LEÇON SIXIÈME

FONCTIONS DÉRIVÉES DES QUANTITÉS DE DIFFÉRENTES FONCTIONS D UNE MÊME VARIABLE, OU DÉPENDANTES DE CES FONCTIONS PAR DES ÉQUATIONS DONNÉES.

Les fonctions que nous venons de considérer dans les trois dernières Leçons sont comme les éléments dont se composent toutes les fonctions qu'on peut former par des opérations algébriques; c'est pourquoi nous avons cru devoir commencer par chercher les fonctions dérivées de ces fonctions simples; et nous allons voir maintenant comment on peut trouver les fonctions dérivées des fonctions composées de celles-ci d'une manière quelconque.

Nous supposerons en général que p, q, r, ... soient des fonctions quelconques d'une même variable, dont les fonctions dérivées/?', y', /, ... soient connues, et que y soit une fonction composée de p, q, r, . . ., dont on demande la fonction dérivée y.

On considérera que, x devenant x-^ i,y deviendra en général

or p, q, r, ... deviennent en même temps

p -h ip'-^..., q -\- iq' -\- . . . , /• 4- ,>' + ... ;

il n'y aura donc qu'à substituer ces valeurs dans l'expression dej, développer les termes suivant les puissances de i, et le coefficient de i sera la valeur cherchée de j'.

Ainsi, si

j=:A/J4-B(7 + Cr4-...,

A, B, C, . . . étant des coefficients quelconques, on aura sui'-le-cliamp

Si r = kpq, la quantité/?^ deviendra

[p-\-ip' + ...)[q-\-iq' + ...) —pq ^i[qp'+pq')-^...;

y=k(qp'+pq').

Si j = Apqr, on trouvera de la même manière

y = A ( qrp' 4- prq' -+- pqr' ] .

Si j = A— j la quantité— deviendra

/) + jjo' 4- . . .

q + iq'

Développant le dénominateur en série, suivant les règles connues, on aura

[p + ip' + ...]i - — %+.. \ = E.-^i (îL -ES^^

donc

x p py \A (pq-pq

Soit j=r A/)"'^", la quantité/)"'^" deviendra

[P + «>' + ...)'" i*? + '■q' -f- . . . )" — [P"' + mipm-\p' -J- . . . ) (^« -i- niqn-Uf + . . . )

= /»'« q" + i[ mp"'-* q"p' + nq"-*p"' q']-\-. . . ;

y' z=i k[mqn pm- \ p' ^ ,ipmqn-\ q'Y

On trouvera de la même manière que, û y = kp"'^ q" r' , on aura

y=.k{niq"r'p"'-*p' -h np"^ H q»' Wj' -\- Ip^g" r^-f r'),

et ainsi de suite.

Soit en général y =/(/?); en regardant /(/?) comme une fonction

de p, ses fonctions dérivées seront/'(/?), f"{p), • • • ; en sorte que, /j devenant/> + oj,/(jD) deviendra

Or, /; étant une fonction de x, lorsque x devient x -v i, p devient

Donc, faisant Mz^ip'-\ p"-\-..., la fonction /(/>) deviendra, par la

substitution de x-h- i à la place de x,

Ap) + 'p'/'ip) + ^ [p''/"{p] +p"/'{p]] +■■■■

Ainsi l'on aura d'abord /' = ///'(/)), d'où résulte ce principe : que la /onction dérivée d'une fonction, qui est elle-même une fonction de x, est égale au produit des fonctions dérivées de ces deux fonctions .

Ce principe sert à généraliser les résultats précédents, relativement aux fonctions dérivées des puissances des exponentielles des logarithmes et des sinus et cosinus.

Ainsi :

si j = [}'". on aura y' =^ mp'"-^ p';

si / := aP, on aura j' = aP p'ia ;

SI / = logp, on aura j =r i-;

si j — sinp, on aura y'^=^ p' cos/? ;

si/:r=cos/>, on aura y'-— — p's'mp;

SI / ^= angle siny^, on aura . . . /

si / = angle cos/j, on aura ... y-

Supposons ensuite que y soit une fonction de p et q, que nous désignerons par /(/?, q); il s'agira de substituer x-^i à la place de x dans

les deux fonctions/? eiq, et de trouver ensuite le coefïicient de i dans le développement de la fonction composée /(/), y). Or il est visible qu'on aura le même résultat, soit qu'on fasse ces deux substitutions à la fois, soit qu'on les fasse l'une après l'autre, puisque les quantités /> et <7 sont regardées dans ces substitutions comme indépendantes.

