I -hy

f- + 9./9'(3)Vi+j'--X'=o,

dont la première a pour primitive

a étant une constante arbitraire.

11 faudra substituer dans celle-ci la valeur de 1 tirée de la seconde; ensuite il faudra éliminer s par le moyen de l'équation de condition

et l'équation résultante en j eta- sera celle de la courbe chercbée.

Comme z représente le carré de la vitesse et que l'équation en z est du premier ordre, la valeur de z, tirée de l'équation primitive de celleci, contiendra une constante arbitraire qui dépendra de la vitesse initiale imprimée au mobile.

On peut donc regarder la valeur de :;, à la première limite, comme une fonction donnée des coordonnées initiales ^ et j. Ainsi, dénotant cette fonction par la caractéristique A, on aura la condition

Zo=à{Xo,Xo]-

Le cas du vide n'a aucune difficulté; car, en faisant cpi s) = o, on aura l'équation

=: const.

où ). n'entre pas.

Ensuite on a

z' — ig=o, d'où l'on lire z=: -y.gx -h l>. En rapportant cette équation à la première limite, on a

Z^,= ^2gXu-^- b, d'où l)~Z^,— 2^rX^J.

Ainsi la valeur complète de z sera

Z = ■2g{x~ Xo'\ + 3o-

Or l'équation en r' donne

équation qui, par la substitution de la valeur de z, devient celle de la cycloïde ordinaire.

Soit, pour abréger.

le problème général dépendra de ces trois équations du premier ordre,

iy' ^ ' ^

/.' - I 2/ cp ( ; ) ^ ^~+f~' — o,

z' — ig -\- i(i^[z) \Ji -\- y'--^ o.

Si l'on prend la dérivée de /, on a

d'où l'on tire

2 A ce Ls I =3 — — :

cette valeur étant substituée dans la seconde équation ci-dessus, on aura

z mais la troisième donne

substituant celte valeur dans la dernière équation après l'avoir multipliée par z', elle se réduira à

Oi" on a

et la première équation donne

tf I

donc l'équation qu'on vient de trouver deviendra

dont la primitive est

et, si l'on substitue encore ici pour t sa valeur ^ tirée de la pre-

mière équation, on aura

Ainsi l'on a la valeur de >. qu'on substituera dans l'expression de / de la première équation; et il ne s'agira plus que de combiner cette équation avec la troisième pour en éliminer :;.

DES FONCTIONS. h'*:\

Considérons maintenant l'équation aux limites

Ù,-il„ = o;

supposons, ce qui est le cas le plus ordinaire, que les deux limites soient indépendantes l'une de l'autre; on aura séparément

Ùo = o, Ù, = o.

Or, en faisant dans l'expression de U donnée plus haut les substitutions nécessaires, on a

û = [^ + p.x 9(2)1 -JL=.[r-r'^) + Hz- z'x] + V

sjz

Cette expression, en mettant pour ^' sa valeur 2^ — 2''j[z)\j \ -f-.v'^ et réduisant, devient

où / est mis pour -= +2). 9(2), comme on l'a employé ci-dessus, de

sJz

sorte qu'en substituant encore à la place de t sa valeur donnée par la première équation, on aura plus simplement

Cette valeur de U devra donc être nulle aux deux limites.

Pour la première limite, nous avons vu ci-dessus que l'on a en général z^=^ \[x^, Yq); donc, prenant les variations, on aura

de sorte que l'équation Uq = o donnera celle-ci :

— ^ — 2g-Xo-l- ^'[x^)lQ ^0+ -^ -+- A'(ro)^o 70 = 0.

Pour la seconde limite, on aura aussi U, = o, équation dans laquelle, la variation z demeurant indéterminée, il faudra la faire évanouir en

égalant à zéro son coefficient 1, . Ainsi l'on aura la condition ),, = o, qui servira à déterminer la constante arbitraire b de la valeur de ). trouvée plus haut. Cette condition donne

d'où l'on tire

de sorte que l'expression complète de 1 sera

d'où l'on aura

valeur qu'il faudra substituer dans l'équation à la première limite.

A l'égard de l'équation de la seconde limite, elle sera simplement, à cause de 1, =o,

— — f- j, = o, savoir X\ -f- y\ ji = o.

