci les valeurs de 2 ^7. et de 2'ko{z] tirées des deux dernières équations primitives, on aura enfin

\j ^=— bx -h -^y + (X + i) Zo;

de sorte que les deux équations aux limites Ùo = " et Û, = o deviendront

— bx,, + -^ j'o + ( ?>o + ' ) 2o = 0, va

— bx^ +—>•, + (>., + i)r, =0.

Vrt

koi) LE(;0>S SUK Li: CALCl L

J.a vitesse iiiilialc, dont -„ est le carré, doit être donnée; si on la suppose indépendante du lieu du départ, z„ sei'a une (|uantit<'' eonslante dont la variation seia par conséquent nulle; donc r„ = o. Aloi's la première é([uation S(î réduira à

— t>.l\, -h -=L Vo=: O.

i'our la seconde, comme rien ne détermine la valeur de r,, il faudra (jueson coefficient soit nul, et qu'il donne '/., -h i = o et a, = — r, condition pai' laiiuelle on déterminera la valeur de la constante arbitrai ire h.

Cette équation deviendra ainsi

— OXi H y, = o

Si les deux points extrêmes de la courbe étaient donnés, les variations de -to' Jo' -t'i, .yr seraient nulles, et les deux équations seraient satisfaites d'elles-mêmes.

Mais, si la (juestion est de trouver la ligne par laquelle le corps partant d'une courbe donnée, et arrivant à une autre courbe donnée, ac- ({uiert la plus grande vitesse, nommant, comme plus haut, (y'J et {y\) les tangentes des angles que les tangentes à ces courbes font avec l'axe aux deux extrémités de la ligne cherchée, on aura, ainsi qu'on l'a vu dans le premier exemple,

jo — ( r 0 ) ^0 = o el j, — (;■; )x, — o;

et ces équations, étant combinées avec les deux précédentes, donneront

(/o) = *N^« et {y\) = b\/a;

d'où l'on peut conclure que les tangentes aux deux courbes des limites doivent être parallèles entre elles, comme dans la courbe de la plus vite descente.

DliS FONCTIONS. '..ii

(]es l'xciiipics |»ciiV(Mil siil'lii'c pour luonlrcr rtisagc de nos loniiiilcs géiUM'îilcs, et siuiroil (\r^ ('■qu;ilioiis;ui\ liniilcs (|ui ii'rliiiciil |K»S('Oiimi('S iivaiit le (lalciil des vacialioiis. cl sans lt'S(|ii('ll('s on n'aiirail (|n(' des solnlions inconipli'tos.

FIN DU 10 M K l)I\li:Mli.

TABLE DES M Ali EU KS. /io3