En substituant d'abord .r + ï à la place de x dans la fonction/;, la fonction /(/?, (jr), regardée seulement comme fonction de/?, deviendra, par ce que nous venons de trouver.

J'écris simplement/'(/j) pour désigner la fonction dérivée àe /{p,g) relativement à p seul, q étant regardée comme constante.

Substituons ensuite ce + i au lieu de a; dans la fonction q, la fonction /{p, q) deviendra pareillement

f[p,q)-\-iq' /'[(]]+■■■,

oùf'{q) représente la fonction prime de /{p, q) prise relativement à q seul,/? étant regardée comme constante.

Quant au terme ip'/'ip), il est visible qu'étant déjà multiplié pai' / il se trouverait par cette nouvelle substitution augmenté de termes multipliés par r , i^,

Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement de/{p, q), après la substitution de r + i pour x dans p et q, seront simplement

. Ap,q) + ip'f'[p) + i</'f'[q]\

de sorte qu'on aura

Si j était une fonction de p, q, r, représentée par/(/?, q, r), on trouverait de la même manière

y = P'/'{P) + q'/'[q) + r'f[r)=np, q, r), et ainsi de suite.

D'où l'on peut tirer cette conclusion générale, que la fonction dérivée d'une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions dérivées relatives à chacune de ces mêmes fonctions considérées séparément et indépendamment de l'autre.

Ce principe, combiné avec le précédent, suffit pour trouver les premières fonctions dérivées de toutes sortes de fonctions, ainsi que les fonctions dérivées des ordres supérieurs.

Ainsi la fonction dérivée depq étant gp' relativement hp, etpq' relativement à g, la fonction dérivée totale sera qp'-+-pq', comme nous l'avons trouvé ci-dessus.

De même, en regardant maintenant p' et q' comme de nouvelles fonctions, dont/?" et g" sont les fonctions dérivées, la fonction dérivée de gp' sera g'p' -hgp", et la fonction dérivée de pg' sera p'g'+pg"; de sorte que la seconde fonction dérivée de pg sera gp" -\- 2p' g' -\- pg" ; et ainsi de suite.

Par les mêmes principes, on a

pour la fonction dérivée de p^'^g", le premier terme étant la fonction dérivée relative à p, et le second étant la fonction dérivée relative à g', et ainsi du reste.

Si/>= ûnx et ^=:cosir, ona/)' = co^xeig' ^= —ûncc, donc, lorsque

y= sin^a; cos"J7,

on aura

j/'z^ m sin"''' œ cos''^"' x — n cos"~' œ sin'"-^' x.

Ainsi, comme la tangente d'un angle est égale au sinus divisé par le cosinus, en la dénotant par le mot tang placé avant l'angle comme caractéristique, et faisant

sin^ Y = lang^ = >

on aura

cos^iX' cos^o;

Et en général, si 7= tang/>, on trouvera

cos'^p

Mais la fonction 7 pourrait n'être donnée que par une équation entre x et j. Représentons en général cette équation par

il est clair que, si l'on regarde 7 comme une fonction de x déterminée par cette équation, et qu'on imagine cette fonction substituée au lieu de y dans F(j, x), il en résultera une fonction de x qui sera identiquement nulle, quelle que soit la valeur de x, et par conséquent aussi en mettant x-hikla place de x, quelle que soit la valeur de i.

Dénotons cette fonction par 2, et comme x, devenant x + i, z devient

z -h iz' -] — s' -h . . ., on aura, quelle que soit la valeur de i, l'équation

d'où l'on tire les équations

Maintenant, z étant =zY{y,x), on aura, par les formules ci-dessus,

z' = yF'[y]+F'iœ],

en dénotant par F' (y) la fonction prime de F(j, a?) prise relativement à y seul, et par F' (a;) la fonction prime de F{y, x) prise relativement à X, et faisant x'= i, puisque x devient simplement x-hi. Ainsi l'équation dérivée s' = o sera

d'où l'on tire

F'(7) On aura de cette manière la valeur dey en fonction de x et y; de là,

en regardant toujours y comme fonction de iv, on pourra déduire la valeur de y" en fonction de x et y. Car, en supposant pour abréger y' =/{y, œ), la fonction dérivée de/(j, .x) sera de la forme y'/'(r) -^-/'{x); donc, substituant pour j' sa valeur, on aura

et ainsi de suite.