Cette équation est tout à fait semblable à celle que nous avons trouvée dans le premier exemple, et d'où nous avons conclu que la ligne la plus courte devait couper à angles droits la ligne qui forme la seconde limite. Ainsi la même conclusion doit avoir lieu pour la ligne de la plus vite descente, quelle que soit la loi de la résistance du milieu.

Revenons à la première limite. En substituant dans l'équation de cette limite pour7.o '^'^ valeur, elle devient

Maintenant, si l'on désigne par [y\) la dérivée de l'ordonnée y de la courbe qui forme la première limite, on aura, comme on l'a vu dans le premier exemple, l'équation r(, — (y'o).ro = o. Donc, si l'on substitue

DES FONCTIONS. kM

iliins l'équation précédente, au lieu de y^, sa valeur (j'o)£t^„, la variation j^o demeurera arbitraire, et il faudra vérifier l'équation en égalant à zéro le coefficient de ccq, ce qui donnera

équation à laquelle on satisfera par le moyen d'une des constantes arbitraires.

Supposons, ce qui est le cas le plus simple, que la vitesse initiale \Zq soit donnée indépendamment du lieu de départ; on aura alors -^ = à une constante; donc

A(^o,Jo) = const.,

et par conséquent

et l'équation précédente deviendra

p- -+- {/o ] = o, savoir i + j, (j-; ) = o.

Dans cette équation, (y'J exprime la tangente de l'angle que fait avec l'axe des x la tangente à la courbe de la première limite, dans le point où elle est rencontrée par la ligne de la plus vite descente, et j', exprime la tangente de l'angle que fait avec le même axe la tangente à cette même ligne au point de la seconde limite; et il suit de cette équation, comme nous l'avons vu dans le premier exemple, que la différence de ces deux angles doit être égale à un angle droit. Donc il faudra que la tangente à la courbe de la première limite soit perpendiculaire à la tangente à la ligne de la plus vite descente au point de la seconde limite; et, comme nous avons déjà vu que cette tangente doit être perpendiculaire à celle de la courbe de la seconde limite, on en conclura que, dans le cas dont il s'agit, la courbe delà plus vite descente devra rencontrer les deux courbes des limites dans des points où les tangentes soient parallèles entre elles.

Mais, si l'on veut que la vitesse initiale soit toujours celle que le corps acquerrait en tombant d'un même point donné, nommant h la hauteur de ce point au-dessus de l'axe horizontal des ordonnées y, on aura A + ^„pour la hauteur due à la vitesse initiale dont z^ est le carré; et les principes de la Mécanique donneront

[)onr

A(jro,J()) = 2g-(/j + ;ru),

et de là

A'(jCo) = 2g-, A'(jo)=o,

ce qui réduira l'équation de la première limite à celle-ci :

-^ + (r'o ) = o, savoir i +/, (/')„ = o,

laquelle montre, comme on l'a vu dans le premier exemple, que la ligne de la plus vite descente doit couper aussi à angles droits la ligne qui forme la première limite.

On avait trouvé ces mêmes résultats pour la ligne de la plus vite descente dans le vide. [Voyez le quatrième Volume des Mémoires de Tarin ( ' ) et les Mémoires de C Académie des Sciences pour les années 1 7G7 v\ 1768. L'analyse précédente fait voir que les conditions relatives aux limites sont indépendantes de la résistance.

Si, au lieu de la courbe de la plus vite descente, on demandait celh; où la vitesse acquise serait un maximum, il faudrait rendre la quantité z un maximum, et l'on aurait le cas où nous avons vu que les équations générales se réduisent simplement à (Y) = o, (Z)=o, savoir

[ilolz] - • = o,

(') OEuvrcs de Lngj-ange, t. II, p. 37.

é(|iiations qu'il faut combiner avec l'équation en z

kkd

La première a pour primitive

et, si l'on opère sur ces trois équations comme on l'a fait dans le cas précédent, on parviendi'a de la même manière à l'équation

(jui donne la valeur de ).; ensuite les deux dernières équations ci-dessus donneront la vitesse \z, et la fonction y en x, d'où dépend la fonction cherchée.

A l'égard des limites, on aura dans le cas dont il s'agit, en faisant varier à la fois x, y, z,

formule qui, en substituant les valeurs de (Y), (Z) et de z', et réduisant, devient

ilolz)

sji-^y-

igi