On trouverait les mêmes valeurs de y", y'", ..., par les équations

Si l'on avait plus généralement l'équation

F(7»/^'7' ■■■] = o, on trouverait de la même manière l'équation dérivée

yF'{y)+p'F'ip) + q'F'{q)+...=.o; d'où l'on tire

Et, regardant de nouveau la valeur de y' comme une fonction de y, p,

q, ..., p' , q' , ..., safonction dérivée sera la valeur de y"; et ainsi desuite.

Enfin, si l'on avait deux fonctions j' et m données par les équations

F{7> n,P^fly ...j^o, /(r, u,p,q, . ..) = o,

on pourrait par les mêmes opérations trouver immédiatement les valeurs

dey et u' en fonctions de j, u, p, q,

Car on aurait d'abord les équations dérivées

d'où l'on tireraity et m'; et ainsi du reste.

Les règles que nous venons d'établir suffisent pour trouver les fonctions dérivées d'un ordre quelconque de toute fonction d'une variable, de quelque manière qu'elle soit donnée, soit explicitement par des

expressions déterminées, soit implicitement par des équations quelconques.

A l'égard de la notation que nous avons employée pour représenter séparément chaque partie d'une fonction dérivée, relative à chacune des fonctions particulières qui entrent dans la fonction primitive, on voit qu'elle est très simple et très commode, et nous nous en servirons ainsi dans la suite.

On peut même, par cette notation, ne séparer du reste de la fonction dérivée que la partie relative à une variahle donnée, x^insi les fonctions primes de p et q, ou dep, ^ et r ou . . ., peuvent se développer

de cette manière,

f'[p, q, r] =p'f'(p] +/'[</, r) =p'/'[p] + qV'[q) + r' /'[r],

et ainsi des autres.

Il faut toujours observer de ne renfermer, entre les parenthèses qui suivent la caractéristique/' des fonctions dérivées, que les variables par rapport auxquelles on veut prendre la fonction dérivée.

Lorsqu'il n'y a qu'une seule variable entre les parenthèses, comme /'(/?), cette expression indique que la fonction dérivée doit être prise relativement à cette variable, comme si elle était seule et unique ; c'està-dire que /'(/)) sera le coefficient de /dans le développement de la fonction donnée, eny substituant simplement/? + tau lieu de ^, quelque fonction d'ailleurs que p puisse être de x.

Quoiqu'il soit plus simple de déduire les fonctions dérivées des différents ordres les unes des autres, parce que de cette manière les mêmes règles et les mêmes opérations font trouver toutes les dérivées, et que ce soit même dans cette dérivation successive des fonctions que consistent l'essence et l'algorithme fondamental du Calcul des fonctions dérivées, il y a néanmoins des cas où la considération immédiate des termes successifs de la série peut donner les fonctions dérivées successives d'une même fonction d'une manière plus directe et plus générale; c'est ce qui a lieu lorsque le développement de la fonction en série peut s'exécuter facilement par les formules connues.

En effet, si l'on a en général

./?, q, ... étant des fonctions de x, et qu'on substitue x-^i\\ la place de X, cette équation deviendra

Et elle devra avoir lieu indépendamment de la quantité indéterminée i\ de sorte que, si l'on peut développer directement la fonction qui forme le second membre en une série de la forme

on aura sur-le-champ

Soit, par exemple, j=yo5'; on aura à réduire en série l'expression

■^ ¥ ^ -f -f ■ ■ -^[1 -^ W + ^i"-^-et il est facile de voir qu'on aura

y" pg" ,,,. p"q

et, en général,

l'exposant placé entre deux parenthèses désignant l'ordre de la fonction dérivée; de sorte qu'en multipliant par 2.3.../W, on aura la formule générale

, s , •. f , .s m [m — il „ , -y(m) — pfjim) ^ nip' q^m-^^ + ■ — ^^ '- p"q(m-2) u^ ^ . .

En général, si l'on hxiy =pqr, ..., on trouvera de la même manière

que la valeur de — -^ sera composée d'autant de termes de la forme

ypOOr/^l^)/'''^'...